万喜人老师的几个平面几何问题

万喜人老师的几个平面几何问题潘成华万喜人老师提出了几个关于三角形内切圆的几个问题，笔者在这里做出解答如下引理已知三角形ABC内切圆切BC于D,切AB,AC分别于H,I,点E在AD上，线段BE,CE分别交圆于F,G,AD交三角形ABC内切圆于令一点J求证：线段AD,CF,BG共点，过J的切线，直线HI,FG,BC交于一点证明设BC交过J点的切线于K,则HI必过K,易知D,K调和分割BC因为B,C,D,K是调和点列，设CF交AD于L,因此EB,EC,ED,EK是调和线束，设BL交FK于S,根据调和性质,点S在EC上，AD是点K极线,因此S点在圆上，所以S,G重合，因此结论得证图1问题1：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,过L,Q作圆I切线交BC于R,S联GR、HS,求证：RH,GS交点在AD上图2证明：根据引理得：EF,GH,CB共点，设为P,M在P的极线AD上，于是直线LQ必过P根据Desargues定理：在三角形GLR,HQS中，设GL,HQ交点Z,GR,HS交点Y,LR,QS交点X,则X,Y,Z共线，根据Maclaurin定理，圆内接四边形ELQF,点A,M,X,D共线，圆内接四边形GLQH,GQ,LH的交点（必在AD上），X,Z共线，且这条直线就是点P的极线是AD，X,Z,必在点P极线AD上，GY，YH,YN,YP是调和线束，因此RH,GS,交点在AD上问题2：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,连接EL,FQ交BC于R,S联HR、GS,求证：RH,GS,交点在AD上证明设EF,BC交于P,AD是P的极线，根据引理：LH必过P,于是LQ必过P,直线GQ,RH交点在AD上，所以GL,HQ交点设为X,点X在AD上，根据Desargues定理：在三角形GLR,HQS中，GL,HS交点X,GR,HS交点设为Y,LR,QS交点设为Z,则X,Y,Z共线，也就是直线AD,在三角形YGH中根据完全四边形性质RH,GS,交点在AD上图3问题3：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,K是AD上一点，连接KL,KQ交BC于R,S联HR、GS,求证：RH,GS交点在AD上证明设直线EF,BC交于P,则LQ必过P,设直线GL,HQ交于Y,GR,HS交于X,有上题可知K,Y,X共线,，根据完全四边形性质，RH,GS交点在AD上图4问题4：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,连接AG,AH交BC于R,S联QR、LS,求证：RQ,LS交点在AD上证明证法与前面差不多图5