高考数学三角函数典型例题

三角函数典型例题1．设锐角的内角的对边分别为,.(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)求的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得. (Ⅱ).2．在中,角A．B．C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC．(Ⅰ)求角B的大小;20070316(Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值. 【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC．即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA．∵0<A<π,∴sinA≠0.∴cosB=.∵0<B<π,∴B=.(II)=4ksinA+cos2A．=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0,)设sinA=t,则t∈.则=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈.∵k>1,∴t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.3．在中,角所对的边分别为,.I.试判断△的形状;II.若△的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4．在中,a、b、c分别是角A．B．C的对边,C=2A,,(1)求的值;(2)若,求边AC的长｡【解析】:(1)(2)①又②由①②解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5．已知在中,,且与是方程的两个根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若AB,求BC的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程的两根.∴(Ⅱ)∵,∴.由(Ⅰ)知,,∵为三角形的内角,∴∵,为三角形的内角,∴,由正弦定理得:∴.6．在中,已知内角A．B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且｡(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值｡【解析】:(1)2sinB(2cos2-1)=-cos2B2sinBcosB=-cos2Btan2B=- ∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B= (2)由tan2B=-B=或①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤∴△ABC的面积最大值为 ②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac≥2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)∴ac≤4(2-) ∵△ABC的面积S△ABC=acsinB=ac≤2-∴△ABC的面积最大值为2- 7．在中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.【解析】:(1)由余弦定理:cosB=+cos2B=(2)由∵b=2,+=ac+4≥2ac,得ac≤,S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为8．已知,求的值｡【解析】; 9．已知(I)化简(II)若是第三象限角,且,求的值｡【解析】10．已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)的最小正周期由题意得 即的单调增区间为(2)先把图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,就得到的图象｡11．已知,,｡(1)求的单调递减区间｡(2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值｡【解析】:(1)∴当时,单调递减解得:时,单调递减｡(2)∵函数与关于直线对称∴∵∴∴∴时,12．已知,求下列各式的值;(1);(2)【解析】:(1)(2)13．设向量,函数(I)求函数的最大值与最小正周期;(II)求使不等式成立的的取值集合｡【解析】14．已知向量,,与为共线向量,且(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.｡【解析】:(Ⅰ)与为共线向量,,即(Ⅱ),,又,,因此,15．如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km｡试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449)【解析】:在中,=30°,=60°-=30°,所以CD=AC=0.1又=180°-60°-60°=60°,故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA在中,,即AB=因此,故B．D的距离约为0.33km｡16．已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)当,求的值域.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】：(1)由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即,由点在图像上的故又(2)当=,即时,取得最大值2;当即时,取得最小值-1,故的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知,,于A处测得水深,于B处测得水深,于C处测得水深,求∠DEF的余弦值｡【解析】:作交BE于N,交CF于M.,,在中,由余弦定理,18．已知，，求（1）（2）（3）【解析】：（1）19．已知函数（，，）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。【解析】：（1）由图象可知：；∴，又∵为“五点画法”中的第二点∴∴所求函数解析式为：（2）∵当时，单调递增∴20．已知的内角A．B．C所对边分别为a、b、c，设向量，，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值.【解析】（Ⅰ）由，得即也即∴∴∴21．已知函数，求：（1）函数的定义域和值域；（2）写出函数的单调递增区间。【解析】:（Ⅰ）函数的定义域函数的值域为（Ⅱ）令得∴函数的单调递增区间是22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈．途中与地面垂直．以为始边，逆时针转动角到．设点与地面距离为．（1）求与的函数解析式；（2）设从开始转动，经过80秒到达，求.【解析】：（1）∵，∴（2）∵，，∴，(m)23．设函数（1）求函数上的单调递增区间；（2）当的取值范围。【解析】：（1），（2）当，24．已知函数，．（1）求的最大值和最小值；（2）在上恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．25．在锐角△ABC中,角A．B．C的对边分别为a、b、c,已知(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC面积S的最大值｡【解析】:(I)由已知得又在锐角△ABC中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC中,扣1分](II)因为a=2,A=60°所以而又所以△ABC面积S的最大值等于26．甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15浬/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40浬处的B岛出发,朝北偏东θ(的方向作匀速直线航行,速度为10浬/小时.(如图所示)(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少浬?(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?【解析】:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1,y1)Q(x2,y2).(I)令,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20).即两船出发后3小时时,相距锂(II)由(I)的解法过程易知:∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20即两船出发4小时时,相距20海里为两船最近距离.27．在锐角中，已知内角A．B．C所对的边分别为a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．(1)若a2－ab＝c2－b2，求A．B．C的大小；(2)已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范围．【解析】D28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．【解析】解法一：设该扇形的半径为r米.由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=在中，即Ｄ解得（米）解法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∴ AC=700（米）在直角∴（米）29．已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.(1)求的值;(2)定义行列式运算,求行列式的值;(3)若函数(),求函数的最大值,并指出取到最大值时x的值【解析】:(1)∵角终边经过点,∴.(2),..(3)(),∴函数(),∴,此时.30．已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)当时,求函数的最大值,并写出x相应的取值.【解析】:(Ⅰ)因为()所以,,即函数的最小正周期为(Ⅱ)因为,得,所以有,即所以,函数的最大值为此时,因为,所以,,即1