《高等数学》标准教案

《高等数学》标准教案高等数学教案课程名称微积分初步授课专业、班级08课程类型专业基础课课程学时数68课程学分数4学分教材版本__《高等数学》孙伟主编___________考核方式考勤、理论、平时成绩、期末考试授课教师授课时间08.09——08.12.3120082009学年第一学期………………………………………………………………………一、课程单元、章节第一章函数、极限与连续二、教学要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4．掌握基本初等函数的性质及其图形。5．会建立简单应用问题中的函数关系式。三、重点和难点1.重点：基本初等函数的性质及其图形2.难点：复合函数及分段函数的概念。四、教学进度：理解函数的概念，掌握函数的表示方法。1.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。2.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。3.掌握基本初等函数的性质及其图形。4.会建立简单应用问题中的函数关系式。五、课时数4六、教学方式：课堂讲解，学生课堂课后练习七、作业：教材第9页1，3，4，7，10八、参考籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：本章的主要内容在中学已讲过，在教授时注意将以前所学的知识作系统的回顾，并作适当的加深，使学生对初等函数形成比较完整的概念，为学习定积分奠定良好的基础。学生对该章节的内容反映较好。十、教学过程及内容：§1.1函数1。1。1函数的概念①定义设为点集，则映射：称为定义在上的函数，记为，其中：称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量。称为函数的值域。函数常用，，，，，等表示，如，，等。函数的定义域：使得表达式（算式）有意义的全体实数。如，，，，集合称为函数的图形。②函数的参数变形（复习）。例：例：③函数的图像函数图像的描绘。（描点法，举例介绍）函数图像的平移：例：平移一单位后，解析式是？④函数的单调性则f(x)单增。反之单减。从图像上看，单增的图像在x的正方向上往上。即例：判断的单调性。（单增）以后判断函数的单调性还有别的方法，例如利用复合函数地方法和导数地方法。⑤函数的奇偶性奇函数：，偶函数：奇函数和偶函数定义域对称。例：函数综合复习题。1.1.2初等函数与复合函数1．基本初等函数（要求能做出图像，定义域。注意牢记。）1）．幂函数：，定义域以为例2）．指数函数：，定义域例如：3）．对数函数：定义域4）．三角函数：，，，5）．反三角函数：，，，例题：1，做出函数的图像。2，做出函数的图像。3，求的定义域。4，求的定义域。注意分以及它的奇偶性讨论。2．初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成并可由一个式子表示的函数称为初等函数。如，，不是初等函数。是初等函数。注意，要能区分初等函数和复合函数。例：3．复合函数设定义域为，定义域为，而且，则称为由与复合而成的复合函数，记为（）为与可以复合的条件。如与不能复合。有时，与复合的定义域可能是的定义域的一部分，如与复合得的定义域为为的定义域的一部分。单调性相同的函数复合成增函数，单调性不同的函数复合成减函数。例1.求下列函数的定义域4。分段函数：不同的区间段对应不同的解析式，这时候往往用分段函数来表示。例如1.1.4常见的经济函数1需求函数Qd=Qd(p)一般是减函数。2供给函数Qs=Qs(p)一般是增函数。3成本函数C=C0+C1C0是固定成本，一般为常数，C1是变动成本，是产量的函数，即C1=C1(q)。4收入函数R=pq=qp(q)q为产量,这里价格一般是产量的函数。5利润函数L=R-C§1.2函数的极限1.2.1极限的概念1数列的极限数列是自变量为自然数的函数，.当时，若称是的极限，记为是一个有限的常数。例：求下列数列的极限，，，数列极限的基本性质①数列若有极限，则极限唯一。②有极限的数列一定有界，有界的数列不一定有极限。无界的数列一定无极限。注：有界例如：，.都有界但无极限。对第二条简要证明:只需考察当时，是否是个有限数。由容易得到。2函数的极限（1）自变量趋向于无穷时函数的极限例，，且时，，，时，.定义：当时，若称是当时的极限。记为是一个有限的常数。例：求极限，，，思考是否存在？(2)自变量趋向于某一个有限值时函数的极限定义3：当时，若称是当时的极限。记为是一个有限的常数例3：求思考：是否存在？(3)单侧极限思考？两函数①从左边趋近0和从右边趋近于0时，②从左边趋近0时从右边趋近于0时当是从左边趋近时，记为当是从右边趋近时，记为定义3若时称是在时的左极限。记为时称是在时的右极限，记为左极限和右极限统称单侧极限。＊＊在存在极限左右极限存在且相等。即＊例2：判断下列函数在是否有极限1.2.2极限的运算法则例4：求下列极限一般地：例5：练习：，例6：求极限：1.2.3无穷小量与无穷大量无穷小量1定义：如果当（或）时，函数f(x)的极限为零，称函数f(x)为（或）时的无穷小量，简称无穷小。定理：若则。其中为时的无穷小.例：2。无穷小性质性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小。性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小。例：3。无穷小的比较定义设，为无穷小如果，则说是比高阶的无穷小，记作；如果，则说是比低阶的无穷小；如果，则说与是同阶无穷小；如果，则说与是等价无穷小，记作；如果，，则说是关于的阶无穷小。无穷小替换方法：若，的极限存在，则的极限等于的极限。注意：替换时无穷小必须是因子。常用的等价的无穷小量。～,,,例3，例4因，～，故极限为零，解法是否正确？1.2.4两个重要极限与1．夹逼定理和极限定理：若在某邻域内且，，则存在，且。证明：所以即由于，得或由于为偶函数，故在内，也有。由于当时由夹逼准则，得，由夹逼准则，得一般地：例1:,,,2单调数列极限和若称数列是单调增数列。称数列是单调减数列。定理：单调有界数列必有极限。例2：是单调增加数列。故是存在的，令。显然定理：证明：对于任何，存在正整数使得，因此有由于得一般地：或者例3：思考：§2.4函数的连续性与连续函数的运算1．函数连续性概念（1）连续性定义连续性即是当自变量作微小变动时，函数值也相应的做微小变动，体现在函数图象上就是没有断点。定义.1：当时，若称在连续。即.显然在连续的充要条件是若在定义域内每一点连续，称是连续函数。例1：在任意区间内连续。例.2：讨论，和在x=0的连续性。2。函数的间断点如果函数在处不连续，则称为函数的一个间断点。间断点有三种情况：(1)在处没有定义；(2)在处没有极限；(3)；例如在处没有定义；当时没有极限。当时定义2.如果是间断点，当在左右极限都存在时，称为第一类间断点。其余称为第二类间断点。例3：判断，，的间断点是什么类型。例4：指出的间断点，及其类型。3.函数在一点连续的性质在连续例5：，4.闭区域上连续函数的性质定理1:最大最小值定理：在闭区间上连续的函数，在该区间上必有最大值和最小值。定理2：零点定理：设函数在闭区间上连续，且，则必有，使得。例6：证明方程在区间内至少有一个根。定理3（介值定理）设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，即，，且，则对于介于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。证明：令，对应用零点定理，得存在，使得即或……………………………………………………………………………一、课程单元、章节第三章导数与微分二、教学要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。4．会求分段函数的一阶、二阶导数，会计算函数的相关变化率。5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。三、重点和难点1.点：四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。2.点：复合函数的求导法则，隐函数和由参数方程所确定的函数的导数四、教学进度：1．导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用。3.高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。4.分段函数的一阶、二阶导数，会计算函数的相关变化率。5.隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数。五、时数10六、教学方式：课堂讲解七、作业：教材第48页1，2，5，11，14八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：本章主要内容是导数与微分的定义，计算以及应用。微分学有两个基本概念：一个是导数，一个是微分，导数与微分有着密切的联系，她们从不同的角度刻画了两个变量间的某种变化特征。十、教学过程、内容：§3.1导数概念1．引例(1)．直线运动的速度一物体作直线运动，位置与时间的关系为，确定物体在某时刻的速度。从时刻到时刻，物体从运动到，在该时间段内物体运动的平均速度为物体在时刻的速度定义为(2)曲线的切线函数的图形一般为一条曲线，确定曲线在点处的切线。在的邻近取一点，则割线的斜率为当点沿曲线趋向于，割线的极限位置称为曲线在点的切线。因此，切线的斜率为2．导数的定义（1．）导数的定义如果记，则相当于，因此定义3.1设函数在的某邻域内有定义，当自变量在处取得增量，相应地函数取得增量，如果极限存在，则说函数在处可导，极限值称为函数在处的导数，记为，即函数在处的导数也可记为，或如果记，导数也可表示为及如果函数在区间内的每一点都可导，则说函数在区间内可导，即对任何，有为的导函数（简称为的导数），而且（2）运用定义求导数例1求函数（为常数）的导数。例2求函数（）在处的导数。解：由于因此得更一般地，有（为实数）例如例3.求函数的导数。解：计算得3。导数的几何意义如果函数在可导，则在的导数值为曲线C：在点处的切线的斜率，即因此，曲线C：在点处的切线的方程为过曲线C：的切点，与切线垂直的直线称为曲线在点处的法线。如果，曲线C：在点处的法线方程为例4求曲线在点处的切线和法线的方程。例5求，在任一点的切线和法线方程，并观察函数在极值处的切线和法线的特点。4、函数可导与连续的关系定理3.1函数在可导，则函数一定在连续。证明：因为存在，又，=0，故注：定理的逆命题不真，例如，，在处不可导；※单侧导数如果极限存在，则称为函数在处的右导数，记为。如果极限存在，则称为函数在处的左导数，记为；例6：求在x=0的左右导数。例7：求在x=0的左右导数。显然由极限存在的充要条件可得到：定理3.2：函数在处可导的充要条件是函数在的左右导数存在且相等。例8：判断函数在x=0的可导性。练习：判断在x=0的可导性。§3.2导数的运算1。初等函数的导数公式(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10)(11),2。函数的和、差、积、商的求导法则定理3.3如果函数及都在点具有导数，则(1)；(2)；(3)()。证明：(2)例1求下列函数的导数(1)，(2)，(3)3。复合函数的导数对于复合函数，如，，有求导法则，称为链式法则。定理3.4如果在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，且导数为或证明：可导，故时必有，例2求下列函数的导数(1)(2)(3)(4)(5)4。隐函数的导数一般地，方程可确定一个函数或，称为由方程确定的隐函数。现在来求隐函数的导数，通过例子来说明。例3.2.3设是由方程确定的隐函数，求。解：由于由方程确定，得两边对求导数，得解得练习：设由方程确定，求解：方程两边对求导数，得解得由于时，，得例4求（）的导数。解：两边取对数，得两边对求导数，得解得一般情况，对于幂指函数：（）求导数的方法为：先取对数，得对求导数，得解得以上求导数方法称为对数求导法。5。高阶导数对于路程函数，为速度，为加速度，为二阶导数，记成。对于一般函数，，称为的二阶导数，记成，，或，记类似，可定义三阶导数、四阶导数乃至于阶导数，即称为一阶导数，二阶以及二阶以上导数都称为高阶导数。例.5设，求解：，例6，求思考：1设，求2设，求§3.4微分1．微分的概念边长为的正方形的面积，如果边长从增加到时，面积的增量为包含两部分，和。相对比较比小得多，而且这样，当很小时，，而且。对于一般的函数，当自变量从增加到时，函数增量定义：设函数在某区间内有定义，及属于。如果函数的增量可表为其中为与无关的常数，则说函数在处是可微的，称为函数在处的微分，记为，即下面论述函数在处是可微的条件。定理3.9在处是可微当且仅当它在可导。证明：如果函数在处是可微，则即因此即函数在处是可导，而且。反之，如果函数在处是可导，即因此得为时的无穷小。即综上，函数在处是可微等价于函数在处是可微，而且。特别地，函数的微分为。因此，函数的微分为例1求函数在和的微分例2求函数当，时的微分2．微分的几何意义设函数，当自变量从增加到，相应的函数增量为如图，函数在处的微分为曲线的切线当从增加到时的增量，即3．参数方程所确定的函数的导数一般情况，平面曲线的参数方程例3设，求例4求椭圆曲线在相应点的切线方程。练习：计算摆线的二阶导数。特别对一元函数有：常用的近似公式：……………………………………………………………………………一、程单元、章节第四章导数的应用二、教学要求1．了解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理。2．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值与最小值的求法及其简单应用。3．会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形。4握用洛比达法则求未定式极限的方法。三、重点和难点1重点：洛比达法则求未定式极限，理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值与最小值的求法及其简单应用。2难点：会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数图形四、教学进度：按教学要求的过程五、课时数6六、教学方式：课堂讲解七、作业：教材第66页1，3，5，6八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：本章学习的三个中值定理是微分学的理论基础。掌握函数单调性的判定是本章的重点。十、教学过程及内容：§4.1中值定理1.罗尔定理费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对于任意的，有（或）则。证明：不妨设时，。于是，对于，有从而当时故当时，故由于在处可导，故罗尔定理如果函数满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可微；(3)在区间端点处的函数值相等，即，则至少存在一点，使得。证明：由于在闭区间上连续，故在取得其最大值和最小值。分两种情况：(1)如果，则在上为常数，故。这样，任取，都有。(2)如果，则最大值与最小值至少有一个不等于在区间端点处的函数值。不妨设，因此至少存在一点，使得。因此，对于任何，都有，由费马引理。例4.1.1在[0,1]上是否满足罗尔定理条件。例4.1.2，在取间上是否满足2、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续；(2)在开区间内可微，则至少存在一点，使得(1)或证明：构造辅助函数在上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点，使得。又由于故即公式(1)称为拉格朗日中值公式。关于拉格朗日中值公式，有以下几点说明：(1)如果，则，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。(2)当时，公式(1)也成立。(3)如果在上满足拉格朗日中值定理条件，，有，介于与之间或（）(2)公式(2)称为有限增量公式。定理如果函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数。证明：任取，由拉格朗日中值定理由于，故。由于，的任意性，得在区间上是一个常数。例4.1.3证明当时证明：令，在上应用拉格朗日中值定理，得由于得例4.1.4：证明:若,则3、柯西中值定理（略）如果曲线由参数方程表示，即：则但是，弦的斜率为因此，在点有注意，当时，柯西中值定理便转化为拉格朗日中值定理。§4.2洛必达法则4.2.1罗必塔法则（）型定理：若函数和满足：（1）（2），在的某去心邻域存在，且则证明：设，在的去心邻域O存在，即,和在连续，在可导。由拉格朗日中值定理得到：存在使，故让，这时，则，,而故，例4.2.1求下列极限，，，，4.2.1罗必塔法则（）型定理：若函数和满足：（1）（2），在的某去心邻域存在，且则例4.2.2求下列极限，，§4.3函数的单调性4.3.1一元函数的单调性定理：在上可导，则在单增，在单减证明：取，由可得结论。例4.3.1试证：在单增。例4.3.2求的单调区间。思考：用单调性证明:若,则证明：，时时，§4.4函数的极值与最大、最小值1函数的极值例在点的左侧邻近，单调增加；在点的左侧邻近，单调减少，即存在的去心邻域，时，使得。同理，对于点，存在的去心邻域，时，使得。定义设函数在点某邻域内有定义，如果对于任何，有（或）则称为的一个极大值（极小值）。极大值、极小值都称为函数的极值，使得函数取得极值的点称为极值点。定理1（必要条件）设函数在处可导，且在处取得极值，则。定理2（第一充分条件）设函数在处，且在某去心邻域内可导，（1）若时，，而时，，则在处取得极大值；（2）若时，，而时，，则在处取得极小值；（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值。如果某区间内连续，除个别点外处处可导，求在该区间内极值点和极值的方法如下：（1）求出导数（2）求出的全体驻点与不可导的点；（3）考察的符号在每个驻点和不可导的点的左、右邻近的符号，以确定该点是否为极值点，如果是极值点，是极大值点还是极小值点；（4）对于极值点，求出极值。例4.3.3求函数的极值。解：；（），在内，，内，。故在达极大值。定理3（第二充分条件）设函数在处具有二阶导数且，，则（1）当时，函数在处取得极大值；（2）当时，函数在处取得极小值。证明：由于由极限的保号性，存在的邻域，使得即即在的两侧改变符号，且由正变负，故在处取得极大值。例1求函数的极值。解：，令，得驻点为，，。计算得由于，故为极小值。因为，故需用第一充分条件，得，都不是极值点。练习：求的极值。§4.5函数的凹凸性及拐点以下考虑函数二阶可导。定理：在区间内，若，则在上凹，，若，则在下凹。上凹和下凹的分界点称为拐点，显然若是拐点，则§4.6函数图形的描绘渐近线：定义：，称为垂直渐近线。称为水平渐近线。例如：的垂直渐近线为，的垂直渐近线的水平渐近线为利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域及函数所具有的特性（奇偶性，周期性），并求出，；（2）求出和在定义域内的全部零点及的间断点和、不存在的点，并用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；（3）确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形在这些区间的升降和凸凹，极值点和拐点；（4）确定函数图形的水平、铅直渐近线及其他变化趋势；（5）算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出函数图形上相应的点，有必要时在补充一些点，结合（3）和（4）的结果，联结这些点画出函数的图形。例.1画出函数的图形。解：（1）函数的定义域为，，；（2）的零点为和，的零点为，用，和把定义域分成，，，；（3）在内，，，所以在上图形是上升且凸的，在内，，，所以在上图形是下降且凸的，在内，，，所以在上图形是下降且凹的，在内，，，所以在上图形是上升且凹的，列成表格为+00+0+++图形上升凸极大值下降凸拐点下降凹极小值上升凹（4）当时，；当时，，故没有渐近线；（5）算出，，，得到图形上三个点为，，，再补充一些点为，，，结合（2），（3）画出函数的图形为4.4函数的最值及其应用最大值最小值问题例1：求函数在的最大值和最小值。例2：做一个容积为V的有盖的圆柱形桶，问底半径和高为多少时，用料最少？（就是使表面积最少）例3：如图修一条公路，将工厂A的商品运到M然后改用水运最后送到B，已知水路运费为每吨6元,公路为每吨10元，确定M的位置，使运费最少。……………………………………………………………………………..一、课程单元、章节第五章不定积分二、教学要求1．理解原函数的概念和不定积分的概念。2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。3．会求简单的有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4．会利用积分表计算不定积分。三、重点和难点1重点：原函数的概念和不定积分的概念，不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。2难点：换元积分法与分部积分法。四、教学进度：按教学要求的过程。五、课时数8六、教学方式：课堂讲解七、作业：教材第77页1，2，4，5八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：理解不定积分的概念，熟练记忆积分基本公式，掌握各种积分法的适用范围。对于积分方法尽量选择简单的方法。但是在积分方法的选择上学生较吃力。十、教学过程及内容：§5.1不定积分的概念1原函数与不定积分定义1如果对任一，都有或则称为在区间I上的原函数。例如：，即是的原函数。，即是的原函数。原函数存在定理：如果函数在区间I上连续，则在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数，使得对任一，有。注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。注2：如果与都为在区间I上的原函数，则与之差为常数，即（C为常数）注3：如果为在区间I上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。定义2在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。如果为的一个原函数，则，（为任意常数）例1.因为，得例2.因为，时，；时，，得，因此有显然由原函数与不定积分的概念可得：1)2)3)4)5)§5.2不定积分的基本积分公式及性质1.不定的基本积分公式1)(为常数)2)()3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)例3．5.3.4不定积分的性质性质1．性质2．，　（为常数，）例5.3.4求　　　　例5.3.5求　解：　　　例1.求　解：　　　　　例2．求　解：　　　例3．求　解：　　　例4．求　解：　　　§5.3积分法1第一类换元法设为的原函数，即或如果，且可微，则即为的原函数，或因此有定理设为的原函数，可微，则(2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。例1．求解：例2．求解：例3．求解：原式=类似可得例4．求，解：例5．求解：例6．求解：例7．求解：例8求解：例9求解由于因此得例10求解：例11求解由于因此例12求解2第二类换元积分法定理设是单调的可导函数，且，又设具有原函数，则(2-2)其中为的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。例13求，解：令，，则，，因此有例14求，解：令，，则，，因此有其中。例15求解当时，设，，则因此又由于，得其中。当时，令，则，因此其中。综合得例16求解：3分部积分法设，，则有或两端求不定积分，得或即(3-1)或(3-2)公式(3-1)或(3-2)称为不定积分的分部积分公式。例1．求解：例2．求解：注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。例3．求解：例4．求解：注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为，其余部分取为。例5．求解：因此得即例6．求解：令，则，，因此例7求解：移项，得即例8求，其中为正整数。解用分部积分法，当时，有即注意到递推可得。…………………………………………………………………………….一、课程单元、章节第六章定积分二、教学要求1．理解定积分的概念。2．理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握变上限定积分求导，掌握牛顿-莱布尼茨公式。3．掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。三、重点和难点1重点：定积分的概念，牛顿-莱布尼茨公式，求平面图形的面积2难点：换元积分法与分部积分法。四、教学进度：按教学要求的过程五、课时数12六、学方式：课堂讲解七、作业：教材第88页3八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：定积分概念的理解，对于我们解决一些问题是十分有帮助的。它的思想方法在很多领域是值得借鉴的。所以学生应多读几遍。其中牛顿-莱布尼兹公式揭示了定积分和不定积分之间的关系。学生学起来比较吃力，还是能做基本练习。十、教学过程及内容：§6.1定积分的概念1、定积分问题举例：1、曲边梯形面积设在上非负，连续，由直线，，及曲线所围成的图形，称为曲边梯形。求曲边梯形的面积。在区间中任意插入若干个分点把分成个小区间[]，[]，…，[]，…，[],它们的长度依次为经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个窄曲边梯形，在每个小区间[]上任取一点，以[]为底，为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形（），把这样得到的个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值，即=设时，可得曲边梯形的面积2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔[]上的连续函数，且，计算在这段时间内物体所经过的路程在[]内任意插入若干个分点把[]分成个小段[]，[]，…，[]，…，[]各小段时间长依次为相应各段的路程为在[]上任取一个时刻，以时的速度来代替[]上各个时刻的速度，则得进一步得到=设时，得6.1.2、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积，路程.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间[a,b]分成个小区间各个小区间的长度依次为.在每个小区间[]上任取一点),对应函数值为作小区间长度与的乘积并作出和.记,如果不论对怎样分法,也不论在小区间[]上点怎样取法,只要当时，和式S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分),记作,即==,其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：函数可积的两个充分条件：定理1设在上连续，则在上可积。定理2设在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积。几何意义：表示各个曲边梯形正负面积的和。例1：若是奇函数，0§6.2定积分的性质性质1函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即证明：==性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即(是常数)性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设，则注意：我们规定无论的相对位置如何，总有上述等式成立。性质4如果在区间上，，则性质5如果在区间上，证明：因故，又因，，故设，时，得。推论1如果在上，，则推论2性质6设与分别是函数在上的最大值及最小值，则§6.3定积分基本公式及积分法1积分上限的函数及其导数设在上连续，并且设为上任一点，设函数具有如下性质：定理1如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上具有导数，并且它的导数是=（）证明：(1)时，==在之间时，有(2)其单侧导数，可得，由定理1可得下面结论定理如果函数在区间上连续，则函数是的一个原函数。积分上限函数的几何意义如图所示2、牛顿—莱布尼茨公式定理如果函数是连续函数在区间上的一个原函，则证明：因与均是原函数，故=（）令，得=即=或令，得(1)为方便，可记作[]公式(1)称为牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz）公式，或微积分基本公式。例.1例.2计算解：=例3解：例.4计算在[]上与轴所围成平面图形的面积。解：§6.4定积分的应用1.平面图形的面积由曲线及直线与()与轴所围成的曲边梯形面积。其中：为面积元素。由曲线与及直线，()且所围成的图形面积。其中：为面积元素。例1计算抛物线与直线所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程,得交点：和。例2求椭圆所围成的面积。解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。取为积分变量，则，故(*)作变量替换则，(**)2旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。计算由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积。取为积分变量，则，对于区间上的任一区间，它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆柱体体积。即：体积元素为所求的旋转体的体积为例1求由曲线及直线，和轴所围成的三角形绕轴旋转而生成的立体的体积。解：取为积分变量，则………………………………………………………………………………………………………………一、课程单元、章节第八章常微分方程初步二、教学要求1．理解常微分方程的概念。2.掌握简单常微分方程的求法三、重点：分离变量法解常微分方程。四、教学进度：1.常微分方程的相关概念。2.变量分离法。五、课时数4六、教学方式：课堂讲解七、作业：教材第105页1八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社九、教学小结：本章内容只涉及到了常微分方程的最简单的概念，以及微分方程中最简单的情形变量分离方程。学生对基本的解题步骤，能较简单的掌握。十、教学过程及内容：§8.1常微分方程的基本概念1常微分方程的概念例1一曲线过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求曲线的方程。解：设曲线方程为，则，且解得，为任意常数又由于，得，即为所求曲线。例2列车运行时速为，制动时加速度为，问从开始制动到停车，火车能运行多远？解：设火车运行规律为，则制动时，运行规律满足并满足时，，。解得由于，得，即，再积分一次，得又由于时，，得，即令，得，即从制动到停车需，制动过程火车运行含有未知函数、未知函数的导数和自变量的等式称为微分方程。例如，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程；微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如:为三阶微分方程；方程为四阶微分方程。2微分方程的解阶微分方程的一般形式为(1)如果关于最高阶导数可解出，即阶微分方程可转化为(2)如果函数在区间具有阶连续导数，且满足则称为微分方程(1)在区间的解。例如：为方程的解；为方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且含有的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则这个解称为微分方程的通解。例如：为微分方程的通解。利用某些条件将通解中的任意常数确定后所等到的解称为微分方程的满足这些条件的特解。例如：为微分方程满足条件，的特解；为方程满足条件的特解。其中条件，和等称为微分方程的定解条件或初值条件（初始条件）。求微分方程满足初值条件的特解这一问题称为一阶微分方程的初值问题。二阶微分方程的初值问题一般表示为例3验证：函数是微分方程的通解。§8.2一阶线性微分方程1变量可分离方程一阶微分方程(1)或（）(2)若方程(1)或(2)能写成(3)方程(3)称为可分离变量的微分方程，简称变量可分离方程。例如：可化为对于变量可分离方程一般解法为两边积分，即得通解为例1设求通解。解：分离变量得两边积分得或例2降落伞下落的运动规律满足微分方程其中为下落物体的质量，为阻力常数。求降落伞下落的速度与时间的关系。解：将方程分离变量，得解得（）或解得或注意到，得。因此…………………………………………………………………………………………………一课程单元、章节第九章空间解析几何与向量代数二教学要求1理解空间直角坐标系的概念，理解向量的概念及其表示。2掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、*混合积），了解两个向量平行、垂直的条件。3掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标的表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。三重点和难点1重点：向量的运算（线性运算、数量积、向量积、*混合积），了解两个向量平行、垂直的条件四、教学进度：1.空间直角坐标系的概念，向量的概念及其表示。2.向量的运算（线性运算、数量积、向量积、*混合积）五、课时数4六、教学方式：课堂讲解七、作业：P126第4，5，6题八、参考书籍：《应用高等数学》上，翟向阳主编，上海交通大学出版社《高等数学》盛骤等编，浙江大学出版社《解析几何》吕林根等编。九、教学小结：通过本章的学习学生首先对空间有基本的概念。关于向量的数性积和矢性积的计算，是本章的重点。学生能较好的掌握。对于判断向量的平行的垂直，学生也能很好的求解。总之本章的学习学生表现出了较大的的兴趣。十、教学过程及内容：§9.1空间直角坐标系1、空间直角坐标系（1）．概念。（2）．空间点的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。2．（3）．空间两点间的距离。特殊地：若两点分别为，例1：求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。§9.2向量及其运算1、向量的概念（1）．向量定义：由长度和方向确定的量。两点可确定一个向量。向量相等的条件：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。(2)向量的模：向量的大小，记为、。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。(3)量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。(4)负向量：大小相等但方向相反的向量，记为2、向量的运算(1)．加减法：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4(2)．即（3）．向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量，那么性质：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝3向量的坐标表示。1）点的向径和向量的坐标。2）两点确定的向量的坐标。3）向量的坐标运算小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。§9.3数量积和向量积两矢量的数性积前面我们已学过矢量的加法和数乘运算，这两种运算的结果仍然是矢量，这一节我们将进行两矢量的一种乘积运算，这种运算的结果是一个数，一个非常典型的例子是物理学上一个外力，经过一定的位移所作的功1．基本概念定义1.1：两个矢量和的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量和的数性积（也称内积），记或，即或注：数性积是一个数，零矢量与任何矢量的数性积为0。运算律(1)交换律(2)关于数因子的结合律(3)分配律常用结论：(1)(2)例1：两两垂直，，求以及与的角2．数性积与坐标※在直角标架下的计算那么Proof:推论：①②空间两点间的距离是③④矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}相垂直的充要条件是，例2：求三角形ABC的内角余弦。两矢量的矢性积引言前面已学过数性积，它表示一个数，这一节我们将引入两矢量的乘积运算的另一种形式，它的结果是一个新的矢量。首先看一下它的定义：1.基本概念定义1.1两矢量a与b的矢性积（也称外积）是一个矢量，记做，定义为：①,②方向：与a,b都垂直，且按a,b,的顺序构成右手系几何意义：①两不共线矢量a与b的矢性积的模等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积。②两矢量共线的充要条件是，即=0运算规律①反交换=-()证明：②证明略。③证明：例：验证与不平行，从这里可以看出结合律不成立。2.矢量积的坐标表示：如果坐标分量或例：求与都垂直的单位向量。CTRL+A全选可调整字体属性及字体大小-CAL-FENGHAI.NetworkInformationTechnologyCompany.2020YEARBMA