2022年江苏省扬州市仪征市月塘中学中考数学模拟试题及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022年江苏省扬州市仪征市月塘中学中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.−2022的相反数是(    )A.−12022B.12022C.−2022D.20222.下列计算正确的是(    )A.a3+a3=a6B.a5⋅a2=a10C.(2a2)4=2a8D.a12÷a5=a73.下列生活中的事件，属于不可能事件的是(    )A.3天内将下雨B.打开电视，正在播新闻C.买一张电影票，座位号是偶数号D.没有水分，种子发芽4.如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是(    )A.B.C.D.5.某班为推荐学生参加校数学素养展示活动，对4位学生的两个项目考核成绩如，若按照思维创新占80%，口头表达占20%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的学生是(    )项目甲乙丙丁思维创新909510095口头表达95858590A.甲B.乙C.丙D.丁6.北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是(    )A.100x+80(10−x)>900B.100+80(10−x)<900C.100x+80(10−x)≥900D.100x+80(10−x)≤9007.如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBC的面积是(    )A.3314B.9314C.337D.6378.图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE和正方形ABCD组成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参与者匀速行进，且表示y与x的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是(    )A.A→O→DB.E→A→CC.A→E→DD.E→A→B二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.计算：8−492=______．10.若代数式x−3有意义，则x的取值范围是______．11.某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米=10−9米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为______米．12.一组数据2，0，2，1，6的众数为______．13.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．14.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．15.若x=ay=b是方程组x+y=2x−y=4的解，则一次函数y=ax+b的图象不经过第______象限．16.如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC=30°，BE=10，则▱ABCD的面积为______．17.如图，反比例函数图象l1的表达式为y=k1x(x>0)，图象l2与图象l1关于直线x=1对称，直线y=k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k1k2的值为______．18.如图，矩形ABCD中，AB=11，AD=4，⊙O分别与边AD，AB，CD相切，点M，N分别在AB，CD上，CN=1，将四边形BCNM沿着MN翻折，使点B、C分别落在B′、C′处，若射线MB′恰好与⊙O相切，切点为G，则线段MB的长为______．三、解答题（本大题共10小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)(1)计算：20220+(13)−1+4，(2)解方程组：2x+y=23x−y=10．20.(本小题8.0分)在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．(1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是______(填写序号)；它们都是______图形(填写“中心对称”或“轴对称”)；(2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有(1)中所选图案相同的对称性．21.(本小题8.0分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查(每人只选一种粽子)，并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)扇形统计图中，求D种粽子所在扇形的圆心角的度数；(3)这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为多少．22.(本小题8.0分)4张相同的卡片上分别写有数字0、1、−2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．(1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；(2)小敏了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？(请用树状图或列表等说明理由)23.(本小题10.0分)某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x(元/千克)55606570销售量y(千克)70605040(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？24.(本小题10.0分)某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．(1)如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；(2)在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长(如图3)，此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．(结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)25.(本小题10.0分)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD=BD．(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)已知tan∠DOC=247，AB=40，求⊙O的半径．26.(本小题8.0分)如图，抛物线y=mx2+(m2+3)x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；(2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．27.(本小题12.0分)在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4π cm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长(结果保留根号)．(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为______(用含l，h的代数式表示)．②设AD的长为a，点B在母线OC上，OB=b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．28.(本小题12.0分)定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．(1)如图1，在“对角互余四边形”ABCD中，AD=CD，BD=6.5，∠ABC+∠ADC=90°，AB=4，CB=3，求四边形ABCD的面积．(2)如图2，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，点O是△ACD外接圆的圆心，连接OA，∠OAC=∠ABC.求证：四边形ABCD是“对角互余四边形”；(3)在(2)的条件下，如图3，已知AD=a，DC=b，AB=3AC，连接BD，求BD2的值．(结果用带有a，b的代数式表示)和解析1.【答案】D 【解析】解：−2022的相反数是2022，故选：D．根据相反数的定义直接求解．本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．2.【答案】D 【解析】解：A、a3+a3=2a3，故A不符合题意；B、a5⋅a2=a7，故B不符合题意；C、(2a2)4=16a8，故C不符合题意；D、a12÷a5=a7，故D符合题意；故选：D．利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3.【答案】D 【解析】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.【答案】C 【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形．故选：C．根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5.【答案】C 【解析】解：甲的平均成绩=90×80%+95×20%=91(分)，乙的平均成绩=95×80%+85×20%=93(分)，丙的平均成绩=100×80%+85×20%=97(分)，丁的平均成绩=95×80%+90×20%=94(分)，∵97>94>93>91，∴丙的平均成绩最高，∴应推荐丙．故选：C．首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出应推荐谁．此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．6.【答案】D 【解析】解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品(10−x)件，根据题意，得：100x+80(10−x)≤900，故选：D．设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品(10−x)件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．7.【答案】A 【解析】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E=90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB//CE，∠ABD=90°，∴△ABD∽△CED，∴ADCD=ABCE=BDDE，∵AD=47AC，∴ADCD=43，∴ABCE=2CE=43=BDDE，则CE=32，∵∠ABC=150°，∠ABD=90°，∴∠CBE=60°，∴BE=33CE=32，∴BD=47BE=237，∴S△BCD=12⋅BD⋅CE=12×32×237=3314．故选：A．过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得ADCD=ABCE=BDDE，由AD=47AC，AB=2，可求出CE的长，又∠ABC=150°，∠ABD=90°，则∠CBD=60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键．8.【答案】A 【解析】解：由题意可得，当经过的路线是A→O→D时，从A→O，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从O→D，y随x的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A符合要求；当经过的路线是E→A→C时，从E→A，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B不符合要求；当经过的路线是A→E→D时，从A→E，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于刚开始的值，故选项C不符合要求；当经过的路线是E→A→B时，从E→A，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D不符合要求；故选：A．根据各个选项中的路线进行分析，看哪条路线符号图2的函数图象即可解答本题．本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，明确各个选项中路线对应的函数图象，利用数形结合的思想解答．9.【答案】−322 【解析】解：8−492=22−722=−322．故答案为：−322．先化简，再进行加减运算即可．本题主要考查二次根式的加减法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．10.【答案】x≥3 【解析】解：∵代数式x−3有意义，∴x−3≥0，解得：x≥3，故答案为：x≥3．根据x−3有意义得出x−3≥0，再求出答案即可．本题考查了二次根式有意义的条件，能根据x−3有意义得出x−3≥0是解此题的关键．11.【答案】1.2×10−7 【解析】解：120纳米=120×10−9米=0.00000012米=1.2×10−7米．故答案为：1.2×10−7．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12.【答案】2 【解析】解：这组数据2，0，2，1，6中出现次数最多的是2，共出现2次，因此众数是2，故答案为：2．根据众数的意义，找出这组数据中出现次数最多的数即可．本题考查众数，理解众数是一组数据中出现次数最多的数是正确解答的关键．13.【答案】29 【解析】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，所以该小球停留在黑色区域的概率是29．故答案为：29．若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2，再根据概率公式求解可得．本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．14.【答案】1264 【解析】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出(40+2a)份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出(80−2b)份，由题意可得，40+2a+80−2b=40+80，解得a=b，∴总利润W=(12−a)(40+2a)+(8+a)(80−2a)=−4a2+48a+1120=−4(a−6)2+1264，∵−4<0，∴当a=6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．故答案为：1264．设每份A种快餐降价a元，则每天卖出(40+2a)份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出(80−2b)份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得a=b，用a表达出W，结合二次函数的性质得到结论．本题属于经济问题，主要考查二次函数的性质，设出未知数，根据“这两种快餐每天销售总份数不变”列出等式，找到量之间的关系是解题关键．15.【答案】二 【解析】解：由方程组x+y=2x−y=4，解得x=3y=−1，∵若x=ay=b是方程组x+y=2x−y=4的解，∴a=3b=−1，∴y=ax+b=3a−1，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．故答案为：二．先解方程组x+y=2x−y=4，得出一次函数的解析式再判定图象不经过的象限．本题考查了解二元一次方程组和a、b与直线的位置关系，熟练掌握解二元一次方程组和a、b与直线的位置关系是解决此题的关键．16.【答案】50 【解析】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=12BE=5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴平行四边形ABCD的面积=BC×EF=10×5=50，故答案为：50．过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．17.【答案】89 【解析】解：∵图象l2与图象l1关于直线x=1对称，即f(x)与f(2−x)关于直线x=1对称，∴反比例函数l2为：y=k12−x，∵直线y=k2x与l2交于A，B两点，∴y=k2xy=k12−x，整理得：x2−2x+k1k2=0，∴xA+xB=2，xAxB=k1k2(根与系数的关系)，∵A为OB中点，∴2xA=xB，∴xA+2xA=2，∴xA=23，xB=43，∴k1k2=xAxB=23×43=89．故答案为：89．利用函数的对称性质确定l2的解析式，再联立方程，通过方程跟与系数的关系求出k1k2的值．本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系，求出函数l2的解析式是解题关键．18.【答案】5−22或5+22或1 【解析】解：设AB与圆O相切于点E，AD与圆O相切于点H，连接OE，OG，OM，OH，过点N作NF⊥B′M于点F，如图，∵⊙O分别与边AD，AB，CD相切，AD=4，∴⊙O的直径为4，∴OE=OG=2．∵AD，AB为⊙O的切线，∴OH⊥AD，OE⊥AB，∵∠A=90°，∴四边形OHAE为矩形，∵OH=OE，∴四边形OHAE为正方形．∴AE=AH=OE=2．∵ME，MB为⊙O的切线，∴OE⊥AM，OG⊥MG，ME=MG，∠OME=∠OMG．∵四边形BCNM沿着MN翻折，使点B、C分别落在B′、C′处，∴CN=CN′=1，MB=MB′，B′C′=BC=4，∠BMN=∠B′MN．∵∠AMO+∠GMO+∠B′MN+∠BMN=180°，∴∠OME+∠B′MN=90°，∵NF⊥MG，∴∠FNM+∠GMN=90°，∴∠OME=∠FNM，∵∠OEM=∠MFN=90°，∴△OEM∽△MFN．∴OEME=FMFN．∵四边形C′B′MN为直角梯形，NF⊥B′M，∴NF=B′C′=4，B′F=C′N=1，设BM=B′M=x，则MF=B′M−B′F=x−1，EM=AB−AE−BM=11−2−x=9−x，∴29−x=x−14，解得：x=5−22或5+22．∴BM=5−22．当MB=1时，此时MB与MB′重合，满足条件，∴MB=1符合题意，综上，MB的值为：5−22或5+22或1．故答案为：5−22或5+22或1．设AB与圆O相切于点E，AD与圆O相切于点H，连接OE，OG，OM，OH，过点N作NF⊥B′M于点F，利用切线的性质与切线长定理求得圆的半径，∠OME=∠OMG，利用折叠的性质可得∠BMN=∠B′MN，设BM=B′M=x，则MF=B′M−B′F=x−1，EM=AB−AE−BM=11−2−x=9−x，通过证明△OEM∽△MFN，利用相似三角形的性质列出方程，解方程即可得出结论．本题主要考查了圆的切线的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，梯形的性质，切线长定理，条件适当的辅助线是解题的关键．19.【答案】解：(1)20220+(13)−1+4=1+3+2=6；(2)2x+y=2①3x−y=10②，①+②得：5x=12，解得x=125，把x=125代入①得：245+y=2，解得y=−145，故原方程组的解是：x=125y=−145． 【解析】(1)先算零指数幂，负整数指数幂，开平方，再算加减即可；(2)利用加减消元法进行求解即可．本题主要考查实数的运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．20.【答案】①③⑤ 轴对称 【解析】解：(1)①③⑤三个图案是轴对称图形，故答案为：①③⑤；轴对称；(2)如图所示，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查了中心对称图形轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．21.【答案】解：(1)抽样调查的总人数：240÷40%=600(人)，喜欢B种粽子的人数为：600−240−60−180=120(人)，补全条形统计图，如图所示：(2)D种粽子所在扇形的圆心角是180600×360°=108°；(3)根据题意得：2500×120600=500(人)，答：爱吃B种粽子的人数为500人．故答案为：500． 【解析】(1)先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢A，C，D种粽子的人数的和即可得到喜欢B种粽子的人数，从而补全统计图；(2)先求出D种粽子所占的百分比，然后360°×百分比即可求出D种粽子所在扇形的圆心角；(3)根据样本估计总体即可．本题考查了条形统计图与扇形统计图，体现了用样本估计总体的思想，计算出D种粽子所占的百分比是解题的关键．22.【答案】14 【解析】解：(1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为14，故答案为：14．(2)列表如下：01−2301−231−1−32−22353−3−2−5由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，所以甲获胜的概率=乙获胜的概率=612=12，∴此游戏公平．(1)利用概率公式求解即可；(2)利用列表法列举出所有可能，进而利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将表中数据(55,70)、(60,60)代入得：55k+b=7060k+b=60，解得：k=−2b=180．∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+180．(2)由题意得：(x−50)(−2x+180)=600，整理得：x2−140x+4800=0，解得x1=60，x2=80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．(3)设当天的销售利润为w元，则：w=(x−50)(−2x+180)=−2(x−70)2+800，∵−2<0，∴当x=70时，w最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 【解析】(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；(2)依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；(3)利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．24.【答案】解：(1)过点D作DF⊥BC于F，∵∠FCD=60°，∠CFD=90°，∴FC=CD×cos60°=50×12=25(cm)，∴FA=AB+BC−CF=84+54−25=113(cm)，答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm；(2)如图3，过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG于N，过点D作DM⊥CG于M，∵BC=54cm，∴CN=BC×cos20°=54×0.94=50.76(cm)，∴MN=CN+MG−CG=50.76+90−50.76−84=6(cm)，∴CM=CN−MN=44.76(cm)，∴CD=CMcos40∘=44.760.77≈58(cm)，答：CD的长为58cm． 【解析】(1)利用锐角三角函数可求CF的长，即可求解；(2)由锐角三角函数可求CN的长，由线段和差关系可求MN的长，CM的长，由锐角三角函数可求CD的长．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形．25.【答案】解：(1)直线CD与⊙O相切，理由如下：如图，连接OC，∵OA=OC，CD=BD，∴∠A=∠ACO，∠B=∠DCB，∵∠AOB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACO+∠DCB=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，又∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线，∴直线CD与⊙O相切；(2)∵tan∠ODC=247=OCCD，∴设CD=7x=DB，OC=24x=OA，∵∠OCD=90°，∴OD=OC2+CD2=49x2+576x2=25x，∴OB=32x，∵∠AOB=90°，∴AB2=AO2+OB2，∴1600=576x2+1024x2，∴x=1，∴OA=OC=24，∴⊙O的半径为24． 【解析】(1)连接OC，由等腰三角形的性质可得∠A=∠ACO，∠B=∠DCB，由余角的性质可求∠OCD=90°，可得结论；(2)由锐角三角函数可设CD=7x=DB，OC=24x=OA，在Rt△OCD中，由勾股定理可求OD=25x，在Rt△AOB中，由勾股定理可求x=1，即可求解．本题考查了直线与圆的位置关系，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用参数列方程是解题的关键．26.【答案】解：(1)将B(3,0)代入y=mx2+(m2+3)x−(6m+9)，化简得，m2+m=0，则m=0(舍)或m=−1，∴m=−1，∴y=−x2+4x−3．∴C(0,−3)，设直线BC的函数表达式为y=kx+b，将B(3,0)，C(0,−3)代入表达式，可得，0=3k+b−3=b，解得，k=1b=−3，∴直线BC的函数表达式为y=x−3．(2)如图，过点A作AP1//BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3．由(1)得直线BC的表达式为y=x−3，A(1,0)，∴直线AG的表达式为y=x−1，联立y=x−1y=−x2+4x−3，解得x=1y=0，或x=2y=1，∴P1(2,1)或(1,0)，由直线AG的表达式可得G(0,−1)，∴GC=2，CH=2，∴直线P2P3的表达式为：y=x−5，联立y=x−5y=−x2+4x−3，解得，x=3−172y=−7−172，或，x=3+172y=−7+172，∴P2(3−172,−7−172)，P3(3+172,−7+172)；综上可得，符合题意的点P的坐标为：(2,1)，(1,0)，(3−172,−7−172)，(3+172,−7+172)；(3)如图，取点Q使∠ACQ=45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，则△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD，∴△CDE≌△DAF(AAS)，∴AF=DE，CE=DF．设DE=AF=a，则CE=DF=a+1，由OC=3，则DF=3−a，∴a+1=3−a，解得a=1．∴D(2,−2)，又C(0,−3)，∴直线CD对应的表达式为y=12x−3，设Q(n,12n−3)，代人y=−x2+4x−3，∴12n−3=−n2+4n−3，整理得n2−72n=0．又n≠0，则n=72．∴Q(72,−54). 【解析】(1)把点B坐标直接代入抛物线的表达式，可求m的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点C的坐标，设直线BC的表达式，把点B和点C的坐标代入函数表达式即可；(2)过点A作直线BC的平行线AP1，联立直线AP1与抛物线表达式可求出P1的坐标；设出直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P2P3，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点P的坐标；(3)取点Q使∠ACQ=45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，可得△CDE≌△DAF，求出点D的坐标，联立求出点Q的坐标．本题属于二次函数综合题，主要考查利用平行转化面积，角度的存在性等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的基础．27.【答案】l+h 【解析】解：(1)如图②中连接AO，AC，AB.设∠AOC=n．∵AC的长=4π，∴nπ⋅12180∘=4π，∴n=60°，∴∠COA=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∵OB=BC=6，∴AB⊥OC，∴AB=OA2−OB2=122−62=63．最短的路径是线段AB，最短路径的长为63．(2)①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h+l．故答案为：h+l．②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，思路：Ⅰ、连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，Ⅱ、由题可知，GF=h，OB=b，由的长为a，得展开后的线段AD=a，Ⅲ、设线段GC的长为x，则的弧长也为x，Ⅳ、由母线长为l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足为E，Ⅴ、因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，Ⅵ、利用勾股定理表示出BG，接着由FD=CG=x，得到AF=a−x，利用勾股定理可以求出AG，Ⅶ、将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，得出A、G、B三点共线，Ⅷ、利用勾股定理可以得到关于x的方程，即可解出x，Ⅸ、将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．(1)先判断出△OAC为等边三角形，进而得出AB上等边三角形的高，即可得出结论；(2)①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即可得出结论；②根据题意画出示意图，设CG=x，则CG的长为x，进而求出∠COG，用勾股定理建立AB为关于x的函数，求解即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理，圆柱和圆锥的侧面展开图，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．28.【答案】(1)解：如图1，作CE⊥BC，使点CE=AB=4，且点E、A在直线BC异侧，连接BE、DE，则∠BCE=90°，∵CB=3，∴BE=32+42=5，∵∠ABC+∠ADC=90°，∴∠DAB=360−(∠ABC+∠ADC)−∠DCB=270°−∠DCB，∵∠DCE=360°−∠BCE−∠DCB=270°−∠DCB，∴∠DCE=∠DAB，∵CD=AD，∴△DCE≌△DAB(SAS)，∴ED=BD=6.5=132，S△DCE=S△DAB，作DF⊥BE于点F，则∠BFD=90°，BF=EF=12BE=52，∴DF=(132)2−(52)2=6，∵S四边形ABCD=S△DAB+S△DCB=S△DCE+S△DCB=S△DBE−S△BCE=12×5×6−12×4×3=9，∴四边形ABCD的面积是9．(2)证明：如图2，连接OC，则OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，∠AOC=2∠D，∴2∠D+2∠OAC=180°，∴∠D+∠OAC=90°，∵∠OAC=∠ABC，∴∠D+∠ABC=90°，∴四边形ABCD是“对角互余四边形”．(3)解：如图3，在CD下方作∠GCD=∠ACB，作DG⊥CG于点G，连接AG，则∠DGC=∠BAC=90°，∴△GDC∽△ABC，∴∠GDC=∠ABC，∴∠ADG=∠ADC+∠GDC=∠ADC+∠ABC=90°，∵AD=a，DC=b，AB=3AC，∴BC=(3AC)2+AC2=10AC，∵GDAB=DCBC，∴GDDC=ABBC=3AC10AC=31010，∴GD=31010b，∴AG2=AD2+GD2=a2+(31010b)2=a2+310b2，∵∠ACG=∠GCD+∠ACD，∠BCD=∠ACB+∠ACD，且∠GCD+∠ACD=∠ACB+∠ACD，∴∠ACG=∠BCD，∴△ACG∽△BCD，∴AGBD=ACBC=AC10AC=1010，∴BD=10AG，∴BD2=(10AG)2=10AG2=10(a2+310b2)=10a2+3b2，∴BD2的值为10a2+3b2． 【解析】(1)作CE⊥BC，使点CE=AB=4，且点E、A在直线BC异侧，连接BE、DE，则∠BCE=90°，先由CB=3，根据勾股定理求得BE=5，再证明△DCE≌△DAB，得ED=BD=6.5，S△DCE=S△DAB，作DF⊥BE于点F，则∠BFD=90°，BF=EF=12BE=52，根据勾股定理求得DF=6，即可由S四边形ABCD=S△DAB+S△DCB=S△DCE+S△DCB=S△DBE−S△BCE求得四边形ABCD的面积是9；(2)连接OC，则OC=OA，所以∠OAC=∠OCA，而∠AOC=2∠D，可推导出2∠D+2∠OAC=180°，则∠D+∠ABC=∠D+∠OAC=90°，即可证明四边形ABCD是“对角互余四边形”；(3)在CD下方作∠GCD=∠ACB，作DG⊥CG于点G，连接AG，则∠DGC=∠BAC=90°，先证明△GDC∽△ABC，∠GDC=∠ABC，所以∠ADG=∠ADC+∠GDC=∠ADC+∠ABC=90°，由AB=3AC，根据勾股定理得BC=(3AC)2+AC2=10AC，由GDAB=DCBC得GDDC=ABBC=3AC10AC=31010，则GD=31010b，所以AG2=a2+(31010b)2=a2+310b2，再证明△ACG∽△BCD，得AGBD=ACBC=AC10AC=1010，所以BD=10AG，则BD2=10AG2=10a2+3b2．此题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．