新考研高等数学模拟题库(含解析)

2019最新考研数学模拟（含答案）学校：__________姓名：__________：__________考号：__________题号一总分得分一、解答题1．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：11(1)sindx;2x2xπ111b1解：原式=limbsindlimcoslimcos1.2bxxbx2bbππdx(2);x22x2d(x1)d(x1)0解：原式=0arctan(x1)arctan(x1)(x1)210(x1)210πππππ.4224(3)xnexdx(n为正整数)0解：原式=xndexxnexnxn1exdx0000nxn1exdxn!exdxn!00dx(4)a(a0);0a2x2aadxxπ解：原式=limlimarcsinlimarcsin1.00220a0a2ax0dx(5)e;1x1(lnx)2d(lnx)π解：原式=limelimarcsin(lnx)elimarcsinln(e).011(lnx)20102dx(6)1.0x(1x)1dx1dx解：原式=210x(1x)x(1x)21dx1dx2lim22lim210202111(x)221(x)11πππ2limarcsinx22limarcsinx222π.0014122412www2．设wfx,y,z,ugx,z,vhx,y，求,,.xyzwwwvwwuwvwwu解：，,xxvxyuyvxzuz3．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]内，转过角度，从而转角是t的函数：(t).如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速t的，应怎样确定该物体在时刻t的角速度？0解：设此角速度值为,则(tt)(t)lim00(t).0t0t4．求下列函数在给定点处的导数：1dy⑴yxsinxcosx,求；2dxπx411解：ysinxxcosxsinxsinxxcosx221πππ2πysincos(1)πx24444243x2⑵f(x),求f(0)和f(2)；5x532解：f(x)x(5x)25317f(0)f(2)25155x4,x1,⑶f(x)求f(1).4x23x,x1,f(x)f(1)4x23x1解：f(1)limlim5x1x1x1x1f(x)f(1)5x41f(1)limlim5x1x1x1x1故f(1)5.5．求下列函数的高阶导数：⑴yexsinx,求y(4)；⑵yx2e2x,求y(6)；⑶yx2sinx,求y(80).解：⑴yexsinxexcosxex(sinxcosx)yex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2cosxexy2ex(cosxsinx)y(4)2ex(cosxsinx)2ex(sinxcosx)=4exsinx6⑵y(6)Ci(e2x)(6i)(x2)i6i0x2(e2x)(6)6(x2)(e2x)(5)15(x2)(e2x)(4)26x2e2x62x25e2x15224e2x32e2x(2x212x15)80⑶y(80)Ci(x2)(i)(sinx)(80i)80i0x2(sinx)(80)802x(sinx)(79)31602(sinx)(78)πππx2sin(x80)+160xsin(x79)6320sin(x78)222x2sinx160xcosx6320sinx.6．设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且limf(x)A,试证：f(a)A.xaf(x)f(a)f(x)：f(a)limlimlimf(x)A.xaxaxa1xa7．在括号内填入适当的函数，使等式成立：⑴d()costdt；⑵d()sinxdx;1⑶d()dx；⑷d()e2xdx;1x1⑸d()dx;⑹d()sec23xdx；x1x⑺d()lnxdx;⑻d()dx.x1x2解：⑴(sint)costd(sintC)costdt.11⑵(cosx)(sinx)sinx1d(cosxC)sinxdx.1⑶[ln(1x)]1x1d[ln(1x)C]dx.1x11⑷(e2x)(2)e2x=e2x221d(e2xC)e2xdx.211⑸(2x)2=2xx1d(2xC)dx.x11⑹(tan3x)sec23x3sec23x331d(tan3xC)sec23xdx.31111⑺(ln2x)2lnxlnx22xx11d(ln2xC)lnxdx.2x1x⑻(1x2)(2x)21x21x2xd(1x2C)dx.1x28．根据下面所给的值，求函数yx21的y,dy及ydy：⑴当x1,x0.1时；解：y(xx)21(x21)2xxx2210.10.120.21dy2xx210.10.2.ydy0.210.20.01.⑵当x1,x0.01时.解：y2xxx2210.010.0120.0201dy2xx210.010.02ydy0.02010.020.0001.9．求下列函数的微分：lnx⑴yxex；⑵y；x⑶ycosx；⑷y5lntanx；⑸y8xx6e2x；⑹yarcsinx(arctanx)2.解：⑴dy(xex)dxex(1x)dx；1xlnxlnxx1lnx⑵dy()dx()dxdx；xx2x211⑶dy(cosx)dx(sinx)dxsinxdx；2x2x1⑷dy(5lntanx)dx(ln55lntanxsec2x)dxtanx12ln55lntanxdx；sin2x⑸dy(8xx6e2x)dx[8xx(1lnx)12e2x]dx；111⑹dy[arcsinx(arctanx)2]dx[2arctanx]dx.；2arcsinx1x21x210．椭圆16x29y2400上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？解：方程16x29y2400两边同时对t求导，得dxdy32x18y0dtdtdxdy16由.得18y32x,yxdtdt916代入椭圆方程得：x29，x3,y.31616即所求点为3,,3,.3311．计算抛物线y=4x－x2在它的顶点处的曲率.解：y=－(x－2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x=2时，y0,y2，y故k2.(1y2)3/21ds12．设sgt2，求.2dtt2dsds解：gt，故2g.dtdtt213．逻辑斯谛(Logistic)曲线族Ay,x,A,B,C01Becx建立了动物的生长模型.A(1)画出B=1时的曲线g(x)的图像，参数A的意义是什么(设x表示时间，y表示1ecx某种动物数量)？Acecx解：g(x)0，g(x)在(－∞，+∞)内单调增加，(1ecx)2Ac2ecxAc2ecx2(1ecx)ecxAc2ecx(1e2cx)g(x)(1ecx)4(1ecx)4当x>0时，g(x)0,g(x)在(0，+∞)内是凸的.当x<0时，g(x)0,g(x)在(－∞，0)内是凹的.A当x=0时，g(x).2且limg(x)0,limg(x)A.故曲线有两条渐近线y=0，y=A.且A为该种动物数量(在特xx定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2)计算g(－x)+g(x)，并说明该和的意义；AA解：g(x)g(x)A.1ecx1ecxA(3)证明：曲线y是对g(x)的图像所作的平移.1BecxAA证明：∵y1Bec(xT)1BecxecTlnB取BecT1，得TcAlnB即曲线y是对g(x)的图像沿水平方向作了T个单位的平移.1Becxc习题四14．研究下列函数的连续性，并画出图形：x2,0x1,x,x1,(1)f(x)(2)f(x)2x,1x2;1,x1;nxnx1x2n(3)f(x)lim;(4)f(x)limx.nnxnxn1x2n解：(1)由初等函数的连续性知，f(x)在（0，1），（1，2）内连续，又limf(x)lim(2x)1,limf(x)limx21x1x1x1x1limf(x)1,而f(1)1，f(x)在x1处连续，x1又，由limf(x)limx20f(0)，知f(x)在x0处右连续，x0x0综上所述，函数f(x)在[0，2)内连续.函数图形如下：图1-2(2)由初等函数的连续性知f(x)在(,1),(1,1),(1,)内连续，又由limf(x)lim11,limf(x)limx1,x1x1x1x1知limf(x)不存在，于是f(x)在x1处不连续.x1又由limf(x)limx1,limf(x)lim11,x1x1x1x1及f(1)1知limf(x)f(1)，从而f(x)在x=1处连续，x1综上所述，函数f(x)在(,1)及(1,)内连续，在x1处间断.函数图形如下：图1-3nxnxn2x1(3)∵当x<0时，f(x)limlim1,nnxnxnn2x1n0n0当x=0时，f(x)lim0,nn0n011nxnxn2x1n2x当x>0时，f(x)limlimlim1xx2x1nnnnn1n1n2x1,x0,nxnxf(x)lim0,x0,nnxnx1,x0.由初等函数的连续性知f(x)在(,0),(0,)内连续，又由limf(x)lim11,limf(x)lim(1)1x0x0x0x0知limf(x)不存在，从而f(x)在x0处间断.综上所述，函数f(x)在(,0),(0,)内x0连续，在x0处间断.图形如下：图1-41x2n(4)当|x|=1时，f(x)limx0,n1x2n1x2n当|x|<1时，f(x)limxx,n1x2n1n11x2nx2当|x|>1时，f(x)limxlimxxn1x2nn1n1x2x,x1,即f(x)0,x1,x,x1.由初等函数的连续性知f(x)在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由limf(x)lim(x)1,limf(x)limx1x1x1x1x1知limf(x)不存在，从而f(x)在x1处不连续.x1又由limf(x)lim(x)1,limf(x)limx1x1x1x1x1知limf(x)不存在，从而f(x)在x1处不连续.x1综上所述，f(x)在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在x1处间断.图形如下：图1-515．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.|f(x)|证明：如果lim0，那么对于(使0),存在x，当xx时00xg(x)|f(x)|0g(x)即()g(x)|f(x)|()g(x)成立，显然g(x)dx与|f(x)|dx同进收敛或发散.aa如果0，则有|f(x)|g(x),显然g(x)dx收敛,则|f(x)|dx亦收敛.aa如果，则有|f(x)|()g(x)，显然g(x)dx发散，则|f(x)|dx亦发aa散.习题五16．求下列旋转体的体积：（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；y=x2解：求两曲线交点得(0，0)，(1，1)y2=x31V=(x3x4)dx0111=x4x5450=．（14）20（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；2128解：见图14，V=x6dx=x7082V=22ydyy3064=．5（2）星形线x2/3+y2/3=a2/3绕x轴旋转；解：见图15，该曲线的参数方程是：x=acos3t0t2，y=asin3t由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为V=2ay2dxx00=2(asin3t)2d(acos3t)2=6a3sin7tcos2tdt2032=a3105(15)17．求下列曲线段的弧长：a)y2=2x，0≤x≤2；1解：见图18，2yy．y′=2′=y1∴1+y′2=1+．从而y2(18)221l=21+y′2dx=21+dxy200221y2=21+y2d=21+y2dyy20022(2)=y1+y+lny+1+y=25+ln(2+5)0b)y=lnx，3≤x≤8；881解：l=1+y′2dx=1+dxx23381+x21+1+x2813=dx=1+x2ln=1+ln．xx2233xc)y=costdt,≤t≤；−22−2解：222l=1+y′dx=1+cosxdx−−22xxx=22cosdx=42cosd22220−2x=42sin2=4.2018．求半径为R，高为h的球冠的表面积．R解：D=2x1+x′2dyRh2()2()2=2RcosθRcosθ′+Rsinθ′dθRharcsinR=22R2cosθdθRharcsinR2[]2=2RsinθRharcsinR=2Rh．19．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．解：投资20年中总收入的现值为20200y800e5%tdt(1e5%20)05%400(1e1)2528.4(万元)纯收入现值为R=y－800=2528.4－800=1728.4(万元)收回投资，即为总收入的现值等于投资,故有200(1e5%T)8005%12005Tln=20ln=4.46(年).5%2008005%420．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？1111(1)1；(2)1n1；234lnn1n111111111(3)；535325335342n21(4)1n1；(5)1n1R；n!nn1n11111n(6)1．23nnn11111解：(1)U1n1，级数U是交错级数，且满足，lim0，nnnnn1nnn11由莱布尼茨判别法级数收敛，又U是P<1的P级数，所以U发散，故n1nn1n1n2n1原级数条件收敛．1111(2)U1n1，1n1为交错级数，且，nlnn1lnn1lnn1lnn2n1111lim0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于Unnlnn1lnn1n1所以，U发散，所以原级数条件收敛．nn111111(3)U1n1民，显然U，而是收敛的等比级n53nn53n53n3nn1n1n1n1数，故U收敛，所以原级数绝对收敛．nn1U22n1(4)因为limn1lim．nUnn1n故可得UU，得limU0，n1nnn∴limU0，原级数发散．nn1(5)当α>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛．nn11111当0<α≤1时，交错级数1n1满足条件：；lim0，由莱布尼nnn1nnn111茨判别法知级数收敛，但这时1n1发散，所以原级数条件收敛．nnn1n1当α≤0时，limU0，所以原级数发散．nn11111(6)由于123nnn1而发散，由此较审敛法知级数nn11111n1发散．23nnn11111记U1，则n23nn111111UU1nn123nnn1n1211111123nnn1n1211111123nnn1nn1n120即UUnn11111又limUlim1nnnn23n11ndxn0x11t1t由limdxlim0tt0xt11111n知limU0，由莱布尼茨判别法，原级数1收敛，而且是nn23nnn1条件收敛．121．（1）解：相当于P级数中Px2nxn111当P1时收敛，P1时，发散.2np2npn1n111从而当x1时，收敛，x1时，发散.2nx2nxn1n11从而的收敛域为(1,)2nxn11从而(1)n1的收敛域为(0,1)(1,).2nxn111（2）解：当x1时，收敛，则(1)n1收敛.2nx2nxn1n11当x0时，(1)n1发散，(U0)2nxnn11当0x1时，(1)n1收敛.（莱布尼兹型级数）2nxn11πx022．写出函数fx的傅里叶级数的和函数．x20xπ解：f(x)满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f(x)，在间f0f01fπfππ21断点x=0，x=±π处，分别收敛于，，2222fπfππ21，综上所述和函数．221πx0x20xπ1Sxx02π21xπ223．应用格林公式计算下列积分：(1)2xy4dx3x5y6dy，其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)x2ycosx2xysinxy2exdxx2sinx2yexdy，其中L为正向星形线L222x3y3a3a0；π(3)2xy3y2cosxdx12ysinx3x2y2dy，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(,1)L2的一段弧；(4)x2ydxxsin2ydy，L是圆周y2xx2上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；L(5)exsinymydxexcosymdy，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆Lx2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．图11-4解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，QPQ=3x+5y-6，3，1，由格林公式得xy2xy4dx3x5y6dyLQPdxdyDxy4dxdyD4dxdyD1432212(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，P则x2cosx2xsinx2yex，yQx2cosx2xsinx2yex．xPQ从而，由格林公式得．yxx2ycosx2xysinxy2exdxx2sinx2yexdyLQPdxdyDxy0(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2PQ6xy22ycosx，6xy22ycosxyx由格林公式有：QPPdxQdydxdy0LOAABDxy故PdxQdyPdxQdyLOAABPdxQdyPdxQdyOAABπ1ππ22Odx12ysin3y2dy00241312yπ2y2dy04π24(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有QPPdxQdydxdyLABBODxy而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．PQQP1，1，即，0yxxy于是PdxQdyPdxQdy0LABBOLABBO从而PdxQdyx2ydxxsin2ydyLLx2ydxxsin2ydyx2ydxxsin2ydyBAOB111sin2ydyx2dx0031111ysin2yx32430071sin264(5)L，OA如图11-7所示．图11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，PQexcosym，excosyyx由格林公式得：QPPdxQdydxdyLOADxymdxdyDmdxdyD1a2mπ22mπa28mπa2于是：PdxQdyPdxQdyL8OA2mπaaexsin0m0excos0m0dx80mπa2a0dx80mπa2824．求下列欧拉方程的通解：(1)x2yxyy0解：作变换xet，即t=lnx,原方程变为D(D1)yDyy0d2y即y0dt2特征方程为r210r1,r1121故ycetcetccx.121x2(2)x2yxy4yx3.解：设xet，则原方程化为D(D1)yDy4ye3td2y4ye3t①dt2特征方程为r240r2,r212故①所对应齐次方程的通解为yce2tce2t12又设y*Ae3t为①的特解，代入①化简得9A4A111A,y*e3t5511故yce2tce2te3tcx2cx2x3.12512525．甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短？解：所需电线为L(x)x211.52(3x)2(0x3)x2.25(3x)2(3x)x21L(x)x212.25(3x)213题图在0