第四章_大数定理和中心极限定理历年考研试题解答

PAGEPAGE1第四章_大数定理和中心极限定理历年考研试题解答第一篇：第四章_大数定理和中心极限定理历年考研试题解答大数定理和中心极限定理历年考研试题汇总数一部分：1.(20XX年)设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|XE(X)|2}______.解答：因为D(X)2，根据切比雪夫不等式可知：D(X)22P{|XE(X)|2}12.数三部分：1．(1988年)某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗户占20XX以X表示随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出X的概率分布；(2)利用棣莫弗-拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.kk100k0.20.8,k0,1,2,,100.解答：(1)X的概率分布为：P{Xk}C100(2)由棣莫弗-拉普拉斯定理知，P{14X30}P141000.21000.20.8X20XXX1000.20.20.8301000.20.20.8P1.52.5(2.5)(1.5)(2.5)(1.5)10.9440.93310.927.2.(1996年)假设X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，已知E(Xk)ak(k1,2,3,4).证明：当n充分大时，随机变量Znn1nXi2近似服从正态分布，并指出其分布参数.i1解答：依题意X1,X2,Xn独立同分布，知X12,X22,Xn2也独立同分布，由E(Xk)ak(k1,2,3,4)，有E(Xi2)a2，D(Xi)E(Xi)E(Xi)a4a2,i1,2,,n242221于是E(Zn)En1D(Zn)Dnni1nX2i1nni1nE(Xi)a2i1Xi12ni1D(X)ia4a2n因此根据独立同分布的中心极限定理，当n充分大时，UnZna2a4an~N(0,1)故当n充分大时，Zn1nni1X2ia4a2近似服从参数为a2,n的正态分布.3.(20XX年)设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P{|XY|6}______.解答：令ZXY，则E(Z)E(X)E(Y)220D(Z)D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)142(0.5)D(X)D(Y)3于是有P{|XY|6}P{|ZE(Z)|6}4.(20XX年)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，差为D(Z)6112.千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977((2)0.977，其中(x)是标准正态分布函数).解答：设Xi(i1,2,,n)是装运的第i箱的重量(单位：千克)，n为所求箱数.由题设可以将X1,X2,Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量SnX1X2Xn是独产同分布随机变量之和.由题设，有E(Xi)50,E(Sn)50n,D(Xi)5,D(Sn)5n(单位：千克)根据列维-林德伯格中心极限定理知，Sn近似服从正态分布N(50n,25n)，箱数n根据下述条件确定Sn50n500050nP{Sn5000}P5n5n由此得100010nn2，从而n98.0199100010n0.977(2)n，即最多可以装98箱.5.(20XX年)设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时，YnnnXi依概率收敛于___________.i1解答：因为X1,X2,Xn相互独立同服从参数为2的指数分布，于是X12,X22,Xn2也独立同分布，且E(Xi)12,D(Xi)14,i1,2,,n11于是E(X)D(Xi)E(Xi),i1,2,,n422i因此，根据辛钦大数定理有YnnnXi依概率收敛于i1nnE(Xi).i1第二篇：第五章大数定理及中心极限定理0.***4第五章大数定理及中心极限定理一、选择题1.已知的Xi密度为f(xi)(i1,2,,100),且它们相互独立,则对任何实数x,概率P{Xii1100x}的值为(C).100A.无法计算B.xixi1100[f(xi)]dx1dx100i1C.可以用中心极限定理计算出近似值D.不可以用中心极限定理计算出近似值2.设X为随机变量,EX,DX2,则P{|X|3}满足(A).A.B.C.D.13193.设随机变量X1,X2,,X10相互独立,且EXi1,DXi2(i1,2,,10)，则（C）A.P{Xi1}1B.P{Xi1}122i110i11010C.P{Xi10}120XX.P{Xi}120XX22i1i14.设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中60发～100发的概率可近似为(C).A.(2.5)B.2(1.5)1C.2(2.5)1D.1(2.5)5.设X1,X2,,Xn独立同分布,EXi,DXi2,i1,2,,n,当n30时,下列结论中错误的是(C).A.Xi近似服从N(n,n2)分布i1nnXin近似服从N(0,1)分布C.X1X2服从N(2,22)分布D.Xi不近似服从N(0,1)分布i1n6.设X1,X2,为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且Xii1,2,服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确?(D)nnXn2XniiA.limPxx;B.limPxx;nnnnX2X2iiC.limPxx;D.limPxx;nn其中x是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P(A)p,q1p，nnp[a,b]则对任意区间有limPab＝nnpq2、设n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的0，均有limP|np|=.nn3、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为p(10X18)X，估计4、已知生男孩的概率为0.515，求在1000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率=.第三篇：大数定理与中心极限定理doc第五章：大数定律与中心极限定理一，切贝谢夫不等式：0，有pXEXDX2或PXEX1nDX2二，序列Xn依概率收敛于a；0，有limPXna1三，大数定理：设X1,X2,....是相互独立的序列：EXi1、若均存在，且DXil，则有切贝谢夫定理．DXi1n1nPXiEXi10，有limnni1ni12、若：XBnp，即XXi1ni某事件发生的次数，则有XPp1贝努里大数定律；0，有limnn3、若Xi同分布，且EXia，则有辛钦大数定律1n0，有limPXia1nni1注：小概率原理四，中心极限定理：１、李亚普诺定理：相互独立（同分布）的和服从正态分布即：设X1,,Xn相互独立，则X２、拉普拉斯定理：若XBnp,i1n李说XiNE,XDX则paXpFbFa拉说例1、一个螺丝钉重量是个随机变量，期期望是1两，标准差是0.1两，求一盒（100）个同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率？EXi1解：设Xi=“一个螺丝钉的重量”2DXi(0.1)0.01X“一盒螺丝钉的重量”100EXEXi100100李i1则XXiN(EX,DX)100i1DXDXi1000.011i1102100所求P(X102)1P(X102)1F(102)111(2)10.977250.022750例2．美、英战机向基地组织投弹100次，每次命中目标的炸弹数目是一个随机变量，期数学期望为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220XX弹命中目标的概率？EXi2解：设Xi=“第次命中目标得得炸弹数”DXi1.69X“100次命中得炸弹数”100EfEfi20XX00李i1则XXiN(EX,DX)其中100i1DfDfi169i1所求220XX0018020XX(180f220XXF(220XXF(180)1313(1.54)(1.54)2(1.54)10.87644例3．已知某电网10000盏灯，没盏开着得概率为0.7，求有6800—720XX灯开着得概率？解：设X“开着得灯数”EXinp7000则XB(10000,0.7)DXinpq45.83所求为：720XXnp6800npP(6800X720XXF(720XXF(6800)拉=2(4.36)10.99999例4．一批产品次品率为0.005，求10000件产品中的次品数不大于70的概率？解：设X“10000件中的次品数”EXinp50则XB(10000,0.005)7.053,拉70np所求为P(X70)F(70)(2.84)0.9977第四篇：第五章大数定律和中心极限定理第五章大数定律和中心极限定理一、填空题1、设随机变量X的数学期望EX，方差DX2，则由切比雪夫不等式有PX3____________。2、设随机变量X的数学期望EX100，方差DX10，则由切比雪夫不等式，可得P80X120XX_________3、设X1,X2,,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，EXi，DXi8，i1,2,,n，对于XXi，写出所满足的切比雪夫不等式_______________；i1nn__。并估计PX4__________4、设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式PXY6____________。5、设随机变量X1,X2,,Xn,相互独立同分布，且EXn0，则nlimPXin______。ni1二、单项选择题1、设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量序列，其分布函数为Fxaxarctan,b0，则辛钦大数定律对此序列（）b1A、适用B、当常数a,b取适当的数值时适用C、不适用D、无法判别2、设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量序列，且Xi(i1,2,)服从参数为的指数分布，则（）nnXinXinA、limPi1xxB、limPi1xxnnnnnnXiXiC、limPi1xxD、limPi1xxnnnn1x其中x12et22dt。3、设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，SnX1X2Xn，则根据中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,,Xn（）A、有相同的数学期望B、有相同的方差C、服从同一泊松分布D、服从同一连续型分布三、计算题1、在每次实验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立重复试验中，事件A发生的次数在400—600之间的概率。2、设随机变量X服从二项分布Bn,p，试分别用切比雪夫不等式和中心极限定Xnp理，估计满足PnDX99%式中的n。33、一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5000千克的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977？四、证明题设X1,X2,,Xn独立同分布，已知EXkak(k1,2,3,4)。证明：当n充分大1n2时，随机变量ZnXi近似服从正态分布，并指出该正态分布的分布参数。ni1参考：一、填空题1398111、2、3、PX2；14、5、19402n12n二、单项选择题1、C2、A3、C三、计算题391、2、n30；n83、箱数m98.02，最多装98箱四、证明题略3第五篇：第五章大数定律和中心极限定理第五章大数定律和中心极限定理考试内容切贝雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗－拉普拉斯（DeMoivre－Laplace）定理列维－林德伯格（Levy－Lindbreg）定理考试要求1.了解切比雪夫不等式．2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）。3.了解棣莫弗一拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维一林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）．重点内容切比贝夫不等式及其应用，列维一林德伯格中心极限定理及其应用，其余大数定律与中心极限定理。特别注意切贝雪夫大数定律，伯努利大数定律和辛钦大数定律这三个大数定律成立的条件的异同；注意区分两个中心极限定理。一、主要内容讲解1、切贝雪夫不等式设随机变量X的方差存在，则对0，都有P{XEX}DX2或P{XEX}1DX22、依概率收敛设有随机变量序列X1,X2,,Xn„和随机变量X〔可以是常数〕，如果对0，满足limP(XnX)1nX(n).则称Xn依概率收敛于X.记作XnP注意：依概率收敛与函数极限的收敛是不同的；概率是频率的稳定值表达的就是一种依概率收敛关系.3、大数定律X〔随机变量的均值→期望的均值，→依概率收敛〕切贝雪夫大数定律：设随机变量X1,X2,,Xn„相互独立，均具有有限方差，且有公共上界，即D(Xi)C(i=1,2,„),则对于任意的正数，有1limPnnni1Xi1nni1E(Xi)1.特殊情形：若X1,X2,,Xn„具有相同的数学期望E(Xi)，则上式成为n1limPnni1Xi1.伯努利大数定律：设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有limPp1.nn伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即limPp0.nn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。〔切比雪夫大数定律的特殊情形〕注：如果用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，p(0limP{nXnp}1辛钦大数定律：设X1,X2,,Xn，„是相互独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)，则对于任意的正数ε有n1limPnni1Xi1.EX|2}2例5.1：设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X例5.2：设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有估计P{|XY|6}112例5.3：设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时,Ynn2innXi依概率收敛于。i1分析：n时,YnXni12E(X)，n2ii1nE(Xi)D(Xi)(EXi)（)例5.4：设X1,X2,,Xn，„相互独立同分布，且EXi0，则nlimPXinni1nn1limPXinlimP分析：ni1nn[1,EXi0]i11Xi1limPnnni1Xi011n注：事实上，对0，都有limPXin1.ni1例5.5：设X1,X2,,Xn，„是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2,„），则下列中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是：（A）X1,X2,,Xn，„；（B）X1,22X2,,n2Xn，„〔B〕（C）X1,X2/2,,Xn/n，„；（D）X1,2X2,,nXn，„分析：E(n2Xn)n21nn,D(nXn)n1nn(n)注：也不服从辛钦大数定律〔不同分布〕。4、中心极限定理XN(,n)[→极限分布]列维－林德伯格定理：设随机变量X1,X2,,Xn„相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)变量0(k1,2,)，则随机nYnk1Xknn的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有nXnkk1limFn(x)limPxnnnt12xedt.此定理也称为独立同分布的中心极限定理。n注：即Xkk1N(n,n，再标准化得到标准正态分布。)（近似服从正态分布）棣莫弗－拉普拉斯定理：设随机变量Xn为具有参数n,p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有limFn(x)limPnnxXnp1xetdt注：即二项分布的极限分布是正态分布N(np,npq)，再标准化得到N(0,1).【评注】棣莫弗－拉普拉斯定理是列维－林德伯格定理的特殊情形〔二项分布是独立的服从0-1分布的随机变量之和〕。例5.6：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。解：令Xi――第i箱的重量，XX1Xn.P(X5000)0.977,XN(50,25n)P(X5000n)0.977.5000由500.9775000502n98.例5.7：设X1,X2,,Xn，„是相互独立的随机变量序列，在下面条件下，X12，X22，„，Xn2，„满足列维－林德伯格中心极限定理的是：〔A〕（A）P{Xim}pmq1m,m0,1；x（B）P{Xix}(1tcm)；（C）P{Xim}2,m1,2,，常数c2m1m1；（D）Xi服从参数为i的指数分布。分析：（A）Xi01分布，Xi01分布.期望、方差都存在。（B）柯西分布，期望不存在。（C）EXi不存在〔m（D）不同分布。5、二项定理：若当N时,CMCNMCMNknkCm不绝对收敛〕E(Xi2)不存在。MNp(n,k不变)，则Cnp(1p)kknk(N).即超几何分布的极限分布为二项分布。例5.8：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20XX球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A)154倍(B)254倍(C)798倍(D)1024倍解：记“任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20XX球”为A,30230120XX0()()P(甲）P(AP(AP(甲A)P(甲，A)1024.21P(乙A)P(乙，A)P(乙)P(A(A3020XXC50()()336、泊松定理：若当n时,np0，则Cp(1p)knknkkk!e(n).其中k=0，1，2，„，n，„。二项分布的极限分布为泊松分布。注：由中心极限定理知：二项分布的极限分布亦为正态分布.历年试题分析：（02，3分）设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，SnX1X2Xn，则根据列维-林德伯格（Levy-Lindberg）中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,,Xn（A）有相同的数学期望。（C）服从同一指数分布。[C]注：(D)不能确定有无期望、方差.（03，4分）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时，Yni（B）有相同的方差。（D）服从同一离散型分布。X依概率收敛于ni1。（05，4分）设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为1的指数分布，记x为标准正态分布函数，则（C）nnXnXniii1i1xx（B）limPxx（A）limPnnnnnnXnXiii1i1xxxx（D）limP（C）limPnnnn分析：XiExp(),EXi,DXi,XiN（n,n)(n).再标准化即得.6