王划一-自动控制原理-5-3稳定裕度

5.5稳定裕度根据奈氏判据，系统开环幅相曲线临界点附近的形状，对闭环稳定性影响很大。两个表征系统稳定程度的指标：相角裕度和幅值裕度h。（1）幅值裕度h：令相角为180时对应的频率为g（相角穿越频率），频率为g时对应的幅值A(g)的倒数，定义为幅值裕度h，即或20lgh=20lgA(g)（2）相角裕度：令幅频特性过零分贝时的频率为c（幅值穿越频率），则定义相角裕度为=180+(c)A(g)h具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环增益增大到原来的h倍时，则系统就处于临界稳定了。具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环相频特性变化角度时，则系统就处于临界稳定了。ccgh(dB)解：系统的开环传递函数为c=3.16例5-16已知单位负反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如图示，试求开环传递函数；计算系统的稳定裕度。k=c=3.16()=arctan1802arctan0.1=180+(c)=arctan3.162arctan0.316=37.4当(g)=180时180=arctang1802arctan0.1garctang=2arctan0.1g求得g=8.94因为>0，所以闭环系统是稳定的。例5-17()=90arctan0.2arctan0.02=180+(c)=90arctan0.2carctan0.02ccarctan0.2garctan0.02g=90最小相位系统中频段的斜率与相对应：中频段的斜率为20dB/dec时，>0。中频段的斜率为40dB/dec时，可正可负，如果为正，其值比较小。中频段的斜率为60dB/dec时，一定为负。>0，系统一定是稳定的。例5-18T1>T2=180+()=180+arctancT1180arctancT2=arctan(c/1)arctan(c/2)(1)c、2保持不变，1(2)c、1保持不变，2(3)1、2保持不变，h=2/1中频段宽度h与中频段的斜率有关，而且还与中频段宽度有关：中频段宽度5.6闭环频率特性一.开环和闭环频率特性的关系对于单位反馈控制系统，闭环频率特性与开环频率特性的关系为AGk(j)P（1）零频幅值特性M0：=0时的闭环幅频特性值。br0.707M0M0Mm（4）系统带宽b：闭环幅频特性值减小到0.707M0时的频率，称为带宽频率，用b表示。频率范围0b称为系统带宽。（3）谐振频率r：出现谐振峰值时的频率。（2）谐振峰值Mr：幅频特性极大值与零频幅值之比Mr=Mm/M0。二.闭环频率特性5.7频率特性5.7.1用开环频率特性分析系统的性能1.系统稳态误差和开环频率特性的关系系统开环传递函数中的积分环节的数目（系统类型）确定了开环对数幅频特性低频渐近线的斜率，而低频渐近线的高度，则决定于开环系数的大小。所以，稳态误差由开环对数幅频特性的低频渐近线确定。N=０N=1N=220dB/dec40dB/dec 系统的暂态性能和开环频率特性的关系1)二阶系统典型二阶系统的结构图如图示开环传递函数为①与p%之间的关系由A(c)=1，计算开环截止频率c有则相角裕度为=180+(c)=18090arctan(c/2n)在时域分析中，知由图明显看出，越大，p%越小；越小，p%越大。为使二阶系统不致于振荡太厉害以及调节时间太长，一般希望307000.20.40.60.81.0()706050403020100p%100806040200p②、c与ts之间的关系在时域分析中，知可以看出，调节时间与相角裕度和幅值穿越频率都有关系。如果两个二阶系统的相同，则它们的超调量也相同，这时比较大的系统，调节时间较短。例5-19一单位反馈控制系统，其开环传递函数试用相角裕度估算过渡过程指标p%与ts。解：系统开环伯德图如图示由图可得，c=7，=58.7根据=58.7，可得=0.592，则p%=9.95%ts=0.52(s)直接求解系统，得=0.64p%=7.3%ts=0.522(s)两者基本上是一致的。11.520dB/dec40dB/dec2)高阶系统近似的关系式上式表明，高阶系统的随着的增大而减小，调节时间随着的增大也减小，且随增大而减小。3.开环频率特性的高频段对系统性能的影响高频段是由小时间常数的环节决定的，由于其转折频率远离c，所以对系统动态性能影响不大，然而从系统抗干扰的角度看，高频段特性很有意义的。对于单位反馈系统，开环和闭环传函的关系为由于在高频段，一般20lgG(j)<<0，即G(j)<<1，故有即闭环幅频等于开环幅频。因此开环对数对频特性高频段的幅值，直接反映了系统对输入端高频信号的抑制能力，高频段分贝值越低，系统抗干扰能力越强。通过以上分析，可以看出系统开环对数频率特性表征了系统的性能。对于最小相位系统，系统的性能完全可以由开环对数幅频特性反映出来。希望的系统开环对数幅频特性归纳一下有以下几个方面：（1）如果要求系统具有一阶或二阶无静差特性，则开环对数幅频特性的低频段应有20dB/dec或40dB/dec的斜率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的增益。（2）开环对数幅频特性以20dB/dec的斜率穿越0分贝线，且具有一定的中频段宽度，这样系统就有一定的稳定裕度，以保证闭环系统具有一定的平稳性。（3）具有尽可能大的0分贝频率，以提高闭环系统的快速性。（4）为了提高系统抗干扰能力，开环对数幅频特性高频段应有较大的负斜率。3.7.2用闭环频率特性分析系统的动态性能1.二阶系统其闭环传函为其闭环频率特性为①Mr与p%的关系当>0.707时，不存在谐振峰值，幅频特殊性单调衰减；当<0.707时，Mr越小，系统阻尼性能越好越大，p%越小。②Mr、b与ts的关系2.高阶系统5.7.3开环频域指标与闭环频域指标的关系1.与Mr的关系一般，Mr出现在c附近，就是说用c代替r来计算Mr，并且较小，可近似认为AB=∣1+G(jc)∣于是有可见，b与c的比值是的函数，有=0.4b=1.6c=0.7b=1.55c对于高阶系统，初步时，可近似取b=1.6c2.c与b的关系对于二阶系统，有第5章小结一、频率特性1.定义：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性用G(j)表示。css(t)=AG(j)sin[t+G(j)]2.幅频、相频、实频、虚频特性的定义、关系G(j)=A()ej()=Re()+jIm()3.几何表示：（1）幅相曲线（极坐标图）把频率看成参变量，当从0时，将幅频特性和相频特性表示在同一个复数平面上。（2）伯德图在半对数坐标上绘制对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。二、典型环节的频率特性比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶比例微分环节、二阶比例微分环节。频率特性曲线的绘制，特点等三、开环系统频率特性1.开环幅相曲线的绘制(1)根据开环零-极点图确定起点(=0)：精确求出A(0)，(0)；(2)确定终点(=)：求出A()，()；(3)确定曲线与坐标轴的交点：G(j)=Re()+jIm()与实轴的交点：令Im()=0求出x代入Re(x)(4)由起点出发，绘制曲线的大致形状。2.开环对数频率曲线（优点，方法）L()：①在半对数坐标上标出所有的转折频率；②确定低频段的斜率和位置；③由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，曲线的斜率发生相应的变化。()：首先确定低频段的相位角，其次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频特性的草图。四、奈奎斯特稳定判据内容应用（1）求P。（2）绘制从0时的开环幅相曲线。（3）求开环幅相曲线包围(-1，j0)点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）。（4）Z=P2R来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，应从=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转v90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。五、稳定裕量（开环频域指标）定义计算公式（1）幅值裕度h：20lgh=20lgA(g)（2）相角裕度：=180+(c)闭环频域指标：Mrrb六、频域和时域指标的关系1.开环频域指标和时域指标的关系c（1）越大，%越小；越小，%越大。一般希望3070（2）c越大，ts越小；2.闭环频域指标和时域指标的关系Mrrb（1）Mr反映系统的平稳性。（2）b反映系统的响应速度。3.开环频域指标和闭环频域指标的关系Mrbc希望的系统开环对数幅频特性：（1）如果要求系统具有一阶或二阶无静差特性，则开环对数幅频特性的低频段应有20dB/dec或40dB/dec的斜率。为保证系统的稳态精度，低频段应有较高的增益。（2）开环对数幅频特性以20dB/dec的斜率穿越0分贝线，且具有一定的中频段宽度，这样系统就有一定的稳定裕度，以保证闭环系统具有一定的平稳性。（3）具有尽可能大的0分贝频率，以提高闭环系统的快速性。（4）为了提高系统抗干扰能力，开环对数幅频特性高频段应有较大的负斜率。结束