2.球面波

1.3球面波波面为球面的波被称为球面波。简谐平面波是描述光波的基本模型。虽然任意复杂波可以用简谐平面波的叠加来描述，但有些两种特殊波面（比如球面波）的光波可用更简洁的数学式来描述。理想点光源发出的波为球面波。一个在真空或各向同性介质中的理想点光源，它向外发射的光波是球面光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面。1.3.1球坐标系中的波动微分方程球面波具有球对称性，在球坐标系中，球面波的波函数只与r有关，与θ和φ无关。所以：在球坐标系中，有：代入上式，有：其通解：向原点会聚从原点发散规定速度v的正负示波的传播方向，球面波的波函数可进一步简化为：1.3.2.简谐球面波当波函数为正弦或余弦形式时，对应的球面波称为简谐球面波。简谐球面波的波函数：简谐球面波的复指数描述：简谐球面波的复振幅：1.3.3简谐球面波参量的特点（1）振幅振幅不是一个常量，它随r增加而减小；但在r相同的球面上，振幅是均匀的。A1是一个常量，代表r=1处的振幅，表征振动源的强弱，称为源强度。简谐球面波振幅的这个特点是能量守恒定律所要求的。（2）相位简谐球面波的相位是：说明v是沿球面径向的位相传播速率。当等相位面自球心向外传播时v>0,称为发散球面波，当等相面向球心会聚时v<0，称为会聚球面波。K仍为波数：±代表发散和会聚球面波。由于球面波振幅随r增大而减小，故严格说来：球面波波函数不成现严格的空间周期性。1.3.4简谐球面波在平面上的近似表达式在光学中，通常要求解光波在某个平面上的复振幅分布。将r代入上式，并设光源的初相为0，这个表达式含有根式，相当复杂，不便于，考虑到光学研究的实际情况，常常对上式做适当简化。1.3.5简谐球面波的共轭光波与平面波的共轭光波类似，对位于点S的点光源发出的球面波。它在z=0平面上的复振幅分布：其中：其共轭：即：这显然是一束会聚的球面波，会聚中心为：前者表示沿原路返回的球面波，后者会聚中心S’与原光源S对z=0平面镜像对称。1.5电磁场的边界条件将麦克斯韦方程组应用于两种介质的界面，可以得到电磁场的边值关系：在界面两侧，电场强度的切向分量连续：在界面两侧，磁感应强度的法向分量连续。在界面两侧，电位移矢量的法向分量连续。在界面两侧，磁场强度的切向分量连续。1.6光波在两种各向同性的均匀媒质界面上的反射和折射光波由一种媒质投射到与另一种媒质的交界面时，将发生反射和折射（透射）现象。根据麦克斯韦方程组和边界条件讨论光在介质界面的上的反射和折射。反射波、透射波与入射波传播方向之间的关系由反射定律和折射定律描述，而反射波、透射波与入射波之间的振幅和相位关系由菲涅耳(Fresnel)公式描述。1.6.1折射和反射定律光由一种介质入射到另一种介质，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波，其电场表示式为：l=i,r,t式中，脚标i,r,t分别代表入射光、反射光和折射光；r是界面上任意点的矢径，在如图所示的坐标情况下，有:平面光波在界面上的反射和折射界面两侧，总电场：考虑到电场在界面两侧的边界条件：上式对于任意时间都成立，必须有：这说明：入射光、反射光和折射光具有相同的频率；上式对于任意位置都成立，必须有：这说明：入射光、反射光和折射光均在入射面内，三个波矢关系如图所示。三波矢关系进一步，根据上图所示的几何关系，可得到：又因为k=nω/c，可将上二式改写为这就是介质界面上的反射定律和折射定律，折射定律又称为斯涅耳(Snell)定律。1.6.2菲涅耳公式光的折射和反射定律只是解决了光在两种介质分界面处的传播方向问题。不能解决光在界面处的能量分配（振幅）和相位变化。下面我们还是利用电磁场的边界条件进一步解决振幅和相位问题。也就是导出菲涅耳公式。我们只讨论电场的菲涅耳公式。1.s分量和p分量通常把垂直于入射面振动的分量叫做s分量，把平行于入射面振动的分量称做p分量。为讨论方便起见，规定s分量和p分量的正方向如图所示。2.反射系数和透射系数假设介质中的电场矢量为:l=i,r,t其s分量和p分量表示式为:m=s,p则定义s分量、p分量的反射系数、透射系数分别为:3.菲涅耳公式的推导假设界面上的入射光、反射光和折射光同相位，根据电磁场的边界条件及s分量、p分量的正方向规定，可得：考虑到平面电磁波电场和磁场之间的关系（数值及方向）：上式变为：联立（1）、（2）两式，可得s分量的反射系数：和透射系数：同理可得p分量的反射系数：和透射系数：1.6.3菲涅耳公式的讨论（1）n1<n2的情形：即：由光疏介质射入光密介质。①振幅变化规律：看图理解。特别的，对于正入射情况（入射角为零）：此二式可用来估计小角度入射（绝大多数场合）。反射、透射系数和入射角的关系②偏振性质和布儒斯特定律。看图理解。当光以某一特定角度θ1=θB入射时，rp=0，在反射光中不存在p分量。此时，根据菲涅耳公式有θB+θt=90°，即该入射角与相应的折射角互为余角。这就是布儒斯特定律。θB被称为布儒斯特角。利用折射定律，可得该特定角度满足例如，当光由空气射向玻璃时，n1=1，n2=1.5，布儒斯特角θB=56°40′。③相位变换规律。刚才讨论的菲涅耳系数的绝对值，现在看一下菲涅耳系数的正负（此时它们都是实数）。菲涅耳系数的正负反映了反射波和透射波相对与入射波的相位突变。对于透射波，s分量和p分量的透射系数都是正数，说明透射波没有相位突变。对于反射波，就s分量和p分量分别讨论。反射波的s分量：说明反射波的s分量有π的相位突变，称为半波损失。反射波的p分量：这时不能简单的说有没有半波损失。这时还要考虑我们对正方向的规定。只有在正入射（入射角为零）和掠入射（入射角为九十度）时才有寻常意义上的半波损失。④透过率和反射率。为了研究透射光和反射光之间的能量分配，引入了透过率T和反射率R。如图所示，若有一个平面光波以入射角θ斜入射介质分界面，平面光波的强度为I，则每秒入射到界面上单位面积的能量为W=Icosθ设入射光单位时间投射到界面上的能量为Wi，同一时间同一界面上反射波和透射波获得的能量分别为Wr和Wt，则反射率R和透射率T定义为：考虑到光强表示式（1.57）：上式可写成：l=i,r,tW=Icosθ由此可以得到反射率、透射率分别为：将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中s分量和p分量的反射率和透射率的表示式分别为：由上述关系式，显然有：空气－玻璃界面的反射率与透过率与入射角的关系（2）n1>n2的情形：即：由光密介质射入光疏介质。此时，折射角大于入射角，我们把折射角为直角时所对应的入射角称为全反射临界角。①当入射角小于临界角时。分析方法和前面相同，我们将菲涅耳公式绘图分析。反射、透射系数和入射角的关系通过分析不难发现：ⅰ由光密介质射入光疏介质没有半波损失。ⅱ布儒斯特定律形式不变。ⅱ菲涅耳系数可以大于一，但并不意味着能量不守恒。②当入射角大于临界角时。由折射定律：此时，θt为复数。此时菲涅耳系数为复数：θi为实数，在形式上有：1.7全反射1.7.1全反射时反射波的相位变化将折射角由实数域扩展到复数域后，全反射时的菲涅耳系数一般也是复数，其辐角就是相应的相位变化：利用s分量和p分量的相位突变的差异性，可以利用线偏振光来产生圆偏振光或者椭圆偏振光。1.7.2隐失波全反射时，反射率为100％，透射光强为0，第二种媒质中似乎不应该有光场。更深入地研究表明：在全反射时，光波场将透入到第二种介质很薄的一层内（约为光波波长），并沿着界面传播一段距离，再返回第一种介质。这种波叫做隐失波或者倏逝波。可能有些同学也注意到了，在全反射时，透射系数并不为零。设透射波的波函数为（坐标系）：这样，透射波的波函数：将Γ代入，得到隐失波的波函数：隐失波的波函数也是由“振幅项”和“相位项”组成，“相位项”是：倏逝波的波长：倏逝波的时间参量不变（频率、角频率，时间周期）。倏逝波的相速度：由麦克斯韦方程组还可以进一步发现，倏逝波在传播方向上的电场分量不是零，即：倏逝波不是纯粹的横波。倏逝波的“振幅项”：“振幅项”表明，倏逝波的振幅随着深度按指数规律减小。全反射的应用1.利用其高反射率。2.利用隐失波。2.利用反射波的相位跃变。