结构化学第一章习题详解

，对吗？1089求函数f=eimd对算符i的本征值。1090若电子在半径为r的圆周上运动，圆的周长必须等于电子波半波长的整数倍。若将苯分子视为一个半径为r的圆，请给出苯分子中n电子运动所表现的波长；试证明在兀轨道上运动的电子的动能：n2h2Ek=(n为量子数)k32兀2mr2当n=0时被认为是能量最低的兀轨道，设分子内兀电子的势能只与r有关(此时所有C原子上电子波的振辐及符号皆相同)，试说明6个兀电子分别填充在哪些轨道上试求苯分子的最低紫外吸收光谱的波长联苯分子的最低能量吸收和苯分子相比，如何变化？为什么？1091一个100W的钠蒸气灯发射波长为590?nm的黄光，计算每秒钟所发射的光子数目。1092一个在一维势箱中运动的电子，其最低跃迁频率是2.0X1014?s-i，求一维势箱的长度。1093一电子在长为600?pm的一维势箱中由能级n=5跃迁到n=4，所发射光子的波长是多少？1094求证:xe-1/2x2d是否是算符+X2)的本征函数？若是，本征值是多少?1095求波函数"=eikx所描述的粒子的动量平均值，运动区域为-sWxWs。求波函数"=coskx所描述的粒子的动量平均值，运动区间为-BWxWs。屮将原子轨道=e-r/ao归一化。已知j8Xne-axdx=—0an+11098用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200?kV，计算电子加速后运动时的波长。1099金属锌的临阈频率为8.065X1014?S-1,用波长为300?nm的紫外光照射锌板，计算该锌板发射出的光电子的最大速率。1100已经适应黑暗的人眼感觉510nm的光的绝对阈值在眼角膜表面处为11003.5X10-17J。它对应的光子数是：()(A)9X104(B)90(C)270(D)27X108关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选)()光电流大小与入射光子能量成正比光电流大小与入射光子频率成正比光电流大小与入射光强度成正比入射光子能量越大，则光电子的动能越大提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：()(A)deBroglie(B)A.?Einstein(C)W.?Heisenberg(D)E.?Schrodinger计算下列各种情况下的deBroglie波长。在电子显微镜中，被加速到1000?kV的电子；在300K时，从核反应堆发射的热中子(取平均能量为kT/2)以速率为1.0?m•s-1运动的氩原子(摩尔质量39.948?g•mol-1)以速率为10-10?m・s-1运动的质量为1g的蜗牛。(1eV=1.60X10-19j，k=1.38X10-23?J・K-1)计算能量为100?eV的光子、自由电子、质量为300g小球的波长。(1eV=1.60X10-19？J，me=9.109X10-31？kg)钠D线(波长为589.0?nm和589.6?nm)和60Co的丫射线(能量分别为1.17?MeV和1.34?MeV)的光子质量各为多少？已知Ni的功函数为5.0？eV。(1)计算Ni的临阈频率和波长；(2)波长为400?nm的紫外光能否使金属Ni产生光电效应？已知K的功函数是2.2？eV，计算K的临阈频率和波长；波长为400nm的紫外光能否使金属K产生光电效应？若能产生光电效应，计算发射电子的最大动能。微粒在间隔为leV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数~应为：()(A)4032？cm-1(B)8065？cm-1(C)16130？cm-1(D)2016？cm-1(1eV=1.602X10-i9j)欲使中子的德布罗意波长达到154?pm,则它们的动能和动量各应是多少？计算下列粒子的德布罗意波长，并说明这些粒子是否能被观察到波动性。弹丸的质量为10?g,直径为1?cm，运动速率为106?m・s-1电子质量为9.10X10-28?g，直径为2.80X10-13?cm,运动速率为106?m•s-1氢原子质量为1.6X10-24?g,直径约为7X10-9?cm,运动速率为103?m・s-1,若加速到106?m・s-1,结果如何?金属钠的逸出功为2.3eV,波长为589.0?nm的黄光能否从金属钠上打出电子？在金属钠上发生光电效应的临阈频率是多少?临阈波长是多少?试计算具有下列波长的光子能量和动量:(1)0.1m(微波)(2)500?nm(可见光)(3)20m(红外线)500?pm(X射线)(5)300?nm(紫外光)计算氦原子在其平均速率运动的德布罗意波长，温度分别为300K,1K和10-6K。1114普朗克常数是自然界的一个基本常数,它的数值是：()(A)6.02X10-23尔格(B)6.625X10-30尔格•秒(C)6.626X10-34焦耳•秒(D)1.38X10-16尔格•秒1116首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：()(A)薛定谔(B)狄拉克(C)海森堡(D)波恩1117根据测不准关系，说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱粒子的零点能效应。下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：()电子自旋(保里原理)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：()由经典的驻波方程推得由光的电磁波方程推得由经典的弦振动方程导出量子力学的一个基本假设自旋相同的两个电子在空间同一点出现的概率为。屮试求=(a2/兀)1/4exp(-a2x2/2)在0＜等于什么值时是线性谐振子的本征函数，其本征值是多少？对于一个在特定的一维箱中的电子，观察到的最低跃迁频率为4.0X1014?s-1，求箱子的长度。氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l=100?nm，计算量子数为n时的deBroglie波长以及n=1和n=2时氢分子在箱中49?nm到51?nm之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。1124求解一维势箱中粒子的薛定谔方程h2d2屮8兀2mdx2(x)=E1125质量为m的粒子在边长为l的立方势箱中运动，计算其第四个能级和第六个能级的能量和简并度。6211共轭体系中将兀电子运动简化为一维势箱模型，势箱长度约为1.30nm，估算兀电子跃迁时所吸收的波长，并与实验值510nm比较。1127维生素A的结构如下：C2OH它在332?nm处有一强吸收峰，也是长波方向第一个峰，试估算一维势箱的长度1。1128一维势箱中一粒子的波函数W”(x)=(2〃)1/2sin(nKx/1)是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。(A)(B)(C)无-(h/2兀)2d2(D)=2mdX21127维生素A的结构如下:2OH它在332?nm处有一强吸收峰，也是长波方向第一个峰，试估算一维势箱的长度1。1128一维势箱中一粒子的波函数W”(x)=(2〃)1/2sin(nKx/l)是下列哪些算符的本征函数，并求出相应的本征值。(A)pX(B)pX2(C)无-(h/2兀)2d2(D)=2mdX2试证明实函数①2(e)=(1/n:)1/2cos2e和①2'©=(2/n:)1/2sin2ecose都是①方程d2[+4]①雨=0的解。d®2证明函数x+iy，x-iy和z都是角动量算符M的本征函数，相应的本征值是多少？z波函数具有节面正是微粒运动的波动性的表现。若把一维势箱粒子的运动看作是在直线上的驻波,请由驻波条件导出一维箱中粒子的能级公式，并解释为什么波函数的节面愈多其对应的能级愈高。设氢分子振动振幅为1X10-9?cm，速率为103?m・s-1，转动范围约1X10-8?cm，其动量约为振动的1/10左右，试由测不准关系估计分子的振动和转动能量是否量子化。1133113411351136113711381139114011421144①丁二烯和②维生素A分别为无色和橘黄色，如何用自由电子模型定性解释。已知丁二烯碳碳键长为1.35X10-10?nm（平均值），维生素A中共轭体系的总长度为1.05?nm（实验值）。电子具有波动性，为什么电子显像管中电子却能正确地进行扫描？（假设显像管中电子的加速电压为1000?V）照射到1m2地球表面的太阳光子数很少超过每小时1mol，如果吸收光的波长尢=400?nm,试问太阳能发电机每小时每平方米从太阳获得最大能量是多少？如转化率为20%，试问对一个1000?MW的电站需要多大的采光面积？根据测不准关系，试说明具有动能为50?eV的电子通过周期为10-6?m的光栅能否产生衍射现象？CO2激光器给出一功率为1kW、波长为10.6pm的红外光束，它每秒发射的光子是多少？若输出的光子全被1dm3水所吸收，它将水温从20°C升高到沸点需多少时间？欲使电子射线与中子束产生的衍射环纹与Cu线（波长154?pm的单色X射线）产生的衍射环纹相同，电子与中子的动能应各为多少？氯化钠晶体中有一些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，可将这些电子看成是束缚于边长为0.1?nm的方箱中。试计算室温下被这些电子吸收的电磁波的最大波长，并指出它在什么样的电磁波范围。已知有2n个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的兀分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为Ek=k2h28mr2（2n+1）2k=1，2，…，2n其中，m是电子质量，r是相邻碳原子之间的距离，k是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带（即电子基态到第一激发态的激发跃迁）波长九与n成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为1，而此台阶位于〃2〜l之间，屮。和屮1是线性谐振子的基态和第一激发态正交归一化的能量本征函数，令A屮。』是某瞬时振子波函数，A，B是实数，证明波函数的平均值一般不为零。A和B取何值时，x的平均值最大和最小。（1）计算动能为1eV的电子穿透高度为2?eV、宽度为1nm的势垒的概率；⑵此种电子克服1eV势垒的经典概率为5X10-12，比较两种概率可得出什么结论?11461147114911501151115211531154115511561157已知算符A具有下列形式:d⑵dXd2⑴dX2试求A2算符的具体表达式。已知A是厄米算符，试证明A—也是厄米算符(式中，是a的平均值，为实数)。证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。证明厄米算符的本征值是实数。试证明本征函数的线性组合不一定是原算符的本征函数，并讨论在什么条下才能是原算符的本征函数。设"=刀4“十其中W”是算符Q属于本征值qn的本征函数，证明:=Eicn12q”八八设十i是Q的本征函数，相应的本征值为％,试证明耳是算符Qn属于本征值qn的本征函数。下列算符是否可以对易:dd(1)x和y⑵aX和石3(3)p=•和x(4)p和yXiaXX已知A和B是厄米算符，证明(A+B)和A2也是厄米算符。若F和G为两个线性算符，已知FG—GF=1，证明：FGn一GnF=nGnT对于立方箱中的粒子，考虑E<15h2/(8m⑵的能量范围。在此范围内有多少个态？在此范围内有多少个能级？PAGE\*MERGEFORMAT#1158为了研究原子或分子的电离能，常用激发态He原子发射的波长为58.4?nm的光子:He(lsi2pi)He(1s2)计算58.4?nm光的频率(单位:cm-1)；光子的能量以eV为单位是多少？以J为单位是多少？氩原子的电离能是15.759?eV,用58.4?nm波长的光子打在氩原子上，逸出电子的动能是多大？由测不准关系xAE=h/2K，求线宽为：(1)0.1cm-1,(2)1cm-1,(3)100?MHz的态的寿命。链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向460?nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算该分子的长度。说明下列各函数是HH，M2，Mz三个算符中哪个的本征函数？屮V和屮2pz2px2p1“波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。”是否正确，为什么?1163一子弹运动速率为300m・s-1，假设其位置的不确定度为4.4X10-311，速率不确定度为0.01%X300m・s-1，根据测不准关系式，求该子弹的质量。116412.n兀x一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为sin，a为势箱的长度，试问当粒子处于n=1或aan=2的状态时，在0〜a/4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，n取几时更大一些，请通过计算说明。11655cos33-3cos3是否是算符F=-2(d2d32cos3d翻而)的本征函数，若是本征值是多少?1166对在边长为L的三维立方箱中的11个电子，请画出其基态电子排布图，并指出多重态数目。1167对在二维方势箱中的9个电子，画出其基态电子排布图。原子轨道下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的?若不是归一化的，请给出归一化系数。PAGE\*MERGEFORMAT#a.=丄®+申）<212b.亠©—2申+申）.J41231169将在三维空间中运动的粒子的波函数屮二e-r2a0归一化。积分公式I"xne-axdx=n!an+1,a>0,n>-101170将在区间［-a,a］运动的粒子的波函数屮=K（K为常数）归一化。1171将描述在三维空间运动的粒子的波函数屮二e-rao归一化。积分公式I"xne-axdx=n!an+1，a>0,n>-101172运动在区间J®,g）的粒子，处于状态屮=e-ax2，求动量P的平均值。x1173一运动在区间（-8,的粒子，处于波函数屮—C0S所描述的状态，求动量P的平均值。x1174求由波函数屮=eUH所描述的、在区间（-8，运动的粒子动量P的平均值。X1175将描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数屮=sin3亦®归一化。将描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数屮=sin3sin屮归一化。11861177将被束缚在一球面上运动的粒子(刚性转子)的波函数屮=sin28sin2卩归一化。1178写出动量Px的算符。1179证明：宇称算符的本征函数非奇即偶。1180考虑以下体系：—个自由电子；在一维势箱中的8个电子。哪个体系具有单基态？哪个体系具有多重基态？多重性如何？1181边长为L=84pm的一维势箱中的6个电子，计算其基态总能量。1182用波长2.790X105pm和2.450X105pm的光照射金属表面，当光电流被降到0时，电位值分别为0.66V和1.26V,试计算Planck常数。1183若氢原子处于屮-9+~T^一+飞-®-所描述的状态，求其能量平均值。(已知：®420042112321及屮都是归一化的，平均值用R表示。)1184指出下列论述是哪个科学家的功绩：证明了光具有波粒二象性；提出了实物微粒具有波粒二象性；提出了微观粒子受测不准关系的限制；提出了实物微粒的运动规律-Schrodinger方程；提出实物微粒波是物质波、概率波。1185cos8是否是算符扬召(Sin8^3丿的本征函数'若是，本征值是多少？PAGE\*MERGEFORMAT#长链分子中的电子可视为一维箱中粒子，设分子长为lnm,求下列两能级间的能量差。n=3,n=2；12n=4,n=3。121187有一粒子在边长为a的一维势箱中运动。(1)计算当n=2时，粒子出现在OWxWa/4区域中的概率；(2)根据一维势箱的|0|2图，说明OWxWa/4区域中的概率。1188一个电子处于L=3l,L=l的二维势箱中运动，计算其轨道能量E(以h2/72ml2为单位)，并画出xynnxy最低的三个能级及所对应的量子数。1189在边长为a的一维势箱中运动的粒子，当n=3时，粒子出现在0WxWa/3区域中的几率是多少？(根据一维势箱中运动的粒子的概率密度图)1190氢原子处于波函数屮屮+辽屮-所描述的状态，角动量M2为多少？角动量在z方向分量22102311M有无确定值？若无，平均值是多少？若有，是多少？Z1191设LiH分子的最高占据轨道为屮=c口申+c申，若电子出现在二个原子轨道上的概率比为9：HHLiLi1，问cH，cT.各为何值？(已知屮为归一化的波函数，且『eVLd=0)HLiHLi1192一屮—1ab1一一质量为m的粒子在区间［a，b］上运动，求该粒子处于归一化波函数数,-所描述的运动b-ax状态时能量的平均值。1193质量为0.05kg的子弹，运动速率为300m・s-1假设其位置的不确定度为4.4X10-31m，试计算速率的不确定度为原来运动速率的百分数。证明描述在一球面上运动的粒子(刚性转子)的波函数‘1)1‘2_兀12丿是在三维空间中运动的自由粒PAGE\*MERGEFORMAT#子（势能V=o）的薛定谔方程的解，并求其能量和角动量。已知V2=丄—（r—）+1—（sin0—）+1旦r2drdrr2sin0d0d0r2sin206申21195一维箱中的粒子处于第一激发态，若将箱长分成等长的三段，求粒子出现在各段的概率。1196一维箱中的粒子，当处于n=1,2,3状态时，出现在区间0WxWa/3内的几率各是多少？1197一维箱中的粒子，当处于n=1,2,3状态时，出现在区间a/3WxW2a/3内的几率各是多少？1198一粒子在长为a的一维箱中运动，若将a分成等长的三段，求粒子处于基态时出现在各段的概率。1199验证描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数屮=-2（兀丿八cos0是角动量平方算符M2的本征函数，并求粒子处于该状态时角动量的大小。已知M2=-n2(西+蚁2+丄皀)。d02sin0d0sin20d申21200证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数屮=1伫丫22（兀丿cos0是三维空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。已知V2二—巴［丄—(r2—)+1-(sin0—)+1竺)］。2mr2drdrr2sin0d0d0r2sin20d屮21201cos0sin0e-询是在三维空证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数屮=1〔dr间中运动的自由粒子（势能v=o）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。已知知2"2mm［右d(r2dr)+気(sin0d)+rd*肴卩。证明波函数V是角动量平方的本征函数，并求粒子的角动量。已知角Q2动量平方算符M2=-n2(莎+cosBdsinBdB1d2)sin2Bd^21203一质量为m的粒子在区间［a,b］上运动，求其处于状态屮=1x(注意，未归一化)时坐标x的平均值。1204下列函数中(l)sinxcosx(2)cos2X(3)sin2X-cos2X哪些是d/dx的本征函数，本征值是多少，哪些是d2/dx2的本征函数，本征值是多少？1205函数sinxcosx，siex，ex2中哪些是dz/dx?的本征函数，本征值是多少？1206直链共轭多烯N—CH=CH—CH=N+CH”\珏中，n电子可视为在一维势箱中运动的粒子，实际测得n电子由最高填充能级向最低空能级跃迁时吸收光谱波长为30.16X104pm，试求该一维势箱的长度。1207下列哪些函数是算符d/dx的本征函数，本征值是多少？(l)eikx(2)k(3)kx⑷lnx1208证明3cos2b-1是算符一力2(d2cosBd+dB2sinBdB丿的本征函数,并求其本征值。1209电子在长度为a的一维势箱中运动，当电子从屮)跃迁到屮6+jC)的状态，其德布罗意波长的变化是多少？1210一质量为m的粒子，在长为a的一维箱中运动，若将箱长均匀分成三段，当该粒子处于第二激发态时,粒子出现在各段的概率之比为多少？1211若氢原子基态到第一激发态跃迁时，吸收光的波数为8.22X104cm-i，求跃迁时所需能量。1212一质量为m的粒子，在长为a的一维势箱中运动，根据其几率密度分布图，当粒子处于卩4时出：2.n兀x严=十—Sin），出现在a/8WxW3a/8内的概率是多少？naa1213：2.5兀xsmaa根据一维势箱中粒子的概率密度分布图，指出在OWxWa区间运动的粒子处于n=5,状态时，出现在0.13aWxW0.33a内的概率。1214设粒子位置的不确定度等于其德布罗意波长，则此粒子的速率的不确定度与粒子运动速率的关系如何。1215计算德布罗意波长为70.8pm的电子所具有的动能。1216证明在三维空间中运动的粒子，当处于本征态卩=sin3%3"时，角动量大小具有确定值，并求角动量。1217已知角动量平方算符M2=—162sin266"2证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数屮=1(35]8（兀丿sin36e3i"是在三维空间中运动的自由粒子（势能V=o）的薛定谔方程的解，并求其能量。已知V2=1616(6\r2+sin6—r26r6r丿r2sin666166丿162r2sin266"212221218一质量为m的粒子，在区间［a,b］运动，处于状态屮1x，试将屮归一化。1219计算波长为6.626A的光子和自由电子的能量比。1220已知一函数f(x)=2e2，问它是否是Pv的本征函数？相应的本征值是多少？x1221计算德布罗意波长为70.8pm的电子所具有的动量。写出联系实物微粒波动性和粒子性的关系式。