高考数学一轮复习北师大版空间几何体的表面积和体积名师公开课省级获奖课件

1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式.2.了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式记牢·1个必备考点考点　柱、锥、台和球的侧面积和体积　1.[2014·四川高考]某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(锥体体积公式：V＝\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高))A.3B.2C.eq\r(3)D.1解析：由俯视图可知，三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为eq\r(3).故该三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.：D2.[课本改编]某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(　　)A.32B.16＋16eq\r(2)C.48D.16＋32eq\r(2)解析：由三视图知，四棱锥是底面正方形边长为4，高为2的正四棱锥，∴四棱锥的表面积是16＋4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝16＋16eq\r(2)，故选B.答案：B3.[2015·温州质检]某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(　　)A.8－eq\f(2π,3)B.8－eq\f(π,3)C.8－2πD.eq\f(2π,3)解析：由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是V＝23－eq\f(1,3)×π×12×2＝8－eq\f(2π,3).答案：A4.[2013·陕西高考]某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：综合三视图可知，该几何体是半径r＝1的半个球体．其表面积＝eq\f(1,2)·4πr2＋πr2＝3π.答案：3π5.[课本改编]三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．解析：由意得，VP－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).答案：eq\r(3)突破·3个热点考向考向一　eq\a\vs4\al(几何体的表面积)[案例探究]例1　(1)[2014·浙江高考]某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是(　　)A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2[答案]　D[解析]　由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S＝3×5＋2×eq\f(1,2)×4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm2)．(2)[2013·重庆高考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A.180B.200C.220D.240[解析]　由三视图知该几何体是如图所示的四棱柱ABCD－A1B1C1D1.S四边形ABB1A1＝2×10＝20，S四边形DCC1D1＝(3＋2＋3)×10＝80，S四边形ABCD＝S四边形A1B1C1D1＝eq\f(1,2)×(2＋8)×4＝20，S四边形AA1D1D＝S四边形BB1C1C＝10×5＝50，∴表面积＝20＋80＋2×20＋2×50＝240.故选D.[答案]　Deq\a\vs4\al([奇思妙想])　本例(2)中几何体的三视图不变，则该几何体的体积如何求解？解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝eq\f(1,2)×(2＋8)×4×10＝200.1．多面体的表面积的求法求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系．2．旋转体的表面积的求法圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．　　[学以致用]1.[2015·辽宁模拟]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38.答案：382.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为(　　)A.48＋12eq\r(2)B.48＋24eq\r(2)C.36＋12eq\r(2)D.36＋24eq\r(2)解析：由三视图可知原棱锥为三棱锥，记为P－ABC(如图所示)．且底面为∠ABC为直角的直角三角形，顶点P在底面射影为底边AC的中点，且由已知可知AB＝BC＝6，PD＝4.AC＝6eq\r(2)，答案：A∴S△PAC＝eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＝12eq\r(2)，BD＝eq\f(1,2)AC＝3eq\r(2).∴S△PAB＝S△PBC＝eq\f(1,2)×6×5＝15，S△ABC＝eq\f(1,2)×6×6＝18.∴全面积S＝12eq\r(2)＋2×15＋18＝12eq\r(2)＋48.故选A.考向二　eq\a\vs4\al(几何体的体积)[案例探究]例2　(1)[2014·课标全国卷Ⅱ]如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)[解析]　该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34πcm3，圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54πcm3，所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20πcm3，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为eq\f(20π,54π)＝eq\f(10,27)，故选C.[答案]　C(2)[2014·山东高考]三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.[解析]　如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝eq\f(1,3)S1h1，V2＝eq\f(1,3)·S2h2，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1h1,S2h2)＝eq\f(1,4).[答案]　eq\f(1,4)由三视图求解几何体体积的解题策略(1)以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．(2)求几何体的体积时，若所给定几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解，若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等方法求解．　　[学以致用]3.[2014·天津高考]一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成，故体积V＝π×12×4＋eq\f(1,3)×π×22×2＝eq\f(20,3)π(m3)．答案：eq\f(20,3)π4.[2013·江苏高考]如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析：由题意知，三棱锥F－ADE与三棱柱A1B1C1－ABC的高之比为eq\f(1,2)，底面积之比为eq\f(1,4)，故V1∶V2＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×\f(1,4),1)＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)考向三　eq\a\vs4\al(球的表面积和体积)[案例探究]例3　(1)[2014·陕西高考]已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)A.eq\f(32π,3)B.4πC.2πD.eq\f(4π,3)[解析]　如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC＝eq\r(2)，∴对角面ACC1A1为正方形，∴外接球直径2R＝A1C＝2，∴R＝1，∴V球＝eq\f(4π,3)，故选D.[答案]　D(2)[2014·湖南高考]一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)A.1B.2C.3D.4[答案]　B[解析]　由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱，该直三棱柱的底面是两直角边长分别为6和8的直角三角形，其高为12.要得到最大球，则球与三个侧面相切，从而球的半径应等于底面直角三角形的内切圆的半径，故半径r＝eq\f(2S,6＋8＋10)＝2，其中S为底面直角三角形的面积．故选B.破解球的表面积和体积问题(1)多面体的外接球和内切球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合原有多面体的特性求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．(2)球的截面问题，首先需理解两个基本性质：球的任何一个截面都是圆面，球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面．然后利用性质解三角形求出球的半径．　　[学以致用]5.[2014·大纲全国卷]正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A.eq\f(81π,4)B.16πC.9πD.eq\f(27π,4)解析：易知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，则(4－R)2＋(eq\r(2))2＝R2，解得R＝eq\f(9,4)，所以球的表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81,4)π，故选A.答案：A6．[2013·辽宁高考]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)A.eq\f(3\r(17),2)B.2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D.3eq\r(10)解析：由题意知，该三棱柱可以看作是长方体的一部分，且长方体的三条棱长为3、4、12，又∵三棱柱的外接球即为长方体的外接球，(2R)2＝32＋42＋122，∴R＝eq\f(13,2).故选C.答案：C破译·5类高考密码题型技法系列11——破解切割棱柱体的三视图问题[2014·重庆高考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A.54B.60C.66D.72[解题视点]　根据三视图，还原几何体．先画出该棱柱在没有切割前完整的图形，然后去掉被切割下的三棱锥，结合图形利用面积公式求解．[解析]　题中的几何体可看作是从直三棱柱ABC－A1B1C1中截去三棱锥E－A1B1C1后所剩余的部分(如图所示)，其中在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，则BC＝5，△ABC的面积等于eq\f(1,2)×3×4＝6.AA1⊥平面ABC，则直角梯形ABEA1的面积等于eq\f(1,2)×(2＋5)×4＝14，矩形ACC1A1的面积等于3×5＝15.[答案]　B过点E作EF⊥AA1于点F，则EF＝AB＝4，A1F＝B1E＝BB1－BE＝3，则A1E＝5，所以△A1C1E的面积等于eq\f(1,2)×3×5＝eq\f(15,2)，直角梯形BCC1E的面积等于eq\f(1,2)×(2＋5)×5＝eq\f(35,2)，因此题中的几何体的表面积为6＋14＋15＋eq\f(15,2)＋eq\f(35,2)＝60，选B.[答题启示]　从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关．通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体．处理这类问题时，应当熟悉规则的几何体的三视图，从而正确地还原几何体.跟踪训练[2013·浙江高考]已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3答案：B解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥，结合所给数据，可得其体积为6×6×3－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×4×3＝100(cm3)，故选B.迎战·2年高考模拟限时··特训谢谢观看！