非线性协调控制系统状态方程的级数解

非线性协调控制系统状态方程的级数解 曹少中，李  （北京印刷学院信息与机电工程学院，北京 １０２６００） 摘 要： 针对非线性系统，为了合理利用变量间的有益耦合、消除有害的关联，提出了具有扰动补偿的非线性协 调控制原则．根据控制原则，建立了非线性协调控制系统的状态方程，基于该方程导出了对于外界扰动的完全补偿条 件，进而给出了完全补偿协调控制系统非线性状态方程．采用直接试探法，求得了该方程的任意阶级数解析解，这是一 种有效的非线性系统状态方程的近似求解方法． 关键词： 非线性协调控制；状态方程；级数解 中图分类号： ＴＰ２７３ 文献标识码： Ａ 文章编号： ０３７２２１１２（２０１０）２Ａ０４１０４ ＳｅｒｉｅｓＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｔａｔｅＥｑｕａｔｉｏｎｆｏｒＮｏｎｌｉｎｅａｒＨａｒｍｏｎｉｃＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍｓ ＣＡＯＳｈａｏｚｈｏｎｇ，ＬＩＹａｎｇ （ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＢｅｉｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＧｒａｐｈｉｃＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０２６００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｏａｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｕｔｉｌｉｚｅｔｈｅｕｓｅｆｕｌｃｏｕｐｌｅｂｅｔｗｅｅｎｖａｒｉａｂｌｅｓ，ａｎｄｒｅｍｏｖｅｔｈｅｈａｒｍｆｕｌｃｏｎ ｎｅｃｔｉｏｎ，ｔｈｅｒｕｌｅｓｏｆｈａｒｍｏｎｉｃｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎａｒｅｇｉｖｅｎ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｒｕｌｅｓ， ｔｈｅｓｔａｔｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｈａｒｍｏｎｉｃｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅｆｕｌｌｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅ ｌｉｍｉｎａｔｉｎｇｅｘｔｒａｎｅｏｕｓｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ，ｉｓｇｉｖｅｎ；ａｎｄｔｈｅｓｔａｔｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｈａｒｍｏｎｉｃｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｓ，ｗｉｔｈｆｕｌｌｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｃｏｍ ｐｅｎｓａｔｉｏｎ，ｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｂｙｕｔｉｌｉｚｉｎｇｄｉｒｅｃｔｈｅｕｒｉｓｔｉｃｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅａｎｙｏｒｄｅｒａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄ， ｔｈｉｓｉｓａｋｉｎｄｏｆｕｓｅｆｕｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｆｓｔａｔｅｅｑｕａｔｉｏｎｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｎｏｎｌｉｎｅａｒｈａｒｍｏｎｉｃｃｏｎｔｒｏｌ；ｓｔａｔｅｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎ １ 引言 在控制工程领域中，许多场合要求保持若干变量之 间服从某种函数关系．各变量之间的这种函数关系称之 为“协调关系”［１］，保持各变量之间协调关系的系统为多 变量“协调控制系统”．协调控制系统中各变量之间的关 系一般是非线性的，这就相应地要求“协调控制理论”向 “非线性协调控制理论”方向发展［１～５］．对“非线性协调 控制系统”，我们已进行了初步探讨，应用逐次迭代法， 给出了状态方程的任意阶近似解［２］．本文在上述工作的 基础上提出了“协调控制原则”，给出了非线性协调控制 系统的状态方程，利用试探法，求得完全补偿协调控制 系统非线性状态方程的任意阶近似解． ２ 非线性协调控制原则 对于非线性系统，非线性协调控制原则如下［２］： （１）按“协调偏差”控制．被控制系统的理想工作状 态，不是个别被控制量的一组给定的确定值，而是各量 之间的协调关系： ｆ（ｙ１，ｙ２，…，ｙＮ）＝０ （１） 因为系统的实际工作点相对于由协调关系所确定 的协调工作点总是有所偏离的，所以系统控制的任务就 是要消除实际工作点相对于协调工作点的偏差．为此， 可以在协调工作道上选择一适当的工作点珔Ｐ（珋ｙ１，珋ｙ２， …，珋ｙＮ），按点珔Ｐ与实际工作点Ｐ（ｙ１，ｙ２，…，ｙＮ）（点 Ｐ不 在协调工作道上，但对于一个可稳定工作的系统来说， 一般在协调工作道附近）之间的状态空间坐标差进行控 制，即“协调偏差” εｉ（ｔ）＝珋ｙｉ－ｙｉ（ｔ），ｉ＝１，２，…，Ｎ （２） （２）采用复合控制．对于主要干扰可测的系统，采用 按主扰控制的开环部分补偿主扰对系统协调工作的有 害影响，并与按协调偏差闭环部分相结合构成复合控制 系统，如果控制系统能完全补偿干扰的影响，将使问题 明显简化． 收稿日期：２００９１０１３；修回日期：２００９１２２５ 基金项目：北京市自然科学基金（Ｎｏ．４０９２０１３）；北京市属高等学校人才强教（Ｎｏ．ＴＸＭ２００７－０１４２２３－０４４６６１）；北京市教委科技面上项目（Ｎｏ． ＫＭ２００８１００１５００３）；北京印刷学院引进人才（Ｎｏ．０９１７０１０７０１９）；北京印刷学院科技重点项目 第２Ａ期 ２０１０年２月 电 子 学 报 ＡＣＴＡＥＬＥＣＴＲＯＮＩＣＡＳＩＮＩＣＡ Ｖｏｌ．３８ Ｎｏ．２Ａ Ｆｅｂ． ２０１０ 更多技术文章，论文请登录www.srvee.com 内容版权归作者所有 根据以上原则，时变非线性多变量协调控制系统 框图如图１所示． Ｅ—被控制对象；Ｃ—控制机构； Ｄ—协调偏差控制信号装置； Ｇ—控制作用反馈信号装置； Ｆ—主扰动补偿信号装置； ｙ—被控制量；ｕ—控制作用； ｖ—主扰；ｘ—协调偏差控制信 号； ｒ—补偿信号；ｓ—反馈信号． 依照图１可以得到如下方程组： ｙ＝ｆ（ω） ω＝ｕ＋ｖ ｕ＝ｆＣ（ｘ＋ｒ＋ｓ）＝Ｃ（ｘ＋ｒ＋ｓ） ｘ＝ｆＤ（ε）＝Ｄε ε＝珋ｙ－ｙ ｒ＝ｆＦ（ｖ）＝Ｆｖ ｓ＝ｆＧ（ｕ）＝      Ｇｕ （３） 式中，ｙ，ω，ｕ，ｙ，ｘ，ε，ｒ，ｓ—Ｎ维列阵；Ｃ，Ｄ，Ｆ，Ｇ—ｎ 阶线性算子方阵；ｙ＝ｆ（ω）为非线性函数． ３ 多变量非线性协调控制系统状态方程 根据以上所述协调控制原则，系统在任意 ｔ时刻的 实际工作状态，可用如下非线性常微分方程所描述： ｄｙｉ（ｔ） ｄｔ ＝ｆ ｉ（ｙ（ｔ），ω（ｔ），ｔ） （４） 其中，Ｎ为系统状态空间维数，时间 ｔ为自变量，ｙ（ｔ） ＝（ｙ１（ｔ），ｙ２（ｔ），…，ｙＮ（ｔ））Ｔ为系统状态空间坐标，ω （ｔ）＝（ω１（ｔ），ω２（ｔ），…，ωＮ（ｔ））Ｔ为控制作用 ｕ与扰动 量ｖ的和向量． 设式（４）所对应的协调工作点的解珋ｙ（ｔ）为已知，即 ｄ珋ｙｉ（ｔ） ｄｔ ＝ｆ ｉ（ｙ（ｔ），ω（ｔ），ｔ） （５） Ｆ（ｙ（ｔ），ｔ）＝０ （６ { ） 式（６）为协调工作道方程．其中，ｙ（ｔ）＝（ｙ１（ｔ），ｙ２（ｔ）， …，ｙＮ（ｔ））Ｔ 式（５）减式（４），则有： ｄεｉ（ｔ） ｄｔ ＝ｆ ｉ（ε（ｔ），ω（ｔ），ｔ） （７） 其中，εｉ（ｔ）＝ｙｉ（ｔ）－ｙｉ（ｔ）———协调偏差，ε（ｔ）＝（ε１ （ｔ），ε２（ｔ），…，εＮ（ｔ））Ｔ． 式（７）为一般的协调偏差非线性微分方程，也即协 调控制非线性状态方程的一般形式． 下面我们依据式（３）求完全补偿条件，由于式（３）在 控制回路线性近似下，有：ｕ（ｔ）＝Ｃ（ｘ＋ｒ＋ｓ）＝Ｃ［Ｄε （ｔ）＋Ｆｖ（ｔ）＋Ｇｕ（ｔ）］，经整理为： ｕ（ｔ）＝（Ｉ－ＣＧ）－１ＣＤε（ｔ）＋（Ｉ－ＣＧ）－１ＣＦｖ（ｔ） 故 ω（ｔ）＝ｕ（ｔ）＋ｖ（ｔ）＝（Ｉ－ＣＧ）－１ＣＤε（ｔ） ＋［（Ｉ＋（Ｉ－ＣＧ）－１ＣＦ］ｖ（ｔ） （８） 假设开环反馈网络满足条件： Ｉ＋（Ｉ－ＣＧ）－１ＣＦ＝０ （９） 则有： ω（ｔ）＝（１－ＣＧ）－１ＣＤε（ｔ） （１０） 此式表明，当开环反馈网络满足式（９）时，控制作 用量只取决于控制系统和协调偏差．这时扰动的作用 得到了完全补偿，故称式（９）为完全补偿条件． 在完全补偿下，协调控制状态方程简化为如下形 式： ｄεｉ（ｔ） ｄｔ ＝ｆ ｉ（ε（ｔ）；（１－ＣＧ）－１ＣＤε（ｔ）；ｔ） εｉ（０），ｉ＝１，２，…， { Ｎ （１１） 因为εｉ（ｔ）是一级小量，所以式（１１）可以展开为如下级 数形式： ｄεｉ（ｔ） ｄｔ ＝ａ ｉ ｊ １ （ｔ）εｊ１（ｔ）＋ａｉｊ １ｊ２ （ｔ）εｊ１（ｔ）εｊ２（ｔ） ＋ａｉｊ １ｊ２ｊ３ （ｔ）εｊ１（ｔ）εｊ２（ｔ）εｊ３（ｔ）＋… ＋ａｉｊ １ｊ２…ｊｎ （ｔ）εｊ１（ｔ）εｊ２（ｔ）…εｊｎ（ｔ）＋… （１２） 式中的 ａ系数取决于具体的受控对象和控制回路． ４ 齐次方程的严格解析解 由式（１２）可知，齐次状态方程为： ｄεｉ（ｔ） ｄｔ ＝ａ ｉ ｊ １ （ｔ）εｊ１（ｔ），ｉ＝１，２，…，Ｎ （１３） 改写为向量形式为： ｄε（ｔ） ｄｔ ＝Ａ（ｔ）ε（ｔ） （１４） 利用Ｐｉｃａｒｄ递归积分法求解式（１４），即得齐次方程 的严格解为［６］： ε（ｔ）＝Ｒ（ｔ）ε（０） ＝［Ｉ＋∫ ｔ ０ Ａ（ｔ１）ｄｔ１＋∫ ｔ ０∫ ｔ１ ０ Ａ（ｔ１）Ａ（ｔ２）ｄｔ２ｄｔ１＋… ＋∫ ｔ ０∫ ｔ１ ０ …∫ ｔｎ－１ ０ Ａ（ｔ１）Ａ（ｔ２）…Ａ（ｔｎ） ｄｔｎｄｔｎ－１…ｄｔ２ｄｔ１＋…］ε（０） （１５） 其中： Ｒ（ｔ）＝Ｉ＋∫ ｔ ０ Ａ（ｔ１）ｄｔ１＋∫ ｔ ０∫ ｔ１ ０ Ａ（ｔ１）Ａ（ｔ２）ｄｔ２ｄｔ１＋… ＋∫ ｔ ０∫ ｔ１ ０ …∫ ｔｎ－１ ０ Ａ（ｔ１）Ａ（ｔ２）…Ａ（ｔｎ） ｄｔｎｄｔｎ－１…ｄｔ２ｄｔ１＋… （１６） ５ 非线性微分状态方程的直接试探解法 对于非线性状态方程，无论是微分形式还是积分 形式，均可采用级数直接试探法求解． 设非线性微分状态方程的解具有如下无穷级数形 ２４ 电 子 学 报 ２０１０年 更多技术文章，论文请登录www.srvee.com 内容版权归作者所有 式［７，８］： εｉ（ｔ）＝Ｒｉｌ（ｔ）［δｌｑ １ εｑ１（０）＋β ｌ ｑ １ｑ２ （ｔ）εｑ１（０）εｑ２（０） ＋β ｌ ｑ １ｑ２ｑ３ （ｔ）εｑ１（０）εｑ２（０）εｑ３（０）＋… ＋β ｌ ｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ）εｑ１（０）εｑ２（０）…εｑｎ（０）＋…］ （１７） 其中，δｉｌ为Ｋｒｏｎｅｃｈｅｒ符号，β系数为试探待定系数，Ｒ ｉ ｌ 的初始条件为Ｒｉｌ（０）＝δｉｌ，所有β系数的初始条件均为 零． 首先将试探解式（１７）代入式（１２）的左端，即对式 （１７）的两边对 ｔ求导，整理得： ｄεｉ（ｔ） ｄｔ ＝ａ ｉ ｊ １ （ｔ）εｊ１（ｔ）＋Ｒｉｌ（ｔ）［ ｄβ ｌ ｑ １ｑ２ （ｔ） ｄｔε ｑ１（０）εｑ２（０） ＋ ｄβ ｌ ｑ １ｑ２ｑ３ （ｔ） ｄｔ ε ｑ１（０）εｑ２（０）εｑ３（０）＋… ＋ ｄβ ｌ ｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ） ｄｔ ε ｑ１（０）εｑ２（０）…εｑｎ（０）＋…］ （１８） 另一方面，若令 Ｔｉｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ）＝Ｒｉｌ（ｔ）β ｌ ｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ），ｉ＝１，２，…，Ｎ （１９） 则由式（１７）可得： ε ｊ１（ｔ）ε ｊ２（ｔ）＝ α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２ （ｔ）ε ｑ１（０）ε ｑ２（０）＋α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２ｑ３ （ｔ）ε ｑ１（０）ε ｑ２（０）ε ｑ３（０）＋… ＋α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）ε ｑ１（０）ε ｑ２（０）…ε ｑｎ（０）＋… （２０） ε ｊ１（ｔ）ε ｊ２（ｔ）ε ｊ３（ｔ）＝ α ｊ１ｊ２ｊ３ ｑ１ｑ２ｑ３ （ｔ）ε ｑ１（０）ε ｑ２（０）ε ｑ３（０）＋… ＋α ｊ１ｊ２ｊ３ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）ε ｑ１（０）ε ｑ２（０）…ε ｑｎ（０）＋… （２１） ε ｊ１（ｔ）ε ｊ２（ｔ）…ε ｊｎ－１（ｔ）＝ α ｊ１ｊ２…ｊｎ－１ ｑ１ｑ２…ｑｎ－１ （ｔ）ε ｑ１（０）ε ｑ２（０）…ε ｑｎ－１（０） ＋α ｊ１ｊ２…ｊｎ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）ε ｑ１（０）ε ｑ２（０）…ε ｑｎ（０）＋… （２２） ε ｊ１（ｔ）ε ｊ２（ｔ）…ε ｊｎ（ｔ）＝ α ｊ１ｊ２…ｊｎ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）ε ｑ１（０）ε ｑ２（０）…ε ｑｎ（０）＋… （２３） 其中， α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２ （ｔ）＝Ｒ ｊ１ ｑ１ （ｔ）Ｒ ｊ２ ｑ２ （ｔ） α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）＝Ｒ ｊ１ ｑ１ （ｔ）Ｔ ｊ２ ｑ２ｑ３…ｑｎ （ｔ）＋Ｔ ｊ１ ｑ１ｑ２ （ｔ）Ｔ ｊ２ ｑ３ｑ４…ｑｎ （ｔ） ＋…＋Ｔ ｊ１ ｑ２ｑ３…ｑｎ－２ （ｔ）Ｔ ｊ２ ｑｎ－１ｑｎ （ｔ） ＋Ｔ ｊ１ ｑ１ｑ２…ｑｎ－１ （ｔ）Ｒ ｊ２ ｑｎ （ｔ） α ｊ１ｊ２ｊ３ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）＝α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２ （ｔ）Ｔ ｊ３ ｑ３ｑ４…ｑｎ （ｔ）＋α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２ｑ３ （ｔ）Ｔ ｊ３ ｑ４ｑ５…ｑｎ （ｔ） ＋…＋α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２…ｑｎ－２ （ｔ）Ｔ ｊ３ ｑｎ－１ｑｎ （ｔ） ＋α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２…ｑｎ－１ （ｔ）Ｒ ｊ３ ｑｎ （ｔ） α ｊ１ｊ２…ｊｎ－１ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）＝α ｊ１ｊ２…ｊｎ－２ ｑ１ｑ２…ｑｎ－２ （ｔ）Ｔ ｊｎ－１ ｑｎ－１ｑｎ （ｔ） ＋α ｊ１ｊ２…ｊｎ－２ ｑ１ｑ２…ｑｎ－１ （ｔ）Ｒｊｎ－１ｑｎ（ｔ） α ｊ１ｊ２…ｊｎ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）＝α ｊ１ｊ２…ｊｎ－１ ｑ１ｑ２…ｑｎ－１ （ｔ）Ｒ ｊｎ ｑｎ （ｔ） ＝Ｒ ｊ１ ｑ１ （ｔ）Ｒ ｊ２ ｑ２ （ｔ）…Ｒ ｊｎ ｑｎ （ｔ      ） （２４） 把式（２０）～（２３）代入到式（１２）的右端，经整理得： ｄεｉ（ｔ） ｄｔ ＝ａ ｉ ｊ １ εｊ１（ｔ）＋Ａｉｑ １ｑ２ （ｔ）εｑ１（０）εｑ２（０） ＋Ａｉｑ １ｑ２ｑ３ （ｔ）εｑ１（０）εｑ２（０）εｑ３（０）＋… ＋Ａｉｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ）εｑ１（０）εｑ２（０）…εｑｎ（０）＋… （２５） 其中，Ａｉｑ １ｑ２ （ｔ）＝ａｉｊ １ｊ２ （ｔ）α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２ （ｔ）， Ａｉｑ １ｑ２ｑ３ （ｔ）＝ａｉｊ １ｊ２ （ｔ）α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２ｑ３ （ｔ）＋ａｉｊ １ｊ２ｊ３ （ｔ）α ｊ１ｊ２ｊ３ ｑ１ｑ２ｑ３ （ｔ）， Ａｉｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ）＝ａｉｊ １ｊ２ （ｔ）α ｊ１ｊ２ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ） ＋ａｉｊ １ｊ２ｊ３ （ｔ）α ｊ１ｊ２ｊ３ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ）＋… ＋ａｉｊ １ｊ２…ｊｎ （ｔ）α ｊ１ｊ２…ｊｎ ｑ１ｑ２…ｑｎ （ｔ） 比较式（１８）和式（２５），可知β系数满足如下方程： Ｒｉｌ（ｔ） ｄβ ｌ ｑ １ｑ２ （ｔ） ｄｔ ＝Ａ ｉ ｑ １ｑ２ （ｔ） Ｒｉｌ（ｔ） ｄβ ｌ ｑ １ｑ２ｑ３ （ｔ） ｄｔ ＝Ａ ｉ ｑ １ｑ２ｑ３ （ｔ） Ｒｉｌ（ｔ） ｄβ ｌ ｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ） ｄｔ ＝Ａ ｉ ｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ      ） （２６） 考虑到（Ｒ－１）ｉｑＲｑｉ＝δｉｊ以及δｉｊ的指标置换性质，式 （２６）中的各式的两边各乘以（Ｒ－１）ｊｉ，并从０到 ｔ积分， 再利用张量指标符号的任意选择性，可得β系数为： β ｌ ｑ １ｑ２ （ｔ）＝∫ ｔ ０ （Ｒ－１）ｌｉ２（τ）Ａ ｉ２ ｑ１ｑ２ （τ）ｄτ， β ｌ ｑ １ｑ２ｑ３ （ｔ）＝∫ ｔ ０ （Ｒ－１）ｌｉ３（τ）Ａ ｉ３ ｑ１ｑ２ｑ３ （τ）ｄτ， β ｌ ｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ）＝∫ ｔ ０ （Ｒ－１）ｌｉｎ（τ）Ａ ｉｎ ｑ１ｑ２…ｑｎ （τ）ｄτ． 把β系数代入到试探解式（１７）中，则得非线性状 态方程的任意阶近似解析解为： εｉ（ｔ）＝Ｒｉｑ １ （ｔ）εｑ１（０）＋Ｔｉｑ １ｑ２ （ｔ）εｑ１（０）εｑ２（０）＋… ＋Ｔｉｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ）εｑ１（０）εｑ２（０）…εｑｎ（０）＋… （２７） 其中高次项的系数为： Ｔｉｑ １ｑ２ （ｔ）＝Ｒｉｌ（ｔ）∫ ｔ ０ （Ｒ－１）ｌｉ２（τ）Ａ ｉ２ ｑ１ｑ２ （τ）ｄτ， Ｔｉｑ １ｑ２…ｑｎ （ｔ）＝Ｒｉｌ（ｔ）∫ ｔ ０ （Ｒ－１）ｌｉｎ（τ）Ａ ｉｎ ｑ１ｑ２…ｑｎ （τ）ｄτ． 综上所述，通过直接试探法可以得到非线性状态 方程的任意阶近似解． ６ 结论 本文给出了非线性协调控制系统的控制原则，导 出了完全消除扰动的补偿条件，得到了非线性协调控 制系统状态方程，采用直接试探法，给出了非线性状态 方程的任意阶近似级数解．对于非线性协调控制系统 的积分形式的状态方程，同样可以得到其级数近似解 析解，并证明解的收敛性，由于篇幅，这里不在赘述，这 些结果将另文发表． ３４第 ２Ａ 期 曹少中：非线性协调控制系统状态方程的级数解 更多技术文章，论文请登录www.srvee.com 内容版权归作者所有 参考文献： ［１］涂序彦，王枞，郭燕慧．大系统控制论［Ｍ］．北京：北京邮 电大学出版社，２００５． ［２］曹少中．非线性协调控制理论研究及应用［Ｍ］．北京：科 学出版社，２００９． ［３］房方，魏乐，谭文，刘吉臻．基于动态扩展算法的大型燃煤 机组非线性协调控制系统设计［Ｊ］．中国机电工程学报， ２００７，２７（２６）：１０２－１０７． ＦＡＮＧＦａｎｇ，ＷＥＩＬｅ，ＴＡＮＷｅｎ，ＬＩＵＪｉｚｈｅｎ．ＤｅｓｉｇｎｏｆＮｏｎ ｌｉｎｅａｒＣｏｏｒｄｉｎａｔｅｄＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍＢａｓｅｄｏｎＤｙｎａｍｉｃＥｘｔｅｎｄｅｄ ＬｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎｆｏｒＬａｒｇｅｓｉｚｅｄＣｏａｌｆｉｒｅｄＰｏｗｅｒＵｎｉｔｓ［Ｊ］．Ｐｒｏ ｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＣＳＥＥ，２００７，２７（２６）：１０２－１０７．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ） ［４］靳晓凌，赵建国，王海风．基于免疫网络理论的 ＴＣＳＣ与 ＰＳＳ协调控制［Ｊ］．天津大学学报，２００７，４０（９）：１０３５－ １０４０． ＪＩＮＸｉａｏｌｉｎｇ，ＺＨＡＯＪｉａｎｇｕｏ，ＷＡＮＧＨＦ．ＣｏｏｒｄｉｎａｔｅｄＣｏｎ ｔｒｏｌｏｆＴＣＳＣａｎｄＰＳＳＢａｓｅｄｏｎＡｒｔｉｆｉｃｉａｌＩｍｍｕｎｅＮｅｔｗｏｒｋ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００７，４０（９）：１０３５－ １０４０．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ） ［５］Ｇｈｏｍｍａｍ Ｊａｗｈａｒ，ＭｎｉｆＦａａｌ．Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｄｐａｔｈｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌｆｏｒａｇｒｏｕｐｏｆｕｎｄｅｒａｃｔｕａｔｅｄｓｕｒｆａｃｅｖｅｓｓｅｌｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２００９，５６（１０）：３９５１－ ３９６３． ［６］曹少中，刘贺平，涂序彦．随机非线性系统自由状态方程 的任意阶近似解［Ｊ］．电子学报，２００８，３６（４）：７８５－７８８． ＣＡＯＳｈａｏｚｈｏｎｇ，ＬＩＵＨｅｐｉｎｇ，ＴＵＸｕｙａｎ．ＡｎｙＯｒｄｅｒＡｐ ｐｒｏｘｉｍａｔｅＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｔａｔｅＥｑｕａｔｉｏｎｆｏｒＵｎｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄＲａｎ ｄｏｍＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＡＣＴＡＥＬＥＣＴＲＯＮＩＣＡＳＩＮＩＣＡ， ２００８，３６（４）：７８５－７８８．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ） ［７］ＣＡＯＳｈａｏｚｈｏｎｇ，ＤＯＮＧＪｉｅ，ＬＩＵＨｅｐｉｎｇ，ＴＵＸｕｙａｎ．Ａｎｙ ＯｒｄｅｒＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅＧｅｎｅｒａｌＬａｎｇｅｖｉｎＧｒａｄｉｅｎｔ ＳｔａｔｅＥｑｕａｔｉｏｎ［Ａ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆ２００７ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒ ｅｎｃｅｏｎＷａｖｅｌｅｔＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ［Ｃ］．２００７． ４９－５２． ［８］ＣＡＯＳｈａｏｚｈｏｎｇ，ＡＩＤｏｎｇｍｅｉ，ＬＩＵＨｅｐｉｎｇ，ＴＵＸｕｙａｎ． ＡｎｙＯｒｄｅｒＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅＳｔａｔｅＥｑｕａｔｉｏｎｆｏｒ ＣｏｎｔｒｏｌｌｅｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｙｓｔｅｍｓ［Ａ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆ２００７Ｉｎｔｅｒ ｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＷａｖｅｌｅｔＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇｎｉ ｔｉｏｎ［Ｃ］．２００７．４４－４８． 作者简介： 曹少中 男，１９６５年生于保定，博士，副教 授．主要从事信号检测与处理、非线性系统理论、 智能控制方面的研究工作． Ｅｍａｉｌ：ｃａｏｓｈａｏｚｈｏｎｇ＠ｂｉｇｃ．ｅｄｕ．ｃｎ 李  男，１９８２年生于哈尔滨，硕士，讲 师．主要从事信号与信息处理、无线通讯等方面 的研究工作． Ｅｍａｉｌ：ｙａｎｇｌｉ＠ｂｉｇｃ．ｅｄｕ．ｃｎ ４４ 电 子 学 报 ２０１０年 更多技术文章，论文请登录www.srvee.com 内容版权归作者所有