2015年上海市高考数学试卷(文科)(含解析版)

2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．．（分）设﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1．f（2）=445．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．．（分）方程2x﹣1﹣5）=log2（x﹣1﹣2）+2的解为．84log（939．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C、C的顶点重合，C的方程为2﹣y=1，若C的一条1212渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则2的方程为．C13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，，xm满足0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，且|f（x1）﹣（2）|+|f（2）﹣（3）|+（m﹣1）﹣（m）|=12fxxfx+|fxfx（m≥2，m∈N*），则m的最小值为．1二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设nnn2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象P（x，y）是直线限的交点，则极限=（）A．﹣1B．﹣C．1D．22三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．321．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，1），（2，y2），用、的坐标表示点C到直线1的距离，并yCxACl证明S=|；（2）设l1：，，S=，求k的值；y=kx3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．423．（18分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．1）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；2）设{an}的第n0项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n0项是最大项；（3）设a1n*），求λ的取值范围，使得对任意*，λ＜，nλ（n∈Nm，n∈N=30b=an≠0，且．52015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．63．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．．（分）设﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1﹣．f（2）=44【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f（x）=，得，，互换可得，，即f﹣1（x）=．xy∴．故答案为：．7【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【考点】ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】5R：矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意可得（?a?a?sin60）°?a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60，°正棱柱的高为a，∴（?a?a?sin60）°?a=16，∴a=4，故答案为：4．8【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）方程2（9x﹣1﹣5）=log2（x﹣1﹣2）+2的解为x=2．84log3【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12?3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．x=2．故答案为：x=2．9【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．1010．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；5O：排列组合．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．1112．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程．【解答】解：C1的方程为﹣2，一条渐近线的方程为y=，y=1因为C2的一条渐近线的斜率是1的一条渐近线的斜率的2倍，C所以C2的一条渐近线的方程为，y=x因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）12与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2，=4++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．1314．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，，xm满足0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，且|f（x）﹣（）|+|f（）﹣（）|+（﹣）﹣（xm）|=121fx2x2fx3+|fxm1f（m≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，j（i，，，，，m），都有xj=123|f（xi）﹣（j）≤（）max﹣（）min，要使m取得最小值，尽可能多让fx|fxfx=2xi（i=1，2，3，，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意xi，j（，，，，，m），都有（i）﹣（j）xij=123|fxfx|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|++|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，按下图取值即可满足条件，m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi，j（，j=1，，，，m），都有xi23|f（xi）﹣（j）≤（）max﹣（）min=2是解答该题的关键，是难题．fx|fxfx二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一14律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2x2+2x+3），故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，15属于基础题．17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设n（n，n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象Pxy限的交点，则极限=（）A．﹣1B．﹣C．1D．2【考点】6F：极限及其运算．16【专题】53：导数的综合应用．【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点Pn（n，n）与（，）xy11连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．17【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S△AOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．18【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数．2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f（′x）=2ax﹣=，a∈（1，3），x∈[1，2]，ax＞1，ax3＞1，2ax3﹣1＞0，f（′x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．19【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出（ft1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示：20则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，2上的最大值不超过3．t]【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．2+2y2，过原点的两条直线l1和2分别与椭圆交于点、22．（16分）已知椭圆x=1lAB和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，1），（2，y2），用、的坐标表示点C到直线1的距离，并yCxACl证明S=|；（2）设l1：，，S=，求k的值；y=kx3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．【考点】IT：点到直线的距离公式；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】16：压轴题；26：开放型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求21得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x12﹣21；yxy|（2）由（1）得：S=|x12﹣21×|x1﹣1，进而得到答案；yxy|=y|=（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为，联立方程组y=kx，消去y解得x=±，可求得x1、2、1、2，利用12xyyS=|xy﹣x21，设（常数），整理得：y|=?=ck4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、2的斜率分别为、，则，则12﹣12，变l=mmxx=yy形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x12﹣21；yxy|（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）22或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则1，y=同理可得x2=，2，y=所以S=|x12﹣21，设（常yxy|=?=c数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l1、2的斜率分别为、，则，l=m所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1212（+）=1，xyy+2所以+﹣2x1212（12﹣21）2=[1﹣（4m+）1212﹣xyy=xyxyxxyy]2xxyy121223﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．1）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；2）设{an}的第n0项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n0项是最大项；n*），求λ的取值范围，使得对任意*，（3）设a1=3λ＜0，bn=λ（n∈Nm，n∈Nan≠0，且．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】26：开放型；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求；（2）由an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）++（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到nn11，进一步得到a=2b+a﹣2b，求得得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，24则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）++（a2﹣a1）+a1=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）++2（b2﹣b1）+a1=2bn+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{bn}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．25