环境系统分析第三章

第三章 环境质量基本模型§1污染物在环境介质中的运动一、基本概念环境介质：能帮助传递物质、能量的物质，传递过程中物质与能量有可能有耗散。三大类介质：流体(又可分为液体与气体)，固体，混合体(如土壤)。运动:事物状态的变化(广义)。物质状态的变化(位置、速度、密度、形态、质量、温度、带电量、组成成分)的变化。如：机械运动、物理运动、化学运动、生物运动、政治运动。污染物：对环境生态系统(特别是人体健康)有不良影响的物质、能量，一般为过量的有害物质。二、污染物在介质中各种运动（重要概念） 1、推流迁移运动：指污染物在气流或者水流作用下产生的位置移动。 污染物迁移量(质量通量)：（单位：物质量/单位时间*单位面积，如g/m2s） X轴方向：fx=uxC Y轴方向：fy=uyC， Z轴方向：fz=uzC。SLuxQΔtxzyuy这段河道中的总水量 2 扩散(稀释)运动：物质质量在空间分散化、均匀化，使物质浓度随时间不断变小。物质浓度总从高处向低处扩散。 1）分子扩散：由于分子随机运动引起的扩散—溶解，其速度与“热”有关。 浓度梯度：在某个方向上的浓度变化率 Fick第一定律（通量）X上某点浓度梯度 单位：物质量/单位时间*单位面积 Em为分子扩散系数，且各向同性； 2)湍流扩散：由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动—撕裂Fick第一定律（通量）：**ΔxΔc=c2-c1xc1c2xyzI1XI1ZI1Y 单位：物质量/单位时间*单位面积 Ex,Ey,Ez为x,y,z三个方向的湍流扩散系数，各向异性，一般x,y方向的扩散系数大于z方向的扩散系数。 3)弥散扩散：由于介质宏观运动(流速)分布不均匀，造成流体形变引起的扩散。 为断面平均值,单位：物质量/单位时间*单位面积 **c1c2须考虑须考虑 3 裒减、转化运动：由于生物或化学的作用，由一种物质变化为另一种物质，对原物质是裒减了，而对于新生物质而言则是增生了。 以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述的是某物质“浓度”变化速率，是该物质“浓度”本身的常系数一次函数，又称一级动力学模型。 当物质量为增生时：c2>c1时， 当物质量为衰减时：c1>c2时衰减速度常数单位时间、单位体积内的物质增量**tt2t1c1c2浓度变化速度 4（综合三种作用）的图像理解 只有推流迁移推流迁移+扩散推流迁移+扩散+裒减推流迁移+裒减 无推流迁移无推流迁移 仅有扩散有扩散+裒减 §2基本模型的推导 1.质量守恒原理 初始存量为：存量1， 一段时间后：存量2 对于输入端：物质总量=存量1+进入量（1） 对于输出端：物质总量=存量2+出去量（2） 存量1+进入量=存量2+出去量 存量2-存量1=进入量-出去量 存量的变化量（增量）=进入量-出去量存量进入量出去量 2.零维模型推导(完全混合）（重要） 在t1t2的Δt时段内 浓度c1c2Δc=c2-c1 物质量vc1vc2Δm=v(c2-c1)=vΔc 单位时间的物质变化量：kVQ,C0SQ,C 根据质量平衡原理,单位时间的物质变化量也可表示为 Q*c0+S-(kc)*v-QC 所以：m3/smg/m3mg/smg/s*m3m3进入量出去量衰减项其中，V为反应器容积，Q为流入与流出反应器的介质流量C为输出反应器的污染物浓度，C0为输入反应器的污染物浓度，K为污染物衰减速度系数，S为污染物的源与汇零维模型主要应用于箱式空气质量模型和湖泊、水库水质模型。 一维模型推导（了解） 推流：fx=uxC 扩散： 立方体体积: 迎水面面积：xst1t2c1c2 在x方向上立方体内污染物在t1t2时段内的变化量： 在单位时间内的变化量： 单位时间内，流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积，故单位时间内输入量为:(设任意点推流通量函数为f(x),扩散通量I(x)) f(x)=uxC, x0X0+Δxk根据泰勒公式，可将任意函数f(x)在某点x=x0处用级数展开： 将推流函数f(x)在x=x0展开： 所以在x=x0+Δx处： 因为微元很小,Δx也很小，可将所有含大于2阶得导数项省略，得： 将扩散函数I(x)在x=x0展开: 所以在x=x0+Δx处，将所有含大于2阶得导数项省略，得： 单位时间输入量：断面面积 单位时间输出量： 单位时间，该体积元的物质变化量为（2）-（3）zyxCECuzyIfxxxxDD¶¶-=DD+][)(zyxxCExxCExCuxCuxxxxDDD¶¶-¶¶+¶¶-D¶¶+])()([（2）（3）推流增量扩散增量约去相同项：当ux,Ex,为常数时，如果考虑衰减作用：体积元内污染物按一级反应式衰减,衰减量为-单位时间单位体积内的衰减量单位时间浓度变化推流增量扩散增量衰减变化量(源汇项）局地项推流项扩散项衰减项 二维模型推导与一维基本模型的推导相似，当在x方向和y方向存在浓度梯度时，可建立起二维基本模型Y方向扩散项Y方向推流项式中，Ey——y坐标方向的弥散系数；uy——y方向的流速分量；三维模型推导如果在x、y、z三个方向上都存在浓度梯度，可以用类似方法推导出三维基本模型：式中，Ex、Ey、Ez—x、y、z坐标方向的湍流扩散系数；uz—z方向的流速分量。 KCyCuxCuyCExCEtCyxyx-¶¶-¶¶-¶¶+¶¶=¶¶2222 模型使用范围（重要） 零维模型：（假定内部无浓度梯度，浓度均匀化） ------适合于箱体，湖泊环境 一维模型（在一个方向上有浓度梯度变化） --------适合于细、长、浅河流环境 二维模型（在二个方向上有浓度梯度变化） --------适合于宽、长、浅大型河流，河口、海湾、浅湖 三维模型（在三个方向上有浓度梯度变化） --------适合于宽、长、深环境，如大气、海洋、深湖 §3数值解与解析解 一、概述 由于环境问涉及因素复杂(一些模式参数常是变数)，数学上能求得解析解的微分方程(又称控制方程)又不多，常需把问题简化(对运动作约束)后才能求得解析解，因此解析解的使用条件很严，不能乱用。控制方程简化过程中涉及的数学分析问题有： 1.化简控制方程（重要） 1）物质运动性质分析，常涉及微分方程(控制方程)的阶数。 平流问题，控制方程是一阶微分方程： 扩散问题，控制方程是二阶微分方程： 2） 物质运动在几维空间内进行，含几个空间变量。 在一维空间内运动，只含一个空间变量： 即 在二维空间内运动，含二个空间变量： 在三维空间内运动，含三个空间变量： 3） 运动是否随时间而变化，方程含不含时间t这个变量。 对于瞬时排放，污染物浓度随时间而变化 对于稳定排放，浓度不随时间变化 4）运动中是否质量、能量守恒的分析，常涉及是否存在“外力”作用，控制方程中有否强迫项(源、汇)。 无源、汇项存在，守恒物质方程： 非守恒物质，有源、汇存在，方程非齐次 2.模型解析解(重要） 解析解： 通解： 定解： 定解条件（初、边值条件）：源汇项 例题：求的通解、定解(了解） 代入初边值条件求积分常数：x=0时，c=c0积分常数通解：积分常数cc 1） 瞬时排放的解析解（浓度随时间变化） (1)一维流场、无弥散、有推流、有裒减，（重要）（推流作用》扩散作用） 控制方程为： 根据条件化简上面方程 得： 解：图像表示t=0t=1t=2X=ut 初始条件：t=0时,c=C0，则其浓度为: x=ut污染物正好到达： =0当x≠ut污染物已过或未到 显然只有x=ut处有污染物。 (2)一维流场，有弥散、有推流、有裒减，（弥散、推流、裒减作用相当） 控制方程为：（重要） 求得通解，代入以下初边值条件 初值：t=0,c=c0; 边值：x=0，c=c0；x=∞，c=0 污染源坐标0x0D 复习随机变量的正态分布函数 随着时间的t的变化有： 水团长度＝xautxc 例题3-1 瞬时向河流中投放示踪剂，含若丹明染料5kg,在起始断面处充分缓和，假定河流平均宽度10m，平均水深0.5m,平均流速0.5m/s,纵向弥散系数为0.5m2/s,试求距投放点500m处的若丹明浓度分布的时间过程线。 假定断面面积为矩形，则面积A＝宽×深＝10*0.5=5m2,u=0.5m/s, D=0.5m2/s,M=5kg=5*106mg T(min)1012………………………. C(mg/l)5*10-141.8*10-5……………….ct 图像： (4)二维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为 其解为:tX方向分布y方向分布点（0，0），t）图形：utxccycyxuytxy(3)三维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为：控制方程：其解为：当污染源坐标（x0,y0,z0)位于三维坐标的原点（0，0，0）时，有： 令 上式= X方向分布Y方向分布Z方向分布CXutCyvtCzwt 2） 稳定排放的解析解  稳定排放定义： 排放强度变化很小(变化率在±10%以内)； 排放时间长(T>>X/u)。 稳定排放问题没有初值，只有边值。 (1)     0维(箱模式)：有一股流量为Q的污水，流经容积为V的水箱，污水流入水箱后与箱内水体充分混合，并与箱内微生物反应、造成污染物以k的速率裒减 控制方程： 解析解 当t无穷大时：K,v,cQ,C0Q,C 当t足够长时， 解为： (2)一维稳态、无弥散、推流、裒减模式： 设置控制方程，此时已不是扩散问题，而是推流问题。 控制方程为: 边值条件为:x=0处C=C0 求解过程： 得： 代入边值条件： 问题：在什么情况下，可以忽略扩散的影响？ 由于一般河流中|u|>>|Dx|，所以考虑不考虑弥散并不重要 复习常微分方程解法变量xc积分常数 （3）一维稳态、有弥散、推流、裒减模式， 控制方程为： 代入边值：x=0,C=C0,x=∞,C=0。 可以推断解析解形式： C=f(x) 导数形式 而当解析解为：c=f(x,y,z,…) 导数形式： 控制方程变为： 课后作业：1求上述常微分方程的定解 2说明一维稳态方程与动态方程的区别 其特征方程为：Dxλ2-uλ-k=0 由此求出特征根： 其通解为： 代入边值：x=0,C=C0,x=∞,C=0。 得A=0，B=C0，故解为 (6)二维稳态、有弥散、推流、裒减模式 二维河道中可以忽略X方向的扩散Dx,y方向的推流作用，化简：cxe-kt重要 此控制方程(排放口在坐标原点：x=0,y=0)求解较复杂， 其解为:y方向的分布xy 二维问题实际应用中的复杂性 (1)污染源在河中（重要） A河道无界(湖泊、海湾） B.河道有界：1污染源在河中xyB*(x,y)xyB*(x,y)B/2B/2-yB/2*N=1N=1N=2实源虚源虚源x 加和后总浓度： (2)污染源在河边(重要） A.河道无界 总浓度*(x,y)实源虚源xy B.河道有界 总和为：*(x,y)B-yyXBB2B-yN=0,1N=2，3N=1,22By2B+y实源虚源虚源 (7)三维模式：大气环境中高烟囱稳定排放， 其控制方程为 其解为： 例题: 狭长河流中稳定排放污水，污水量q=0.15mg/m3,BOD=30mg/m3,流量Q=5.5m3/s,平均流速为0.3m/s,河道BOD本底浓度为0.5mg/m3,BOD的衰减速度常数K=0.2d-1,弥散系数D=10m2/s,求下游10km处的BOD浓度。Qqc010km 连续点源排放，源强为50g/s,河流水深h=1.5m,ux=0.3m/s,横向弥散系数DY=5m2/s,污染物衰减速度常数为0，求 （1）无边界情况，（2000，10）坐标处的浓度 （2）边界排放，宽度无限大，该处的污染物浓度 （3）边界排放，宽度B=100M时，该处的污染物浓度 三.污染物在均匀流场中的分布特征（复习） （1）一维流场中的分布特征（动态）控制方程为 解 上式变为： 上式也可变为 令：cx常数utctx/u常数扩展知识x/u （2）一维流场中的分布特征（稳态）控制方程为 解 （3）二维流场中的污染物分布特征（动态见前） 稳态：xc 解： 问题1：污染物到达对岸(或地面)所需的距离： 污染物到达河边：岸边浓度达到平均浓度的5% 距排放口距离x(m)的污染物平均浓度为： 排放口在河中，任意点浓度（带反射）：排放口到达岸边完全混合xyB 根据定义： 排放口在岸边： 问题2；污染物完全混合所需的距离 污染物完全混合：断面任意一点浓度达到平均浓度的95%。 河中排放 岸边排放 作业：p54(1)(2)