第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题(小学中、高组)

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试A（小学中年级组）（时间：2023年3月12日10:00--11:30）填空题（每小题10分，共80分）计算：（98×76－679×8）÷（24×6+25×25×3-3）＝_________________。从1,2,3,4,5这5个数中选出4个不同的数值填入下面4个方格中□＋□＞□＋□有_______种不同的填法使式子成立。（提示：1+5＞2+3和5+1＞2+3是不同的填法）将下图左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见下图中间，再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见下图右边，这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了_______刀。一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于____________。右图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形。经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有______________种不同的涂色方法。有若干个连续的自然数，任取其中4个不同的数相加，可得到385个不同的和，则这些自然数有__________个。在4×4方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数，每行、每列及每条对角线上的4个数之积都相等。右图给出了几个所填的数，那么五角星所在的小方格中所填的数是________。甲、乙两人在一条长120米的直路上来回跑，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒。若他们同时从同一端出发跑了15分钟，则他们在这段时间内共迎面相遇______次（端点除外）。二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）右图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为8厘米的等腰直角三角形AEF，E在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数。则这10个自然数的和最小是多少？在1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的乘积等于238？最初，盒子中有三张卡片，分别写着数1、2、3，每次，从盒子里取出两张卡片，将上面的数之和写到另一张空白卡片上，再把三张卡片放回盒子。如此5次后，除了最后一张写数的卡片外，其他的卡片都至少取出过一次，不超过两次。问：此时盒子里面卡片上的数最大为多少？第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷B（小学中年级组）（时间：2023年3月12日10：00—11:30）填空题（每小题10分，共80分）计算：2023×2023－2023×2023＝________________。计算：1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20＝_____________。用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形，见右图。如果小长方形的周长是16cm，则原来长方形的面积是___________cm²。某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么这个月的第1日是星期______。从1、3、5、7、9这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中，使式子成立：□＋□＞□×□。两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后，式子相同，则认为是相同填法，则共有__________种不同的填法。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向匀速行进，在距A地60千米处相遇。相遇后，两车继续行进，分别到达B、A后，立即原路返回，在距B地50千米处再次相遇。则A、B两地的路程是___________千米。黑板上先写下一串数：1,2,3，……，50。每次都擦去最前面的4个，并在这串数的最后再写上擦去的4个数的和，得到新的一串数。再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不是4个。问（1）最后黑板上剩下的这些数的和是___________，（2）最后1个所写的数是____________。一个整数有2023位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是___________。二、简答题（每小题15分，共60分。要求写出简要过程）某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每2支送1只小熊玩具，不足2支不送。卖出1支钢笔的利润是7元，1只小熊玩具的进价是2元，这次促销活动共赚了2023元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？右图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕为DE，已知：∠B=74°，∠A=70°，∠CEB=20°，那么∠ADC等于多少度？将自然数1、2、3、4、…………，这串数码中，当偶数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第多少位？从1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的和是5的倍数？第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷A（小学高年级组）（时间：2023年3月12日10：00—11:30）填空题（每小题10分，共80分）计算：7eq\f(1,3)－〔2.4＋1eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(2,3)×4〕÷1eq\f(7,10)＝_____________。中国北京在2023年7月31日获得了2023年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权。预计该届冬奥会的开幕时间为2023年2月4日，星期________。（今天是2023年3月12日，星期六）右图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°。则AD＝_____________厘米。在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点。如右图三角形ABC的三个顶点都是格点。若一个格点P使三角形PAB与三角形PAC的面积相等，就称P点为“好点”。那么在这张格子纸上共有___________个“好点”。对于任意一个三位数n，用n示删掉n中为0的数位得到的数，例如n＝102时n＝12。那么，满足n＜n，且n是n的约数的三位数n有___________个。共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1。那么他们最多可以玩__________次。如果2×38能表示成K个连续正整数的和。则K的最大值为___________。两把小尺与一把大尺组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动。大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10。现测量A、B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间；将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3恰好与大尺上某一单位相合，如果将第二把大尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第___________个单位恰好与大尺某一单位相合。二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额，投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一。最后，乙的得票数为甲的得票数的eq\f(20,21)，甲胜出。但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲。请计算甲乙所得的票数。如右图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E、G是AC上的点，连结CD、DE、EF、FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF＋AG为多少厘米？某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池注满。现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水，那么同时打开甲乙的时间是多少小时？将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，……，如此下去，在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）如右图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字形纸片和一张5×6的方格纸。现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）设N是正整数，若从任意N个非负整数中一定能找到四个不同的数a、b、c、d使得a＋b－c－d能被20整除，则N的最小值是多少？第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷B（小学高年级组）（时间：2023年3月12日10：00—11:30）填空题（每小题10分，共80分）计算〔eq\f(1,\f(7,9))－eq\f(\f(3,5),7)〕×eq\f(11,6\f(3,5))÷eq\f(4,13)－2.4＝_______________。如右图，30个棱长为1的正方形粘成一个四层的立体，这个立体的表面积等于_____________。有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草；15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完。那么草场上每天长出来的草够__________头牛吃一天。如右图所示，将一个三角形纸片ABC折叠，使得点C落在三角形ABC所在平面上，折痕为DE。已知∠ABE＝74°，∠DAB＝70°，∠CEB＝20°，那么∠CDA等于__________。甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。已知甲骑行一圈的时间是70分钟，出发后第45分钟，甲乙二人相遇，那么乙骑行一圈的时间是________分钟。如右图，正方形ABCD的边长为5，E、F为正方形外两点，满足AE＝CF＝4，BE＝DF＝3，那么EF2＝___________。如果2×38能表示成K个连续正整数的和。则K的最大值为___________。现有算式：甲数□乙数○1，其中□、○是符号＋、－、×、÷中的某两个，李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见右表，那么，A○B＝___________。二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）计算：〔eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2023)〕＋〔eq\f(2,3)＋eq\f(2,4)＋…＋eq\f(2,2023)〕＋〔eq\f(3,4)＋eq\f(3,5)＋…＋eq\f(3,2023)〕＋…＋〔eq\f(2023,2023)＋eq\f(2023,2023)〕＋eq\f(2023,2023)＝？商店春节促销，顾客每次购物支付现金时，每100元可以得到一张价值50元的代金券，这些代金券不能兑成现金，但可以用来购买商品，规则是：当次购物得到的代金券不能当次使用；每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半。李阿姨只有不超过1550元的现金，她能买到价值2300元的商品吗？如果能，给她一个购物；如果不能，说明理由。如右图，等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF之间的面积为20，BD＝2，EC＝4。求三角形ABC的面积。试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数。三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）如右图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E、F是BC边上的两点，且BE＝EF＝FC，连接AE、DF分别交BM分别于H、G，求四边形EFGH的面积。现有下图左边所示的“四连方”纸片五种，每种的数量足够多，要在如下图右边所示的5×5方格网上，放“四连方”，“四连方”可以翻转，“四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合，任意两个“四连方”不能有重叠部分，那么最少放几个“四连方”就不能再放了？第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷C（小学高年级组）（时间：2023年3月12日10：00—11:30）填空题（每小题10分，共80分）计算某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期__________。大于eq\f(1,2023)且小于eq\f(1,2023)的真分数有__________个。哥哥和弟弟各买了若干个苹果，哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果，咱俩的苹果个数一样多”，弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果，你的苹果数将是我的2倍”。则哥哥与弟弟共买了______个苹果。图1中，AB＝AD，∠DBC＝21°，∠ACB＝39°，则∠ABC＝__________度。已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3:4，如两台抽水机同时抽取某水池，15小时抽干水池。现在，乙抽水机抽水9小时后关闭，再将甲抽水机打开，要抽干水池还需要__________小时。n为正整数，形式为2n－1的质数成为梅森数，例如：22－1＝2,23－1=7是梅森数。最近，美国学者刷新了最大梅森数，n＝74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数字是___________。图2中，ABCD是直角梯形，上底AD＝2，下底BC＝6，E是DC上一点，三角形ABE的面积是15.6，三角形AED的面积是4.8，则梯形ABCD的面积是__________。二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步。已知甲的速度是每分钟180m，乙的速度是每分钟240m，在30分钟内，他们相遇了24次，问跑道的长度最多是多少米？一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是27:25，甲多乙少，若从甲中至少取出4个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？图3是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色，涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色。则共有多少种不同的涂法？图3三台车床A、B、C各以一定的工作效率加工同一种件，A车床比C车床早开机10分钟，C车床加工的标准件的数量相同。C车床开机30分钟后，A、C两车床加工的标准件个数相同。B车床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件的个数相同？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）黑板上先写下一串数：1、2、3、……、100，如果每次都擦去最前面的6个，并在这串数的最后再写上擦去的6个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作，直到黑板上剩下的数不足6个。问：（1）最后黑板上剩下的这些数的和是多少？（2）最后所写的那个数是多少？数学竞赛，填空题8道，答对1题，得4分，未答对，得0分；问答题6道，答对1道，得7分，未答对，得0分。参赛人数400人，至少有多少人的总分相同？