第一轮一元二次不等式及其解法详细过程

第一节　一元二次不等式及其解法(见学生用第1页) 考纲传真 　　1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式．对给定的一元二次不等式，会求解的程序框图.1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－eq\f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程3．简单的分式不等式(1)eq\f(f（x）,g（x）)＞0⇔f(x)·g(x)＞0；(2)eq\f(f（x）,g（x）)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0．　ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的条件是什么？【提示】　a>0且b2－4ac<0.1．(人教A版教材习改编)不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　)A．(－eq\f(1,2)，1)　　　　　　　B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－eq\f(1,2))∪(1，＋∞)【解析】　∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－eq\f(1,2).故原不等式的解集为(－∞，－eq\f(1,2))∪(1，＋∞)．【】　D2．不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集为(　　)A．(－eq\f(1,2)，1]B．{x|x≥1或x＜－eq\f(1,2)}C．[－eq\f(1,2)，1]D．{x|x≥1或x≤－eq\f(1,2)}【解析】　原不等式等价于(x－1)(2x＋1)＜0或x－1＝0.∴原不等式的解集为(－eq\f(1,2)，1]．【答案】　A3．(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】　∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8.【答案】　(0，8)4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－eq\f(1,2)，eq\f(1,3))，则a＋b的值是________．【解析】　由已知得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－eq\f(1,2)，eq\f(1,3).则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3),\f(2,a)＝（－\f(1,2)）×\f(1,3)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝－14.【答案】　－14)(见学生用书第2页) 一元二次不等式的解法　解下列不等式(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2＋3＞2x；(3)eq\f(2x,x－1)≤1.【思路点拨】　(1)先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；(2)用配方法或用判别式法求解；(3)移项通分，转化为一元二次不等式求解．【尝试解答】　(1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式化为x2－2x＋3＞0，∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数，∴不等式x2＋3＞2x的解集为R.(3)∵eq\f(2x,x－1)≤1⇔eq\f(2x,x－1)－1≤0⇔eq\f(x＋1,x－1)≤0⇔(x－1)(x＋1)≤0且x≠1.∴原不等式的解集为[－1，1)．,1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集．解下列不等式：(1)－2x2－5x＋3＞0；(2)－1≤x2＋2x－1≤2；【解】　(1)∵－2x2－5x＋3＞0，∴2x2＋5x－3＜0，∴(2x－1)(x＋3)＜0，∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜eq\f(1,2)}．(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1≥－1，,x2＋2x－1≤2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x≥0，　　①,x2＋2x－3≤0.②))由①得x≥0或x≤－2；由②得－3≤x≤1.故得所求不等式的解集为{x|－3≤x≤－2或0≤x≤1}. 含参数的一元二次不等式的解法　求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】　先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．【尝试解答】　∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①a＞0时，－eq\f(a,4)＜eq\f(a,3)，解集为{x|x＜－eq\f(a,4)或x＞eq\f(a,3)}；②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a＜0时，－eq\f(a,4)＞eq\f(a,3)，解集为{x|x＜eq\f(a,3)或x＞－eq\f(a,4)}．综上所述：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜－eq\f(a,4)或x＞eq\f(a,3)}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜eq\f(a,3)或x＞－eq\f(a,4)}．,解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.【解】　原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0.当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为空集；当a＜1时，原不等式的解集为(a，1)． 三个二次的关系　已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集(－1，2)，试求关于x的不等式ax2＋x＋b＜0的解集．【思路点拨】　不等式解集的端点值是相应方程的根．【尝试解答】　由于x2＋ax＋b＜0的解集是(－1，2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＋b＝0，,4＋2a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.))故不等式即为－x2＋x－2＜0，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜0，,Δ＝1－8＝－7＜0))∴不等式ax2＋x＋b＜0的解集为R.,(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．若关于x的不等式eq\f(ax,x－1)＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范围．【解】　eq\f(ax,x－1)＜1⇔eq\f(（a－1）x＋1,x－1)＜0⇔[(a－1)x＋1](x－1)＜0，由原不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＜0，,－\f(1,a－1)＝2))⇒a＝eq\f(1,2).∴实数a的取值范围是{eq\f(1,2)}． 不等式恒成立问题　若不等式mx2－mx－1＜0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【思路点拨】　分m＝0与m≠0两种情况讨论，当m≠0时，用判别式法求解．【尝试解答】　要使mx2－mx－1＜0对一切实数x恒成立，若m＝0，显然－1＜0；若m≠0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，))解得－4＜m＜0，故实数m的取值范围是(－4，0]．,1．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0；))不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．对任意a∈[－1，1]不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则实数x的取值范围是________．【解析】　设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f(a)在区间[－1，1]上恒正时x应满足的条件，故应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＞0，,f（1）＞0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）（x－3）＞0，,（x－1）（x－2）＞0.))解之，得x＜1或x＞3.【答案】　x＜1或x＞3一个过程　解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想　不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点，(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范　1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．(见学生用书第3页)从近两年的高来看，一元二次不等式的解法、含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点．常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想．思想方法之一　巧用一元二次不等式求代数式的最值(2011·浙江高考)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．【解析】　法一　设2x＋y＝t，∴y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，整理得6x2－3tx＋t2－1＝0.关于x的方程有实根，因此Δ＝(－3t)2－4×6×(t2－1)≥0，解得－eq\f(2\r(10),5)≤t≤eq\f(2\r(10),5).则2x＋y的最大值是eq\f(2\r(10),5).法二　∵1＝4x2＋y2＋xy＝(2x＋y)2－3xy＝(2x＋y)2－eq\f(3,2)(2x)·y≥(2x＋y)2－eq\f(3,2)·(eq\f(2x＋y,2))2＝eq\f(5,8)(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤eq\f(8,5)，∴－eq\r(\f(8,5))≤2x＋y≤eq\r(\f(8,5))，即－eq\f(2\r(10),5)≤2x＋y≤eq\f(2\r(10),5).【答案】　eq\f(2\r(10),5)易错提示：(1)换元后，不会从关于x的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻．(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答．防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之间的关系，关于x的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负．(2)遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知．1．(2012·天津高考)设x∈R，则“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的(　　)A．充分而不必要条件　　　　B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】　2x2＋x－1>0的解集为{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}，故由x>eq\f(1,2)⇒2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D⇒/x>eq\f(1,2).则“x＞eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1＞0”的充分不必要条件．【答案】　A2．(2013·清远模拟)不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】　由题意知，不等式(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切x∈R恒成立，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2＞0，,Δ＝16－4（a＋2）（a－1）＜0，))解得a＞2.【答案】　(2，＋∞)