概率论与数理统计第三版__课后习题答案_

-PAGE\*MERGEFORMAT#-习题一:1.1写出卜列随机试验的样本空间：某篮球运动员投篮时，连续5次都命中，观察其投篮次数；解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故Q={5,6,7,…}:掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；解：Q2=(2,3,4,••11,12)：观察某医院一天内前来就诊的人数；解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以。3={0』，2,…}；从编号为1,2,3,4,5的5件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品；解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：。疽{(i，j]l£iYjK5k检查两件产品是否合格；解：用0表示合格,1表示不合格,则Q5=((0,0),(0J),(1,0),(1,1))：观察某地-天内的最高气温和最低气温(暇设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2);解：用X表示最低气温，y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：以={(冬尸打巨1尸£&}；在单位圆内任取两点，观察这两点的距离；解：0={xjoYxy2}；在长为1的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度.解：Qg=«x,y]xA0,yx0,x+y=l}；⑴a写B都发生，但C不发生；ABC；A发生，且B与C至少有一个发生;*BuC)；A,B,C中至少有一个发生；AuBdC；A,B,C中恰有一个发生;ABCuABCuABC；A,B,C中至少有两个发生；ABuACuBC：A,B,C中至多有一个发生;ABE)=0.825.1.8解：⑴由于ABcAABcB,故P(AB))=*=罢,p(A)=CR91HLM,P(A)=§=Q；91-C1；191i?3P(B|&)=",p(b|a)=MP(B|A)=-,■匕［匕［匕根据全概率公式，有:3P(B)=P(&)P(B|&)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—<28解：设A（i=1,2,3）表示设件“所用小麦种子为i等所子”,B表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。则P（A）=0.92,P（A）=0.05,P（A）=0.03,P（B|A）=O5,P（B|A）=0.15,P（B|A）=01，根据全概率公式，有:P（B）=P（A）P（B|A）+p（A）P（B|A）+p（A）P（B|A）=0.47051.20解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由己知条件，显然有：P(用=0.5LP(A)=0.49,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.025,因此:根据贝叶斯公式・所求概率为:P(^B)=P(AB)_P(AB)_P(AP(B|A)_102P(B)—P(AB)+P(AB)_P(A)P(B|^+P(A)P(B|A)-1511.21解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则M表示非癌症患者，显然有:P(药=0.005,P(A)=0.995,P(B|我=0.95,P(B|再=0.01,因此根据贝叶斯公式，所求概率为：P(曲)==P(AB)_=P(A)P(B|々==竺勺P(B)P(AB)+P(AB)P(^P(B|?O+P(A)P(B|A)2941.22求该批产品的合格率;从该10箱中任取一箱，再从这箱中任取-件，若此件产品为合格品，问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设，旦=｛产品为甲厂生产｝足=｛产品为乙厂生产｝,旦=｛产品为丙厂生产｝》A=｛产品为合格品｝，则(1)根据全概率公式，P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.94,该批产品的合格率为0.94.(2)根据贝叶斯公式，P(B1|A)=''V=—1P(B1)P(^B1)+P(B2)P(^B2)+P(B3)P(A|B3)94同理町以求得P(巨|为=苔¥(咐=岸因此，从该10箱中任取一箱，再从这箱中任取io97一件，若此件产品为合格品，此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：—o9494471.23-PAGE\*MERGEFORMAT#-•PAGE\*MERGEFORMAT#-解：记入=｛目标被击中｝,则P(=1-P(A)=1-(1-09)(1-08)(1-0.7)=0.9941.24解：记气=｛四次独立试验，事件A至少发生一次｝,瓦,=｛四次独立试验，事件A一次也不发生｝。而P(Ai)=0.5904,因此P(=1-P(A,)=P(AAAA)=P(A)4=0.4096o所以P(A)=0.8,P(A)=1-0.8=0.2三次独立试验中，事件A发生一次的概率为：C；P(4(1-P(1)2=3x0.2x0.64=0.384。二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充:(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BCA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A二。时，P(B)=1-P(B)(12)条件概率定义设A、B是两个事件，旦P(A)〉0,则称旦兰1为事件A发生条件下，事P(①件B发生的条件概率，记为P(B/?0=E^些。P(A)(16)贝叶斯公式r(B1/A)=,i-lt2,…!!。文P(Bj)P(A/Bj)j-1此公式即为贝叶斯公式。第二章随机变量2.1X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解，根据£P(X=k)=l,得£ae-k=l,即一=1。k«ok-o1一e故a=e-l2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同P{X=Y}=P{X=O/Y=O}+P{X=1,Y=1}+P(X=2/Y=2}=C°0.7°0.36解：设A表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0,1,2XC°0.4°0.62+C；0.7】0.3ixQ；0.4】0.6】+Q^0.720.3°xQ；0.420.6°=0.3124⑵甲比乙投中的次数多P(X>Y}=P(X=l,Y=0}+P{X=2,Y=0)+P{X=2,Y=1}=C；0.7】0.3】XC°0.4°0.62+C^O.72o.3°xQ®0.4°0.62+Q^0.720.3°xQ网如=0.562812322.4解：(1)P{1WXW3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=—+二+—=二151515r]D(2)P{O.52}=1-P(X=0}-P(X=1}=1一云一=e-2=l-3e-22.8解：设应配备/n名设备维修人员.又设发生故障的设备数为X,则X〜BQ80,0.01)。依题意,设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即P(X0.99,也即P(X>m+l)<0.01因为。=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为2=180x0.01=1.8的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+l=7时上式成立，得m=6.故应至少配备6名设备维修人员。2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为P(1000300)=|—e200dx=e200=e2J300200BOO,3001x.JOO-1-2x(|)P{1000解得K的取值范围为[-s,-1]U[4,+8],又随机变量K~U(.2,4测有实根的概率为[一1一(一2)+4-3]_1_3P(X^100.10010)=rO.5e-o5xdx=-e-05x心-5=eio又设282人中打电话超过10分钟的人数为匕则Y〜B(282,L)。因为『=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为2=282xe-5Q1.9的泊松分布.所求的概率为P(Y>2)=l-P(Y=0)-P(Y=l)=l-e"19-1.9e*19=1一2.9eT.=0-566252.14解：(l)P(X<105)=a)=l-P{X0.996a急184厘米2.19解：X的可能取值为1,2,3。C；6因为P(X=1)=—-=—=0.6；C；10=0.15p(X=3)=C：10•PAGE\*MERGEFORMAT#-2.21(1)-PAGE\*MERGEFORMAT#-P(X=2)=1-0.6-0.1=03所以X的分布律为0.6X的分布函数为00.60.91X<1l32.20(1)p^=0}=P(X=-|)=0.2P(Y=/}=P{X=0}+P{X=;r}=0.3+0.4=0.7P^=4^2}=P{X=—}=0.12Y07T24/q.0.20.70.1⑵P(Y=—l}=P{X=0}+P{X=勿}=0.3+0.4=0.7P{Y=1}=P(X=-}+P(X=—)=0.2+0.1=0.32■Y-11qs0.70.3当-l0时，有FY(y)=P{Y-lny)=匚、孑=」°dx对Fy(y)求关于V的导数，得1一(fyl1一5’y>os、--^=e2(-lny)r=-7^e2乌(y)=,y/27Ty{2^yoy0时，Fy(y)=P{Y0y<0对Fy(y)求关于V的导数，得1也l1.业l1-基*2(何_爵2(M)，=_^e2fy(y)=arccosy}=「-^-dxJarccosy]对FY(y)求关于v的导数，得到(1z、，1-1l或y1或x<0时，f(x,y)=0,乌(y)=j14.8y(2-x)dx=4.8y[2x-；x2]^=4.8y[l|-2y+；y2]公(x)=0y>li；Ky<000,00所5闵=粽x'E00,b>03.16解⑴在3.8中fx(X)4t02或x<0时，当y>l或y<0时,fx(x)4(y)=o=f(犯y)所以，X与Y之间相互独立.(2)在3.9中,fx(x)=2.4x2(2-x)0O96)=1-P(X<96)=ip(X-z1<96-72)=2.3%中(t)=0.997,解得t=2即b=12所以成绩在60到84的概率为P(60(-1=26(1)1=2x0.844L=0.68：4.12E(X2)=0x0.4+12x0.3+22x0.2+32x0.1=2E(5X2+4)=4x0.4+(5xl2+4)x0.3+(5x22+4)x0.2+(5x32+4)x0.1=144.13解:1313E(Y)=E(2X)=J：2xe-xdx=2匚xd(-e-x)=2[-xe-x|*+J：e-xdx]=2(-厂)|；=24做E(Y)=E(e*2XXe"2xe"xdx=「e*DJ。设球的直径为x,则：f(x)=Jb^I0a-EG；)，£D(\；)]=N(20X5,20Xi»li»li»l1001220202020£\；-£e(\;)Z'；—20x5£\;-ioo〜N(0,l)20P(V>105)=1—P(V《105)=1-P(YV<105)=1-P(—=J10V15"V20穴—100J1105-100=1—0(—-―)=1—0(0.387)=0.34810/15"I"5.5解：方法1：用X：表示每个部件的情况，则％=1,正常工作，、。，损坏K〜b（3・9）,E(XJ=p=0.9,D(XJ=px(l—p)=0.9x0.1100£X〜N[np.npx(l-p)]=N(100x0.9,100x0.9x0.1)i=lTOC\o"1-5"\h\z100100100£气一叫-100x0.9£气_90Z=尸_=H—=N(o,l)Jnpx(1-p)J100x0.9x0.l3100100100£毛一90?(踏285)=1顶卒<85)=1顷一<——)i=i1=133=1-O(-|)=O(|)=0.9525方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则X〜BQ00.0.9)E(X)=np=100x0.9=90D(X)=np(l-p)=100x0.9x0.1=9X〜N[np,np(l-p)]=N(90,9)Z==X~9°〜N(0,l)Jnp(l-p3TOC\o"1-5"\h\zrX-npX-90、Z==—N(0,l)Jnp(l—p3P(X>85)=1-P(X<85)=1-P(<)33=1—0(——)=0(—)=0.9525335.6略第六章样本与统计6.16.3.1

证明

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：由Yl=aXl+b可得,对等式两边求和再除以n有6.4同例6.3.3可知-PAGE\*MERGEFORMAT#--PAGE\*MERGEFORMAT#-zyi>x+b)i=]=TOC\o"1-5"\h\znn由于]n1nni»lni-1所以由可得V=；i：X+夺aX+bni«in6.3.2因为X(Yi—Y)=^Yi~nY=X(aXi+b)-11(aXi+b)i=li=li=l=文a~X：+2nab又+nb~-(iia'X+2nab^+nb>i-1=Ea2X?-na2X2=a2Z(Xi-X2)=a2t(X--2XiX+X2)i=l=a2g(Xi-X)2=(n-Da2Sx=(h-i)Sy所以有Sy=a2Sx6.2证明:E（又）=：E鸟又）=普="6.3（1）、七名'匚文）=上支（乂」2口又+更）11-11-1D-1=上（郭，2弯X：成）=土(文X，2又・/+nX>n—【i=i1口)_、=—[(SX-nX-)n-ix.i⑵由于⑶(x)=E(x：)-(E(Xi))‘所以有E(X；)=(E(Xi))、Wr(X)="、顶2E(X：)=(EX)2+Var(X)="+牛a_2E(g(Xj-X)")=n(JLI+/)-n(]Ll+毕)=(n-1)cfn，z(xrxy两边同时除以(n-1)可得E()=(f即E(S-)=a•PAGE\*MERGEFORMAT#-P(|X-//|<0.3}a20)(03^)-1=2①(0.3Vn)・1=0.95得中（0.3而）=0.975查表可知0.3而=1.96又ncZ根据题意可知n=436.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为学**•…戏,它们来自均值为呻200欧姆，

标准

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差为。=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有:p^499-200X-//202—200、P{1996时，(D(u)的值趋近于1,相反当u<-6时，其值趋近于0)(2)根据题意有:30_X-//P{£X《115}=P{30X《115}=P{—1.14}a6(-1.14)=12(1.14)=0.1271i=i1g/JnX6.7证明：因为T、泰，则.随机变量T=^=的密度函数为VY711n+17f(t)=—14而(5)Vt~—,-81.6}=1-P{X<1.6}=l_p{写(-4)=1一①(4)«1-1=0(3)八GTW1.2-1.5X-//1.6-1.5、P{1.213}=1-P{又<13}=1-P{亲f15)=l-P(X<15)=l-P(—<)=1-0)(1.5)=1-0.9332=0.0668b2设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有Pb(X21)=i.p(x=o)=i.c；p°(l-p)5=1-lxlx(l-O.O668)5=o.2923即样本的最大值大于15的概率是0.2923第七章参数估计7.1解因为:矽x2是抽自二项分布B(m,p)的样本，故都独立同分布所以有_XE(X)=inp用样本均值X代替总体均值，则p的矩估计为p=—m7.2解：E(x)=f°2e_Ax*xdx=l用样本均值又代替总体均值，则人的矩估计为J11E(x)x由概率密度函数可知联合密度分布函数为：nL(£=2e—加・2。一*"・人。一决=人的一咯X对它们两边求对数可得ln(L(2))=lii(2ne'A5^)=nhiA-AX乂对人求导并令其为。得1=1^ln(L(x))=n£即可得人的似然估计值为刀=「!一=_1TOC\o"1-5"\h\z况2回外1X—£xDi=la7.3解:记随机变量x服从总体为【0饵］上的均匀分布，贝！|0+00-—E(X)=F=g故e的矩估计为3=2X22X的密度函数为p(x)=1故它的是似然函数为U1n1L(°)=土门I心沙=土I*9要使侦°)达到最大，首先一点是示性函数的取值应0>-14Q该为1,其次是1/建尽可能大。由于1/。”是。的单调减函数，所以e的取值应该尽可能小,但示性函数为1决定了。不能小于跖),因此给出e的最大似然估计0=况时(示性函数l=f(x)=(Q*Ma'X⑴=min(&,X2,......Xr}X⑴=max{Xi,七，\J)7.4解:记随机变量x服从总体为［8,20］上的均匀分布，则8+”3。-2—e(x)=^^=—所以e的矩估计为眼二x223X的密度函数为p(x)=1故它的是似然函数为61n11L©=昇口ISX*=歹LfE捋6}=昇I(孥F)}要使L（0）达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1,其次是I/。。尽可能大。由于1/。”是。的单调减函数，所以。的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了e不能小于号,因此给出。的最大似然估计。=亍,n1_(Xi-")・2_1孔、27.5解:似然函数为:L(b~)=耳但/S=(2lb)'d券召对o■，求偏导并令它等于零有chL（b）=它的对数为:hiL(b‘)=-|111(2^-)-:h】(b')-—+-Ui(Xi-/02=oy-2顶2b解得a2的似然估计值为（Xi-//）211i=l'7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知E(x)=Lxf(x)dx=「x；e石dx=。Var(X)2（1）E（a）=E（X）=。EQ）=E（生'）=：反X）+且云））=：•2。=0TOC\o"1-5"\h\z人X】+，X)iiE(Q)=E(A：:入)=£(E(X)+巫X。)=丁3。=3JJ人—X+Xr+X11E(°p=E(X)=E(W今-、)=N低X】)+KXD+E(X3))=N•3°=8JJJ故这四个估计都是e的无偏估计..(2)VaM)=Var(X])=0‘Vai(@)如i(X：X2)=：(Var(X)+Var(X。)=决2Q‘=gVai(0D=\M(X+《X?)=1(Vai(X】)+4Var(X。)=}'5=乎Vat(&)=^r(Xi+X：+X3)=i(Var(X1)+Var(X2)+Var(X3))=\'3O'=V故有Var(^)<\"从)0dC2故当C=孕2?时\・ar(0)达到最小。6+(J27.9解(1)根据题意和所给的数据可得Q=O.O5,n=16，ZE=Zoo,5=L96，b'=O.Of，又=21252一a=VOglxl.96=0.00492J16所以〃的置信区间为[X--^=-/a,X+-^ZfJ=[2.125-0.0049,2.125+0.0049]=[2.1201,2.1299]vn2y/n1⑵a=0.05n=16X=2.125f15(0.025)=2.1315s2=^t(Xi-xJ=0.000293即S=0.017所以〃的置信区间为[又-}t】s(?)又+jtis(导)]=[2125-X2.13152125+X2.1315]=[2.11621406]=0.00000!7.10解:根据所给的数据计算：又=0.14125,Y=0.1392S；=|X(Xi-Xj=0.00000825;1=1m+n-2则X和Y构成的总体的方差为S七(mT)Si+(nT)S2=00000065所以卜I厂置信系数<7=1-0.95=0.05的置信区间为-PAGE\*MERGEFORMAT#-=[X-Y-t7(0.025)SX-Y+tJ0.025)S.——a11——aX-Y-t,(_)SJ—+—,X-Y+t,(一lm+Q-22VmnLm+n-22=[-0.002,0.006]7.11解：n=1000。=1一0.95=0.05Z«=Zoo5=L96Yu=228I11p=Yn=()238则比例p的区间估计为：n[P一Z巳JP(lT)，n.P+Za7p(l-p)/n]=[0.238-1.9670.238(1-0.238)/1000.0.238+1.96JO.23S(1—0.238)/1000]=[0.202,0.254]7.12解：根据题意有，n=120a=l-0.95=0.05X=7.5Z«=Zoo^=L962则人的置信区间为：[又一ZeVx/n,又+Z4Vx/n]=[7.5-1.960.5/120,7.5+1.96J7.5/120]=[7.01,7.99]4-(-2)-32.12解：X~P(入)=P(—)200r1001X100--(3)P{(X,Y)cD}=£dy£苦(6一x-y)dx=|£[(6-y)x-|x2]|^dy1fl1,1,113.1.1188=-(—y--6y+5—)dy=-(-y-3y"+5-y)=-x-=—9Jo229623******lo93273.5解：(1)F('y)=JJ：2e-5)dudv=£广d《2e*du=(-e^|J)=(1-e")(1-殴)(2)100100100ZK-中Z牛1°&1°£年1000Z=1=1.=,—=1—N(0,J10&0.1V10