(完整版)郑振龙《金融工程》_第2-5章课后作业_习题及答案(1)

第二章课后作业：1.假如英镑与美元的即期汇率是1英镑=1.6650美元，6个月期远期汇率是1英镑=1.6600美元，6个月期美元与英镑的无风险年利率分别是6%和8%，问是否存在无风险套利机会？如存在，如何套利？解：美元年升水率=1.66501​1.66001​−1.66501​​×612​×100%=0.60%<8%−6%=2%则美元远期升水还不够，处于被低估状态，可以套利，基本过程为：首先借入美元，在期初兑换成英镑到英国投资6个月；同时在期初卖出一份6个月期的英镑期货合约；在投资期满后将英镑计价的本息和按原定远期汇率兑换回美元，偿还借款本息和后剩余的即为无风险套利。2.一只股票现在价格是40元，该股票1个月后价格将是42元或者38元。假如无风险利率是8%，用风险中性定价法计算执行价格为39元的一个月期欧式看涨期权的价值是多少？解：设价格上升到42元的概率为P，则下降到38元的概率为1−P，根据风险中性定价法有[42P38(1−P​)​]e−8%×121​=40⇒P=0.5669设该期权价值为f，则有f=[(42−39​)P0(1−P​)​]e−8%×121​=1.69元第三章课后作业：1.假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。（e0.025=1.025）.该股票3个月期远期价格为 解：F=Ser(T−t​)=20e10%×123​=20×1.025=20.5元。2.假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息收益率为每年3%，求该指数4个月期的期货价格。该指数期货价格为解：F=Se(r−q​)(T−t​)=10000e(10%−3%​)×31​=10236.08点。3.某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：①该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？②3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？（e−0.01=0.99,e−0.025=0.975,e0.03=1.03）解：①（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值I=e−0.06×122​e−0.06×125​=e−0.01e−0.025=0.990.975=1.965元。6个月远期价格 F=(S−I​)er(T−t​)=(30−1.965​)e0.06×0.5=28.89元。（2）根据远期价格的定义，若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值为0。②3个月后的2个月派发的1元股息在为3个月后的价值为I=e−0.06×122​=0.99元该远期合约此时的理论价格为F=(S−I​)er(T−t​)=(35−0.99​)e0.06×123​=34.52元空头远期合约的价值为f=(28.89−34.52​)e−0.06×0.25=−5.55元或者f=−[S−I−Ke−r(T−t​)​]=−(35−0.99−28.89e−0.06×0.25​)=−5.55元4.瑞士和美国两个月连续复利率分别为2%和7%，瑞士法郎的现货汇率为0.6500美元，2个月期的瑞士法郎期货价格为0.6600美元，请问有无套利机会？瑞士法郎期货的理论价格为：解：F=Se(r−rf​​)(T−t​)=0.6500e(7%−2%​)×61​=0.6554<0.6600$可见，实际的期货交割价格太高了。投资者可以通过期初借美元，兑换成瑞士法郎，同时再卖出2个月期的瑞士法郎期货合约，然后到瑞士去投资来进行套利。第四章课后作业：1.一份本金为10亿美元的利率互换还有10个月的期限。这笔互换规定以6个月的LIBOR利率交换12%的年利率（每半年计一次复利）。市场上对交换6个月的LIBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10%（连续复利）。两个月前6个月的LIBOR利率为9.6%。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？解：方法一：用债券组合的方法Bfix​=i=1∑n​ke−ri​ti​Le−rn​tn​=10×212%​×e−0.1×31​10(1212%​​)e−0.1×65​=10.33280046亿美元Bfl​=(Lk∗​)e−r1​t1​=10(129.6%​​)e−0.1×31​=10.13642473亿美元对于收到固定利率，支付浮动利率的一方，互换价值为V互换​=Bfix​−Bfl​=10.33280046−10.13642473=0.196375726　　　　　　≈0.20亿美元收到浮动利率，支付固定利率的一方，互换价值为V互换​=−0.20亿美元方法二：用远期利率组合的方法①第一次交换利率（4个月后），对于收到固定利率，支付浮动利率的一方，其现金流价值为VFRA1​​=0.5×10×(12%−9.6%​)e−0.1×31​=0.1160659亿美元②4个月到10个月的远期利率由题知=10%对应的半年计一次复利的利率为2(e210%​−1​)=0.1025=10.25%③第二次交换利率（10个月后），对于收到固定利率，支付浮动利率的一方，其现金流价值为VFRA2​​=0.5×10×(12%−10.25%​)e−0.1×65​=0.08050389亿美元④因此，对于收到固定利率，支付浮动利率的一方，互换价值为V互换​=VFRA1​​VFRA2​​=0.19656979≈0.20亿美元收到浮动利率，支付固定利率的一方，互换价值为V互换​=−0.20亿美元2.一份货币互换还有15个月的期限。这笔互换规定每年交换利率为14%、本金为2000万英镑和利率为10%、本金为3000万美元两笔借款的现金流。英国和美国现在的利率期限结构都是平的，即期利率分别为11%和8%（连续复利）。即期汇率为1英镑=1.6500美元。请问上述互换对支付英镑的那一方价值为多少？对支付美元的那一方价值为多少？解：假设美元是本币。方法一：用债券组合的方法BD​=i=1∑n​kD​e−ri​ti​LD​e−rn​tn​=30×10%e−0.08×0.2530(110%​)e−0.08×1.25=32.80023百万美元BF​=i=1∑n​kF​e−rfi​ti​LF​e−rfn​tn​=20×14%e−0.11×0.2520(114%​)e−0.11×1.25=22.59502百万英镑因此，对于收到美元，支付英镑的一方，互换价值为V互换​=BD​−S0​BF​=32.80023−1.6500×22.59502=−4.4816百万美元对于收到英镑，支付美元的一方，互换价值为V互换​=S0​BF​−BD​=1.6500×22.59502−32.80023=4.4816百万美元方法二：用远期外汇协议组合的方法根据远期外汇协议定价公式F=Se(r−rf​​)(T−t​)可以求出3个月期远期汇率为F1​=1.6500e(8%−11%​)×0.25=1.63767美元15个月期远期汇率为F2​=1.6500e(8%−11%​)×1.25=1.58927美元两份远期合约价值分别为f1​=(20×14%×1.63767−30×10%​)e−0.08×0.25=1.55408百万美元f2​=[20(114%​)×1.58927−30(110%​)​]e−0.08×1.25=2.92748百万美元因此，对于收到美元，支付英镑的一方，互换价值为V互换​=−(f1​f2​​)=−1.55408−2.92748=−4.4816百万美元对于收到英镑，支付美元的一方，互换价值为V互换​=f1​f2​=1.554082.92748=4.4816百万美元3.X公司和Y公司各自在市场上的10年期500万美元的投资可以获得的收益率为：公司    固定利率     浮动利率X公司     8.0%      LIBORY公司    8.8%      LIBORX公司希望以固定利率进行投资，而Y公司希望以浮动利率进行投资。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.2%的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。解：X、Y两公司在浮动利率和固定利率市场上的投资差异分别为：公司       固定利率     浮动利率X公司        8.0%       LIBORY公司        8.8%       LIBOR投资差异       0.8%        0由X、Y两公司在浮动利率和固定利率市场上的投资差异显示出X公司在浮动利率市场上有比较优势，Y公司在固定利率市场上有比较优势，而X公司想以固定利率投资，Y公司想以浮动利率进行投资，两者可以设计一份利率互换协议。互换的总收益为0.8%-0=0.8%，银行的收益是0.2%，剩余0.6%，双方各享受到的收益为0.3%，因此X公司最终总投资收益为8.0%0.3%=8.3%，而Y公司最终总投资收益为LIBOR0.3%，可以设计如下的具体互换协议：X公司      银行      Y公司浮动利率市场              固定利率市场4.假设A、B公司都想借入1年期的100万美元借款，A想借入与6个月期相关的浮动利率借款，B想借入固定利率借款。两家公司信用等级不同，故市场向它们提供的利率也不同（如下所示），请简要说明两公司应如何运用利率互换进行信用套利。公司   借入固定利率  借入浮动利率A公司    10.8%     LIBOR0.25%B公司    12.0%    LIBOR0.75%解：A公司和B公司在固定利率市场和浮动利率市场上借款的成本差异分别为：假设A、B公司都想借入1年期的100万美元借款，A想。两家公司信用等级不同，故市场向它们提供的利率也不同（如下表所示），请简要说明两公司应如何运用利率互换进行信用套利。公司      借入固定利率     借入浮动利率A公司        10.8%       LIBOR0.25%B公司        12.0%       LIBOR0.75%借款成本差异      1.2%         0.5%由A、B两公司在浮动利率和固定利率市场上的借款成本差异显示出A公司在固定利率市场上有比较优势，B公司在浮动利率市场上有比较优势，而A公司想借入浮动利率借款，B想借入固定利率借款，两者可以设计一份利率互换协议。互换的总收益为1.2%-0.5%=0.7%，假设双方平分，则双方各享受到的收益为0.35%，因此A公司最终总借款成本为LIBOR0.25%-0.35%=LIBOR-0.1%，而B公司最终总借款成本为12.0%-0.35%=11.65%，可以设计如下的具体互换协议：6个月LIBORA公司           B公司固定利率市场          浮动利率市场5.A公司和B公司如果要在金融市场上借款需支付的利率分别为:公司  美元浮动利率  加元固定利率A公司  LIBOR0.5%     5.0%B公司 LIBOR1.0%     6.5%假设A公司需要的是美元浮动利率贷款，B公司需要的是加元固定利率贷款。一家银行想设计一个互换，并希望从中获得0.5%的利差。如果互换对双方具有同样的吸引力，A公司和B公司的利率支付是怎么安排的？解：A公司和B公司在美元浮动利率和加元固定利率市场上借款的成本差异分别为：公司        美元浮动利率      加元固定利率A公司        LIBOR0.5%        5.0%B公司        LIBOR1.0%        6.5%成本差异         0.5%          1.5%A、B两公司在美元浮动利率和加元固定利率市场上的投资差异显示出A公司在加元固定利率市场上有比较优势，B公司在美元浮动利率市场上有比较优势，而A公司需要的是美元浮动利率贷款，B公司需要的是加元固定利率贷款，两者可以设计一份混合互换协议。互换的总收益为1.5%-0.5%=1.0%，银行的收益是0.5%，剩余0.5%，双方各享受到的收益为0.25%，因此A公司最终总借款成本为LIBOR0.5%-0.25%=LIBOR0.25%，而B公司最终总借款成本为6.5%-0.25%=6.25%，可以设计如下的具体互换协议：A公司          银行          B公司加元固定利率市场                    美元浮动利率市场第五章课后作业：1.某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元，标的股票现在价格为24元，该股票预计在2个月和5个月后各支付0.50元的股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少？（e−0.0133=0.987,e−0.033=0.967,e−0.04=0.961）解：由欧式期权的平价公式可得欧式看跌期权的价格为p=cXe−rTD−S0​=225e−0.08×0.50.5e−0.08×122​0.5e−0.08×125​−24=225e−0.040.5e−0.01330.5e−0.033−24=225×0.9610.5×0.9870.5×0.967−24=3.002元2.假设某种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看涨、看跌期权价格。（N(0.2417​)=0.5955,N(0.0917​)=0.5366,e−0.025=0.975）解：根据欧式看涨期权价格公式c=SN(d1​​)−Xe−r(T−t​)N(d2​​)其中，d1​=σT−t​ln(XS​​)(r2σ2​​)(T−t​)​=0.30.25​ln(5050​​)(0.120.32​​)×0.25​≈0.2417;d2​=d1​−σT−t​=0.2417−0.3×0.25​=0.0917；查表可得N(0.2417​)=0.5955,N(0.0917​)=0.5366代入，可得 c=SN(d1​​)−Xe−r(T−t​)N(d2​​)=50×N(0.2417​)−50e−0.1×0.25N(0.0917​)=3.61575≈3.6元p=Xe−r(T−t​)N(−d2​​)−SN(−d1​​)=50e−0.1×0.25N(−0.0917​)−50×N(−0.2417​)=2.36575≈2.4元3.甲卖出一份A股票的欧式看涨期权，9月份到期，协议价格为20元。现在是5月份，A股票价格为18元，期权价格为2元。如果期权到期时A股票价格为25元，请问甲在整个过程中的现金流状况如何？解：甲在5月份通过出售期权可获得期权费，此时现金流为2*100=200元；到期时，由于此时标的资产A股票市价为25元，执行价为20元，期权的买方 会选择执行期权，此时甲的现金流为-（25-20）*100=-500元。