材料力学第十三章 压杆稳定

第13章压杆稳定(一)13.1中心受压细长直杆临界力的欧拉公式13.2欧拉公式的使用范围临界应力总图13.3压杆的稳定条件与合理13.4例编程13.1中心受压细长直杆临界力的欧拉公式受压杆在由稳定平衡过渡为不稳定平衡的过程中，保持直线状态平衡的最大轴向压力或保持微弯状态平衡的最小轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用表示。受压杆丧失其直线状态的平衡过渡为曲线平衡的现象统称为失稳或屈曲。图13-1中心受压直杆的稳定13.1.1两端铰支压杆的临界力用挠度曲线近似微分方程式得图13-2两端铰支细长压杆的临界力引用记号上式变成通解为(d)边界条件是取，即得两端铰支细长压杆的临界力为13.1.2欧拉公式的普遍形式对式(d)中的再微分两次得通解为为转角方程，为弯矩方程，为剪力方程。13.1.3其它约束情况下大柔度压杆的临界载荷式中表示把压杆折算成临界力相当的两端铰支压杆的长度，称为相当长度，称为长度因数。表13-1几种常见大柔度压杆的长度因数 杆端支承情况 两端铰支 一端自由一端固定 一端铰支一端固定 两端固定 一端固定，一端可移动，但不能转动 挠曲线图形 长度因数13.2欧拉公式的使用范围临界应力总图13.2.1欧拉临界应力公式及使用范围临界力除以压杆的横截面面积得到的压杆处于临界状态时横截面上的压应力，称为临界应力式中的是横截面的惯性半径。令式中的称为压杆的柔度或长细比只有当杆的 时，才能使用欧拉公式计算临界应力。13.2.2中柔度压杆临界应力的经验公式式中，是与材料性质有关的常数。令抛物线公式与为与材料有关的常数。直线公式13.2.3临界应力总图图13-3压杆的临界应力总图13.3压杆的稳定条件与合理设计13.3.1压杆的稳定条件压杆的稳定条件为稳定安全因数13.3.2稳定校核的折减系数法式中 称为稳定许用应力。式中 为许用压应力，是一个小于1的因数，称为折减因数。13.3.3压杆的合理设计1、合理地选择材料细长压杆多采用钢材制造。2、合理选择截面形状在面积一定的条件下，尽量增大惯性矩可提高压杆的临界力。3、合理安排压杆约束与选择杆长减少压杆的长度可有效地提高压杆的临界力。在压杆的总长不能改变时，上经常利用增加中间支承的方式达到减小弯曲时的半波长度来提高稳定性。13.4例题编程例13-1柴油机的挺杆是钢制空心圆管，外径和内径分别为 和 ，杆长 ，钢材的 。根据动力计算，挺杆承受的最大压力 。规定的稳定安全因数为 。试校核挺杆的稳定性。已知：求：解：●建模①挺杆横截面的惯性矩。②挺杆的临界压力。③挺杆的工作安全系数。●Maple程序>restart:#清零。>alias(D=DD):#变量命名。>J:=Pi/64*(D^4-d^4):#挺杆横截面的惯性矩。　>Fcr:=Pi^2*E*J/l^2:#挺杆的临界压力。>n:=Fcr/F:#挺杆的工作安全系数。>DD:=12e-3:d:=10e-3:l:=383e-3:#已知条件。>E:=210e9:F:=2290:#已知条件。>n:=evalf(n,4);#挺杆工作安全系数的数值。答： 与规定的稳定安全系数 比较，挺杆满足稳定性要求。例13-2试由压杆挠曲线的微分方程，导出两端固定杆欧拉公式。图13-4例13-2已知：求证：证明：●建模①建立弯矩方程。②建立挠曲线微分方程。③求微分方程的通解。④由边界条件确定积分常数。⑤由非平凡解最小根条件，确定临界压力。●Maple程序>restart:#清零。>M:=-F*v(x)+Me:#弯矩方程。>eq1:=diff(v(x),x$2)=M/(E*J):#挠曲线微分方程。>eq1:=subs(F=k^2*E*J,eq1):#引用记号>SOL1:=dsolve({eq1},v(x)):#求微分方程的通解。>V:=subs(SOL1,_C1=C1,_C2=C2,v(x)):#方程的通解。>dV:=diff(V,x):#的一阶导数。>ddV:=diff(V,x$2):#的二阶导数。>eq2:=subs(x=0,V):#边界条件一。>eq2:=evalf(eq2):#化简边界条件一。>eq3:=subs(x=l,V)=0:#边界条件二。>eq4:=subs(x=0,dV):#边界条件三。>eq4:=evalf(eq4):#化简边界条件三。>eq5:=subs(x=l,dV):#边界条件四。>SOL2:=solve({eq2,eq3,eq4,eq5},>{C1,C2,sin(k*l),cos(k*l)});#解方程组。>eq6:=k*l=2*Pi:#非平凡解最小根条件。>SOL3:=solve({eq6},{k}):#解方程。>k:=subs(SOL3,k):#最小根。>F[cr]:=k^2*E*J;#两端固定杆欧拉公式。>M:=subs(C1=-1/k^2/E/J*Me,C2=0,E*J*ddV);#弯矩方程表达式。例13-3由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定、另一端铰支杆件欧拉公式。(a)(b)图13-5例13-3已知：求证：证明：●建模①建立弯矩方程。②建立挠曲线微分方程。③求微分方程的通解。④由边界条件确定积分常数。⑤由非平凡解最小根条件，确定临界压力。●Maple程序>restart:#清零。>M:=-F*v(x)+FR*(l-x):#弯矩方程。>eq1:=diff(v(x),x$2)=M/(E*J):#挠曲线微分方程。>eq1:=subs(F=k^2*E*J,eq1):#引用记号>SOL1:=dsolve({eq1},v(x)):#求微分方程的通解。>V:=subs(SOL1,_C1=C1,_C2=C2,v(x)):#方程的通解。>dV:=diff(V,x):#的一阶导数。>eq2:=subs(x=0,V)=0:#边界条件一。>eq2:=evalf(eq2):#化简边界条件一。>eq3:=subs(x=l,V)=0:#边界条件二。>eq4:=subs(x=0,dV)=0:#边界条件三。>eq4:=evalf(eq4):#化简边界条件三。>SOL2:=solve({eq2,eq3},{C1,C2}):#解方程组求积分常数。>eq4:=subs(SOL2,k=y/l,eq4):#代换。>eq4:=normal(eq4):#方程的化。>eq4:=expand(eq4*y^2*E*J*sin(y)/(FR*l^2*cos(y))):#展开。>eq4:=convert(eq4,tan);#转换成正切，得到特征方程。>plot({y,tan(y)},y=0..10,view=[0..10,-10..10]);#图解法求解超越方程。>SOL3:=fsolve({eq4},{y},Pi/2..3*Pi/2):#超越方程的数值解。>k:=subs(SOL3,y/l):#最小根。>F[cr]:=evalf(k^2*E*J,4);#一端固定、另一端铰支杆件欧拉公式。例13-4空气压缩机的活塞杆由45#钢制成， ， , 长度 ，直径 。最大压力 。规定稳定安全系数 。试校核其稳定性。已知：求：解：●建模①求大柔度压杆柔度极限值。②求活塞杆柔度。③求中柔度压杆与小柔度压杆之柔度极限值。④判断活塞杆柔度的范围，采用直线公式求出临界应力。⑤确定活塞杆的工作安全系数。●Maple程序>restart：#清零。>lambda[1]:=sqrt(Pi^2*E/sigma[p]):#大柔度压杆柔度极限值。>E:=210e9:sigma[p]:=280e6:#已知条件。>lambda1:=evalf(lambda[1],4);#大柔度压杆柔度极限值的数值。>lambda:=mu*l/i:#活塞杆柔度。>i:=sqrt(J/A):#活塞杆横截面惯性半径。>J:=Pi*d^4/64:#活塞杆横截面惯性矩。>A:=Pi*d^2/4:#活塞杆横截面面积。>mu:=1:l:=703e-3:d:=45e-3:#已知条件。>lambda:=evalf(lambda,4);#活塞杆柔度的数值。>lambda2:=(a-sigma[s])/b:#中柔度压杆与小柔度压杆之柔度极限值。>a:=461e6:b:=2.568e6:sigma[s]:=350e6:#已知条件。>lambda2:=evalf(lambda2,4);#中柔度压杆与小柔度压杆之柔度极限的数值。>sigma[cr]:=a-b*lambda:#采用直线公式求出临界应力。>F[cr]:=A*sigma[cr]:#临界压力。>n:=F[cr]/F[max]:#活塞杆的工作安全系数。>F[max]:=41.6e3:#已知条件。>n:=evalf(n,4);#活塞杆工作安全系数的数值。答： ，空气压缩机的活塞杆满足稳定性要求。例13-5某型平面磨床的工作台液压驱动装置如图13-6所示。油缸活塞直径 ，油压 。活塞杆长度 ，材料为35#钢， , , 。试确定活塞杆的直径。图13-6例13-5已知：求：解：●建模①求活塞杆承受的轴向压力。②求活塞杆的临界压力。③先用欧拉公式试算确定活塞杆的直径。④判断活塞杆柔度的范围。●Maple程序>restart:#清零。>alias(D=DD):#变量命名。>F:=Pi/4*DD^2*p:#活塞杆承受的轴向压力。>Fcr:=n[st]*F:#活塞杆的临界压力。>J:=Pi/64*d^4:#活塞杆横截面惯性矩。>eq1:=Fcr=Pi^2*E*J/(mu*l)^2:#先用欧拉公式试算确定活塞杆的直径。>DD:=65e-3:p:=1.2e6:n[st]:=6:#已知条件。>E:=210e9:mu:=1:l:=1250e-3:#已知条件。>eq1:=evalf(eq1,4):#把方程1数值化。>solve({eq1},{d});#解方程组。>d:=25e-3:#选取活塞杆的直径。>i:=d/4:#活塞杆横截面惯性半径。>lambda:=mu*l/i;#活塞杆柔度。>lambda[1]:=sqrt(Pi^2*E/sigma[p]):#大柔度压杆柔度极限值。>sigma[p]:=220e6:#已知条件。>lambda[1]:=evalf(lambda[1],4);#大柔度压杆柔度极限值的数值。答：选取活塞杆的直径 。 可见用欧拉公式进行的试算是正确的。