边坡稳定分析—陈祖煜法

陈祖煜法 陈祖煜对Morgentern法作了改进。首先，结合更一般工程实际，如地震力、坡面载荷等，从土条的静力平衡得到的微分方程出发，结合相应的边界条件，推导出下列带有普遍意义的极限平衡方程式。 1．作用在土条上的力 设想某一边坡的滑动土体沿滑裂面y=y(x)下滑，根据安全系数的定义，土体和滑裂面上的抗剪强度指标均已缩减为c΄e、tanφ′e。,在滑动土体中切出一垂直土条，分析作用在其上的力，可计算得到： （1）土条重量ΔW，浸润线上为天然容重，浸润线下为饱和容重； （2）坡表面垂直荷重qΔx； （3） 水平地震力ΔQ=ηΔW，其作用点与土条底距离为he; （4）作用在土条垂直边上的总作用力G（即士骨架间的法向有效作用力和水压力之和），它与水平线的夹角为β，其作用点的纵坐标值为yt。 土坡坡面滑裂面示意图 2．静力平衡微分方程 如图9.4.3所示，对土条建立x和y方向的静力平衡方程： (9.4.23) (9.4.24) 其中应用莫尔-库伦条件 ΔT=c’eΔxsec +(ΔN—uΔxsec )tanφ’e (9.4.25) 式中： 为土条底倾角，tan =dy/dx； 将以上前式加以整理，消去ΔN，令Δx→0，得到静力平衡的微分方程： cos(φ′e－ +β) -sin(φ′e－ +β) G=－p(x) (9.4.26) p(x)=（ q）sin(φ′e－ )-ru sec sinφ′ +C′e－sec cosφ′e-η cos(φ′e－ ) (9.4.27) 同时，将作用在土条上的力对土条底中点取矩，建立力矩平衡方程： （G+ΔG）cos(β+Δβ)[（y+Δy）-(yt+Δyt)- Δy] -Gcosβ(y-yt+ Δy)+GsinβΔx-η he=0 (9.4.28) 其中he水平地震力作用点距知底的垂直距离，当Δx→0时，得 Gsinβ=－y （Gcosβ）+ （ytGcosβ）+ he （9.4.29） 式（9.4.26）也可通过将作用在条块上的力投影图9.4.3中线AA′方向获得。AA′与土条底切线方向夹角为φ′e，土条底部的法向力N′与由其贡献的切向抗力N′tanφ′e的合力因与AA垂直故不出现。 土条作用力和坐标示意图 3．静力平衡微分方程的求解 微分方程组式（9.4.26）和式（9.4.29）的边界条件是 G(a)=0 (9.4.30) G(b)=0 (9.4.31) yt(a)=y(a) (9.4.32) yt(b)=y(b) (9.4.33) 式中：a和b为滑体左、右端点的x坐标。见图9.4.2。 式（9.4.26）是一个一阶非线性常微分方程，它的积分形式是 G(x)=-sec(φ′e－ +β)s-1(x) (9.4.34) s(x)=sec(φ′e－ +β)exp (9.4.35) 式（9.429）的积分形式是 （9.4.36） 令x=b，并使用土坡的前述边界条件的表达形式，应用分部积分法，式（9.4.34）和式（9.4.35）可化为 （9.4.37） （9.4.38） 其中 t(x)= (9.4.39) Me= (9.4.40) (9.4.41) 上式右侧第一项由式（9.4.37）可知为零。p(x)表示土条底部各作用力在底面合力垂直方向上的分量； 表示此方向与土条侧向作用力合力方向的交角；而 是在土条侧向作用力合力方向上力的平衡；t(x)则是垂直于土条侧向作用力合力方向的力臂。式（9.4.37）和式（9.4.38）分别反映滑动土体整体的力和力矩的平衡要求。这两个方程中包含一个求知数，即安全系数F，它隐含在φe′中和ce′中，另外还包含一个变量β(x)。假定β（x）的形式，即可以求出F。 侧向力函数假定 4．求解假设条件 如图所示，β(x)满足 tanβ=f0(x)+λf(x) (9.4.42) f0 (x)在x=a和x=b处为指定值，依据边界条件，f0 (x)在x=a和x=b处为零，如图（9.4.2）使用这一，可以进一步限制对求知数函数β(x)作假所作假设的随意性。f(x) 一旦确定，稳定分析的求解过程就具体化为求解联立方程式（9.4.37）和式（9.4.38）中包含的两个未知数F和λ的问题。显然，求解的计算必须采用数值方法通过计算机应用程序来实现。关于其G（F，λ）、M（F，λ）的的数值计算可参考陈祖煜的相关籍。 f(x)可假定为1，即假定各土条的β(x)为一常数；也可假定为其它函数。每一组解都要通过（9.4.43）和式（9.4.44）的合理性要求检验控制条件。 控制条件为： （1）沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不超过在这个面上所能发挥的抗剪能力（参见图9.4.2），即， Fv= (9.4.43) 或 Fv= ＞1 (9.4.44) 式中：Fv为沿着土条垂直面的安全系数：Fvc为使用经过按工(9.3.3)和式（9.3.4）缩减后垂直面的安全系数；E′为作用在土条垂直的法向有效压力；X为作用在土条垂直面的剪力；tanφ′av为土条垂直面的有效平均摩擦系数；c′av为土条垂直面的有效粘聚力；tanφ′ave为tanφ′av被F值除后的值：c′ave为c′av被F值除后的值；y为滑裂面的纵坐标值；Z为土坡表面的纵价坐标值。 （2）为保证在土条接角面上不产生拉力，作用在土条上的有效力的合力作用点不应落在土条垂直面的外面（参考图9.4.4） 0