流体力学课后答案

./第一章流体及其物理性质1－1已知油的重度为7800N/m3，求它的密度和比重。又，0.2m3此种油的质量和重量各为多少？已知：γ＝7800N/m3；V＝0.2m3。解析：(1)油的密度为；油的比重为(2)0.2m3的油的质量和重量分别为1－2已知300L(升)水银的质量为4080kg，求其密度、重度和比容。已知：V＝300L，m＝4080kg。解析：水银的密度为水银的重度为水银的比容为1－3某封闭容器内空气的压力从101325Pa提高到607950Pa，温度由20℃升高到78℃，空气的气体常数为287.06J/kg·K。问每kg空气的体积将比原有体积减少多少？减少的百分比又为多少？已知：p1＝101325Pa，p2＝607950Pa，t1＝20℃，t2＝78℃，R＝287.06J/kg·K。解析：由理想气体状态方程(1－12)式，得每kg空气的体积比原有体积减少了0.664m3；减少的百分比为80％。1－4图示为一水暖系统，为了防止水温升高时体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一膨胀水箱，使水有膨胀的余地。若系统内水的总体积为8m3，加温前后温差为50℃，在其温度范围内水的膨胀系数为βT＝9×10－41/℃，求膨胀水箱的最小容积。已知：V＝8m3，Δt＝50℃，βT＝9×10－41/℃。解析：(1)由(1－11)式，得膨胀水箱的最小容积为1－5图示为压力校正器。器内充满压缩系数为βp＝4.75×10－101/Pa的油液，器内压力为105Pa时油液的体积为200mL。现用手轮丝杆和活塞加压，活塞直径为1cm，丝杆螺距为2mm，当压力升高至20MPa时，问需将手轮摇多少转？已知：p0＝105Pa，p＝20MPa，βp＝4.75×10－101/Pa，V0＝200mL，d＝1cm，δ＝2mm。解析：(1)由(1－9)式，得约需要将手轮摇12转。1－6海水在海面附近的密度为1025kg/m3，在海面下8km处的压力为81.7MPa，设海水的平均弹性模量为2340MPa，试求该深度处海水的密度。已知：ρ0＝1025kg/m3，p0＝0.1MPa，p＝81.7MPa，E＝2340MPa。解析：由(1－10)式，得海面下8km处海水的密度为1－7盛满石油的油槽内部绝对压力为5×105Pa，若从槽中排出石油40kg，槽内压力就降低至l05Pa。已知石油的比重为0.9，体积弹性系数为1.35×109N/m2，求油槽的体积。已知：(1)p1＝5×105Pa，p2＝l05Pa，Δm＝40kg，S＝0.9，E＝1.35×109N/m2。解析：从油槽中排出石油的体积为由(1－10)式，得油槽的体积为1－8体积为5m3的水在温度不变的条件下，压力从1大气压增加到5大气压，体积减小了1L，求水的体积压缩系数和弹性系数值。已知：V＝5.0m3，p1＝1.0×105Pa，p2＝5.0×105Pa，ΔV＝1L。解析：由(1－9)和(1－10)式，得水的体积压缩系数及弹性系数值分别为1－9某液体的动力粘度为0.0045Pa·s，其比重为0.85，试求其运动粘度。已知：μ＝0.0045Pa·s，S＝0.85。解析：运动粘度为1－10某气体的重度为11.75N/m3，运动粘度为0.157cm2/s，试求其动力粘度。已知：γ＝11.75N/m3，ν＝0.157cm2/s。解析：动力粘度为1－11温度为20℃的空气在直径为2.5cm的管道中流动。在距管壁1mm处空气流速为3cm/s，试求：(1)管壁处的切应力；(2)单位管长的粘性阻力。已知：d＝2.5cm，u＝3cm/s，δ＝1mm，μ＝18.08×10－6Pa·s。解析：根据牛顿内摩擦定律，得管壁处的切应力为单位管长的粘性阻力为1－12有一块30×40cm2的矩形平板，浮在油面上，其水平运动的速度为10cm/s，油层厚度δ＝10mm，油的动力粘度μ＝0.102Pa·s，求平板所受的阻力。已知：A＝30×40cm2，u＝10cm/s，δ＝10mm，μ＝0.102Pa·s。解析：根据牛顿内摩擦定律，得平板所受的阻力为1－13上下两块平行圆盘，直径均为d，间隙厚度为δ，间隙中液体的动力粘度为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩M的表达式。已知：d，δ，μ，ω。解析：(1)根据牛顿内摩擦定律，可得半径为r处，微元面积为2πrdr间隙力矩为积分上式，得所需力矩M的表达式为1－14图示为一转筒粘度计，它由半径分别为r1及r2的内外同心圆筒组成，外筒以角速度nr/min转动，通过两筒间的液体将力矩传至内筒。内筒挂在一金属丝下，该丝所受扭矩M可由其转角来测定。若两筒间的间隙及底部间隙均为δ，筒高为h，试证明动力粘度μ的计算公式为：已知：n，M，r1，r2，δ，h。解析：依据题意，由牛顿内摩擦定律，可得圆筒侧部间隙力矩为圆筒底部半径为r处，微元面积为2πrdr间隙力矩为积分上式，得圆筒底部间隙力矩为则金属丝所受扭矩为由于，所以动力粘度为1－15一圆锥体绕其中心轴作等角速度ω＝161/s旋转，锥体与固定壁面间的距离δ＝1mm，用μ＝0.1Pa·s的润滑油充满间隙，锥体半径R＝0.3m，高H＝0.5m，求作用于圆锥体的阻力矩。已知：R＝0.3m，H＝0.5m，ω＝161/s，δ＝1mm，μ＝0.1Pa·s。解析：(1)设圆锥的半锥角为α，则高度为h处的半径在微元高度dh范围内的圆锥表面积为设在间隙δ内的流速为线性变化，即速度梯度为则在微元高度dh范围内的力矩为积分上式，得作用于圆锥体的阻力矩为1－16空气中水滴直径为0.3mm时，其内部压力比外部大多少？已知：d＝0.3mm，σ＝0.0728N/m。解析：水滴内部与外部的压力差为1－17在实验室中如果用内径0.6cm和1.2cm的玻璃管作测压管，管中水位由于毛细管现象而引起的上升高度各为多少？已知：d1＝0.6cm；d2＝1.2cm，σ＝0.0728N/m，θ＝0°。解析：由(1－30)式，得管中水位由于毛细管现象而引起的上升高度分别为1－18两块竖直的平行玻璃平板相距1mm，求其间水的毛细升高值。已知：δ＝1mm，σ＝0.0728N/m，θ＝0°。解析：设两块玻璃板的宽度均为，由水柱的重量与表面张力的垂直分量相平衡，可得则第二章流体静力学2－1质量为1000kg的油液(S＝0.9)在有势质量力(N)的作用下处于平衡状态，试求油液内的压力分布规律。已知：m=1000kg，S=0.9，。解析：油液所受单位质量力的分量分别为代入(2－8)式，得积分上式，得2－2容器中空气的绝对压力为pB＝93.2kPa，当地大气压力为pa=98.1kPa。试求玻璃管中水银柱上升的高度hv。已知：pB=93.2kPa，pa=98.1kPa。解析：依据题意列静力学方程，得所以2－3封闭容器中水面的绝对压力为p1＝105kPa，当地大气压力为pa=98.1kPa，A点在水面下6m，试求：(1)A点的相对压力；(2)测压管中水面与容器中水面的高差。已知：p1=105kPa，pa=98.1kPa，h1=6m。解析：(1)依据题意列静力学方程，得A点的相对压力为(2)测压管中水面与容器中水面的高差为2－4已知水银压差计中的读数Δh＝20.3cm，油柱高h＝1.22m，油的重度γ油＝9.0kN/m3，试求：(1)真空计中的读数pv；(2)管中空气的相对压力p0。已知：Δh=20.3cm，h=1.22m，γ油=9.0kN/m3。解析：(1)U型管右侧水银面所在的水平面为等压面，依据题意列静力学方程，得(2)由于所以2－5设已知测点A到水银测压计左边水银面的高差为h1＝40cm，左右水银面高差为h2＝25cm，试求A点的相对压力。已知：h1=40cm，h2=25cm。解析：图中虚线所在的水平面为等压面，依据题意列静力学方程，得2－6封闭容器的形状如图所示，若测压计中的汞柱读数Δh＝100mm，求水面下深度H＝2.5m处的压力表读数。已知：Δh=100mm，H=2.5m。解析：设容器水面上的相对压力为p0，则那么，水面下深度H＝2.5m处的压力表读数为2－7封闭水箱的测压管及箱中水面高程分别为▽1＝100cm和▽4＝80cm，水银压差计右端高程为▽2＝20cm，问左端水银面高程▽3为多少？已知：▽1=100cm，▽4=80cm，▽2=20cm。解析：U型管左侧水银面所在的水平面为等压面，依据题意，可得3点处的静压力为所以2－8两高度差z＝20cm的水管，与一倒U形管压差计相连，压差计内的水面高差h＝10cm，试求下列两种情况A、B两点的压力差：(1)γ1为空气；(2)γ1为重度9kN/m3的油。已知：z=20cm，h=10cm。解析：设倒U型管上部两流体分界点D处所在的水平面上的压力为，BC间的垂直距离为，则有；以上两式相减，得(1)当γ1为空气时，气柱的重量可以忽略不计，则A、B两点的压力差为(2)当γ1为重度9kN/m3的油时，A、B两点的压力差为2－9有一半封闭容器，左边三格为水，右边一格为油(比重为0.9)。试求A、B、C、D四点的相对压力。已知：油的比重为0.9，其它尺寸见附图。解析：根据附图中的数据，得2－10一小封闭容器放在大封闭容器中，后者充满压缩空气。测压表A、B的读数分别为8.28kPa和13.80kPa，已知当地大气压为100kPa，试求小容器内的绝对压力。已知：pm1=13.80kN/m2，pb2=8.28kN/m2，pa=100kPa。解析：设大容器中压缩空气的绝对压力为p1，小容器中流体的绝对压力为p2。则有2－11两个充满空气的封闭容器互相隔开，左边压力表M的读数为100kPa，右边真空计V的读数为3.5mH2O，试求连接两容器的水银压差计中h的读值。已知：pm1=100kPa，pv2=3.5mH2O。解析：根据题意可知，2－12水泵的吸入管与压出管的管径相同，今在其间连接一水银压差计，测得Δh＝720mm，问经水泵后水增压多少？若将水泵改为风机，则经过此风机的空气压力增加了多少？已知：Δh=720mm，d1=d2。解析：(1)设1点至U型管左侧水银面的距离为，U型管右侧水银面所在的水平面为等压面，列静力学方程则经水泵后水增压为(2)若将水泵改为风机，则经过此风机的空气压力增加值为2－13有两个U形压差计连接在两水箱之间，读数h、a、b及重度γ已知，求γ1及γ2的表达式。已知：h，a，b，γ。解析：设及分别为右侧水箱液面至上、下U型管右侧液体分界面1和2点间的距离，由于在两U型管内1和2所在的水平面均为等压面，分别列两侧的静力学方程，得整理以上两式，得，2－14用真空计测得封闭水箱液面上的真空度为981N/m2，敞口油箱中的油面比水箱水面低H＝1.5m，汞比压计中的读数h1＝5.6m，h2＝0.2m，求油的比重。已知：pv=981N/m2，H＝1.5m，h1＝5.6m，h2＝0.2m。解析：设U型管中汞水分界面上的压力为p，该处所在的水平面为等压面，由静力学方程可得2－15试比较同一水平面上的1、2、3、4、5各点压力的大小，并说明其理由。已知：1、2、3、4、5在同一水平面上。解析：设U型管内液体的重度为γ1，容器内液体的重度为γ2，且γ1＞γ2；设2点至其下部气-液分界面的距离为h1，4点至其下部液-液分界面的距离为h2；设2点下部气液分界面上的压力为，设容器底部液-液分界面上的压力为。(1)由于，，则有，所以；(2)由于容器内液面上的压力等于，而3、4点在同一液体内部，所以，；(3)由于，，则有，所以，。2－16多管水银测压计用来测水箱中的表面压力。图中高程的单位为m，当地大气压力为105Pa，试求水面的绝对压力p0。已知：所有尺寸见附图，当地大气压力为105Pa。解析：左右两侧的U型管，以及中部的倒U型管中1、2、3点所在的水平面均为等压面，依据题意列静力学方程又因为所以2－17倾斜式微压计中工作液体为酒精(ρ＝800kg/m3)，已测得读数＝50cm，倾角α＝30°，求液面气体压力p1。已知：=50cm，α=30°，ρ=800kg/m3。解析：酒精液面所在的水平面为等压面，根据题意得2－18U形水银压差计中，已知h1＝0.3m，h2＝0.2m，h3＝0.25m。A点的相对压力为pA＝24.5kPa，酒精的比重为0.8，试求B点空气的相对压力。已知：h1=0.3m，h2=0.2m，h3=0.25m。pA=24.5kPa，S=0.8。解析：因为左右两侧的U型管，以及中部的倒U型管中1、2、3点所在的水平面均为等压面，依据题意列静力学方程，得，，，将以上各式整理后，可得到B点空气的相对压力为以mH2O表示为2－19一直立的煤气管，在底部的测压管中读数为h1＝100mmH2O，在H＝20m高处测得h2＝115mmH2O。管外空气的重度γa＝12.64N/m3，求管中静止煤气的重度。已知：h1=100mmH2O，h2=115mmH2O，H=20m，γa=12.64N/m3。解析：列1、2两截面间的静力学方程，基准面取在1截面所在的水平面上，得所以，管道中静止煤气的重度为2－20图示封闭容器中有空气、油和水三种流体，压力表A读数为－1.47N/cm2。(1)试绘出容器侧壁上的静压力分布图；(2)求水银测压计中水银柱高度差。已知：h1=3m，h2=2m，h3=0.6m，pm0=－1.47N/cm2，S油=0.7。解析：设油水分界面上的相对压力为pm1，容器底部的相对压力为pm2，U型管左侧汞水分界面上的相对压力为pm3，油深为h1，水深为h2，根据静力学方程，得(1)根据以上数据即可绘出容器侧壁上的静压力分布图(右图)；(2)水银测压计中水银柱高度差为2－21三个U形水银测压计，其初始水银面如图A所示。当它们装在同一水箱底部时，使其顶边依次低下的距离为a＝1m，水银的比重为13.6，试问三个测压计中的读数h1、h2、h3各为多少？已知：a=1m，S=13.6。解析：U型管两侧的初始水银面为同一水平面，如图A所示，当它们装在水箱底部时，左侧水银面下降，而右侧水银面上升，根据图示，分别列出三个U型管的静力学方程；；以上三式两边分别同乘以，整理后可得，，代入数据得，，。2－22已知U形管水平段长＝30cm，当它沿水平方向作等加速运动时，h＝10cm，试求它的加速度a。已知：=30cm，h=10cm。解析：建立坐标系如图所示，U形管内液体所受单位质量力分别为，，代入等压面微分方程(2－13)式，积分得等压面方程为由边界条件：当时，，得。将，代入上式得加速度为2－23图示容器中、h1、h2为已知，当容器以等加速度a向左运动时，试求中间隔板不受力时a的表达式。若＝1m，h1＝1m，h2＝2m，a值应为多少？已知：=1m，h1=1m，h2=2m。解析：建立坐标系如图所示，容器内液体所受单位质量力分别为，，代入等压面微分方程(2－13)式，积分得等压面方程为，由边界条件：当时，，得。代入上式得自由面方程为，当中间隔板两侧的液体的自由液面处在同一倾斜平面内时，隔板两侧的液面平齐，此时隔板两侧所受静水总压力相等，即中间隔板不受力。当中间隔板两侧的液体的自由液面处在同一倾斜平面内时，设隔板左侧液面上升的高度为z1，隔板右侧液面下降的高度为z2，根据自由面方程得，又知所以2－24一矩形水箱长为＝2.0m，箱中静水面比箱顶低h＝0.4m，问水箱运动的直线加速度多大时，水将溢出水箱?已知：=2.0m，h=0.4m。解析：建立坐标系如图所示，水箱中水所受单位质量力分别为，，代入等压面微分方程(2－13)式，积分后得等压面方程为由边界条件：当时，，得。将，代入上式得加速度为2－25一盛水的矩形敞口容器，沿α＝30°的斜面向上作加速度运动，加速度a＝2m/s2，求液面与壁面的夹角θ。已知：a＝2m/s2，α＝30°。解析：建立坐标系如图所示，容器中水所受单位质量力分别为质量力的作用线与铅直线的夹角为由于质量力与自由液面(等压面)处处正交，所以，由图可得液面与壁面的夹角θ为2－26图示为一圆筒形容器，半径R=150mm，高H=500mm，盛水深h=250mm。今以角速度ω绕z轴旋转，试求容器底开始露出时的转速。已知：R=150mm，H=500mm，h=250mm。解析：建立圆柱坐标系，坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为积分上式得在自由表面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是得自由液面方程为于是容器上缘处坐标为：r＝R＝0.15m，z＝H＝0.5m，代入上式，得则容器底开始露出时的转速为2－27圆柱形容器的半径R＝15cm，高H＝50cm，盛水深h＝30cm。若容器以等角速度ω绕z轴旋转，试求ω最大为多少时才不致使水从容器中溢出？已知：R=15cm，H=50cm，h=30cm。解析：建立圆柱坐标系，坐标原点取在旋转抛物面顶点上。等压面微分方程为积分上式得在自由表面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是得到自由液面方程为由于容器旋转后，水面最高点正好达到容器上缘，故没有水溢出。所以抛物体的空间体积应等于原静止时水面上部容器空间的体积。抛物体空间的体积为静止时容器上部空间的体积为因为V1＝V2，于是所以2－28一封闭容器，直径D＝0.6m，高H＝0.5m，内装水深至h＝0.4m，上部装比重S＝0.8的油。封闭容器的上盖中心有一小孔，当容器绕z轴旋转时，使油水分界面下降至底部中心，试求：(1)这时的旋转角速度；(2)a、b、c、d各点的压力(用mH2O表示)；(3)液体作用在容器底和顶盖上的力。已知：D=0.6m，H=0.5m，h=0.4m，S=0.8。解析：(1)建立圆柱坐标系，坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为积分上式得在油水分界面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是油水分界面方程为那么，在顶盖上的油水分界点、处，有①又知容器中水面以上油的体积为容器旋转后，抛物体的体积为由，得②联立①式和②式，得压力微分方程为积分上式，得相对压力分布式为由边界条件：r=0，z=0时，，得。则那么，水的相对压力分布式为③油的相对压力分布式为④(2)由水静力学基本方程(2－17)及上述③式，得a、b、c、d各点的相对压力分别为(3)将上述③、④两式对容器顶盖面积积分，注意到，得液体作用在顶盖上的力为将上述③式对容器底面积积分，注意到，得液体作用在容器底上的力为2－29已知矩形闸门高h＝3m，宽b＝2m，上游水深h1＝6m，下游水深h2＝4.5m，求：(1)作用在闸门上的总静水压力；(2)压力中心的位置。已知：h=3m，h1=6m，h2=4.5m，b=2m。解析：(1)闸门左侧所受的总压力为左侧压力中心到闸门中心的距离为闸门右侧所受的总压力为右侧压力中心到闸门中心的距离为闸门所受的总压力为总压力的方向指向右侧。(2)为求压力中心的位置，设总压力的作用点距底部O点的距离为a，对O点取矩，得则2－30在倾角α＝60°的堤坡上有一圆形泄水孔，孔口装一直径d＝1m的平板闸门，闸门中心位于水深h＝3m处，闸门a端有一铰链，b端有一钢索可将闸门打开。若不计闸门及钢索的自重，求开启闸门所需的力F。已知：d=1m，hc=3m，α=60°。解析：(1)闸门所受的总压力为(2)压力中心到闸门中心的距离为(3)对闸门上端a点取矩，得则开启闸门所需要的力为2－31有一三角形闸门，可绕AB轴旋转，油液的重度为γ，求液体对闸门的总压力及总压力对AB轴的力矩。已知：h，b，γ。解析：液体对闸门的总压力为压力中心距AB的距离可图解法来确定，或由惯性积计算确定为。则总压力对AB轴的力矩近似为2－32倾斜的矩形平板闸门，长为AB，宽b＝2m，设水深h＝8m，试求作用在闸门上的静水总压力及其对端点A的力矩。已知：b=2m，h=8m，h0=BE=4m，=AE=3m。解析：依据图意知；闸门面积为。闸门所受的总压力为压力中心D距形心C的距离为压力中心D距A点的距离为静水总压力对端点A的力矩为2－33矩形平板闸门，宽b＝0.8m，高h＝1m，若箱中水深h1超过2m时，闸门即可自动开启，铰链的位置y应设在何处？已知：b=0.8m，h=1m，h1≥2m。解析：当铰链的位置高于压力中心的位置时，即y≥h1－hD时，闸门即可自动开启。闸门所受的总压力为压力中心的位置为那么，铰链的位置y为2－34金属的矩形平板闸门，宽1m，由两根工字钢横梁支撑。闸门高h＝3m，容器中水面与闸门顶齐平，如要求两横梁所受的力相等，两工字钢的位置y1和y2应为多少？已知：b=1m，h=3m。解析：容器液面上的相对压力为，容器底面上的相对压力为，据此绘制矩形平板闸门的静压力分布图，如图所示。将静压力分布图的面积两等分，得△ABD和梯形BCDE。由，得由，得比较以上两式，得；由于△ABD的形心位于A点以下处，而总压力的作用线通过静压力分布图的形心，所以得梯形BCDE的形心距离容器底面的距离为所以2－35一弧形闸门，宽2m，圆心角α＝30°，半径r＝3m，闸门转轴与水平面齐平，求作用在闸门上的静水总压力的大小与方向(即合力与水平面的夹角)。已知：b=2m，r=3m，α=30°。解析：由图可知弧形闸门所受的水平分力为弧形闸门所受的水平分力为总合力为总合力与水平面的夹角为2－36一圆柱形闸门，长＝10m，直径D＝4m，上游水深h1＝4m，下游水深h2＝2m，求作用在该闸门上的静水总压力的大小与方向。已知：=10m，D=4m，h1=4m，h2=2m。解析：(1)闸门左侧面所受的水平分力为闸门右侧面所受的水平分力为则，闸门所受的总水平分力为(2)依据题意可知，闸门左侧压力体的体积为圆柱体，闸门右侧压力体的体积为圆柱体，总压力体的体积为圆柱体。所以闸门所受的垂直分力为总合力为总合力与水平面的夹角为2－37图示为一封闭容器，宽b＝2m，AB为一1/4圆弧闸门。容器内BC线以上为油，以下为水。U形测压计中液柱高差R＝1m，闸门A处设一铰，求B点处力F为多少时才能把闸门关住。已知：b=2m，R=1m，S油=0.8，S=3.0。解析：(1)设油水分界面上的相对压力为。由静力学方程得U型管液、水分界面上的相对压力为则A点的相对压力为圆弧闸门所受的水平分力为对应于水平分力的压力中心的位置(A点以下)为水平分力的方向水平向左。圆弧闸门所受的垂直分力为垂直分力的方向垂直向上。垂直分力的作用线距A点的水平距离为对A点取矩，得则2－38用一圆柱形圆木挡住左边的油，油层浮在水面上，设圆木正处于平衡状态，试求：(1)单位长圆木对岸的推力；(2)单位长圆木的重量；(3)圆木的比重。已知：R=0.8m，S油=0.8。解析：(1)由于圆木下部左右两侧所受水的水平作用力大小相等，方向相反，互相抵消，所以，圆木所受的水平分力为油的水平作用力，即那么，单位长圆木对岸的水平推力为2511N。(2)根据图意可知，圆木上部油的压力体体积为，其垂直分力的方向向下；圆木下部水的压力体体积为，其垂直分力的方向向上。若设油水分界面上的相对压力为，，所以圆木所受的总垂直分力为上式中的负号说明垂直分力的方向是向上的。由于圆木处于平衡状态，所以单位长圆木的重量等于圆木所受的垂直分力，为18823N。(3)圆木的比重为2－39半径为R的封闭圆柱形容器内装满重度为γ的液体，测压管如图所示，试求：(1)作用在单位长AB面上的水平分力及作用线；(2)作用在单位长AB面上的铅垂分力及作用线。已知：R，γ。解析：(1)由于BD所在的水平面上的相对压力为0，则A点处的相对压力为。那么，作用在单位长AB面上的水平分力为水平作用线距A点的垂直距离为(2)作用在单位长AB面上的垂直分力为垂直作用线距圆柱形容器中心的水平距离为。2－40一直径d＝2m的圆柱体，长度＝1m，放置于α＝60°的斜面上，一侧有水，水深h＝1m，求此圆柱体所受的静水总压力。已知：d=2m，h=1m，＝1m，α＝60°。解析：(1)由于圆柱体下部两侧所受的水平分力相等、相互抵消，所以，圆柱体所受的水平分力为(2)由图根据已知条件可知，压力体的体积为左下部半圆与右上方直角三角形的面积之和，所以，圆柱体所受的垂直分力为垂直分力的方向向上。因此，圆柱体所受的静水总压力为静水总压力与水平面的夹角为2－41油库侧壁有一半球形盖，直径为d＝0.6m，半球中心在液面下的淹没深度H＝2.0m，测压管中液面高出油库中液面的高度h＝0.6m，石油重度为6867N/m3，试求液体作用在半球盖上的水平分力及铅垂分力。已知：d=0.6m，H=2.0m，h=0.6m，γ=6867N/m3。解析：(1)油库中液面上的相对压力为那么，液体作用在半球盖上的水平分力为(2)半球盖的压力体体积为球的体积，液面上压力p0对半球盖上半部分作用的垂直分力，与对下半部分作用的垂直分力相等，相互抵消，所以，液体作用在半球盖上的铅垂分力为第三章流体动力学基础3－1已知速度场为(m/s)，求(2，3，1)点的速度和加速度。已知：解析：(1)(2，3，1)点的速度为(2)(2，3，1)点的加速度为3－2已知速度场为(m/s)，求τ＝2秒时，位于(2，2，1)点的速度和加速度。已知：解析：(1)τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为(2)τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为3－3已知二维流场的速度分布为(m/s)。问：(1)该流动是稳定流还是非稳定流？是均匀流还是非均匀流？(2)τ＝1秒时，(2，4)点的加速度为多少？(3)τ＝1秒时的流线方程？已知：解析：(1)因为速度与时间有关，所以该流动是非稳定流动；由下述计算得迁移加速度为零，流线为平行直线，所以该流动是均匀流动。(2)加速度的计算式为则τ=1秒、位于(2，4)点的加速度为(3)将速度分量代入流线微分方程，得分离变量，积分得或写成简化上式，得τ=1秒时的流线方程为3－4已知速度场为。求τ＝1时，过(0，2)点的流线方程。已知：解析：将速度分量代入流线微分方程，得积分上式，得则τ=1秒时，过(0，2)点的流线方程为3－520℃的空气在大气压下流过0.5m直径的管道，截面平均流速为30m/s。求其体积流量、质量流量和重量流量。已知：在大气压下20℃空气的密度为1.205kg/m3，管道直径为0.5m，截面平均流速为30m/s。解析：(1)体积流量为(2)质量流量为(3)重量流量为3－6流体在两平行平板间流动的速度分布为式中umax为两板中心线y＝0处的最大速度，b为平板距中心线的距离，均为常数。求通过两平板间单位宽度的体积流量。已知：速度分布为解析：由体积流量计算式，得3－7下列各组方程中哪些可用来描述不可压缩流体二维流动？(1)(2)(3)(4)已知：速度分布方程。解析：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程：(1)，不可用来描述不可压缩流体二维流动；(2)，可以用来描述不可压缩流体二维流动；(3)，可以用来描述不可压缩流体二维流动；(4)，不可用来描述不可压缩流体二维流动。3－8下列两组方程中哪个可以用来描述不可压缩流体空间流动？(1)(2)已知：速度分布方程。解析：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程：(1)，可以用来描述不可压缩流体空间流动；(2)，不可用来描述不可压缩流体空间流动。3－9已知不可压缩流体二维流动在y方向的速度分量为，求速度在x方向的分量ux。已知：不可压缩流体二维流动的速度分量解析：由不可压缩流体二维连续性方程，得3－10已知不可压缩流体在r、θ方向的速度分量分别为，求速度在z方向的分量uz。已知：不可压缩流体在r、θ方向的速度分量为。解析：由不可压缩流体三维柱坐标的连续性方程，得3－11设不可压缩流体空间流动的两个速度分量为(1)(2)其中a、b、c、d、e、f均为常数。已知当z＝0时uz＝0。试求第三个速度分量。已知：不可压缩流体空间流动的两个速度分量。解析：(1)由不可压缩流体空间流动的连续性方程，得当z=0时，，则，所以。(2)当z=0时，，则，所以。3－12已知不可压缩理想流体的压力场为(N/m2)，若流体密度ρ＝1000kg/m3。g＝9.8m/s2。求流体质点在m位置上的加速度。已知：，ρ=1000kg/m3，g=9.8m/s2。解析：由压力分布式得；由已知条件，得。代入以下欧拉运动微分方程，得将ρ=1000kg/m3；g=9.8m/s2；x=3，y=1，z=－5代入上式，得3－13已知不可压缩理想流体稳定流动的速度场为(m/s)求流体质点在(2，3，1)点处的压力梯度。ρ＝1000kg/m3，g＝9.8m/s2。已知：；ρ=1000kg/m3，g=9.8m/s2。解析：由加速度计算式，得将上式代入欧拉运动微分方程，得将ρ=1000kg/m3，g=9.8m/s2；x=2，y=3，z=1代入上式，得则3－14已知不可压缩理想流体的速度场为(m/s)，流体密度ρ＝1500kg/m3，忽略质量力，求τ＝1s时位于(x，y)处及(1，2)点处的压力梯度。已知：；ρ=1500kg/m3；。解析：由加速度计算式，得当τ=1秒时，代入欧拉运动微分方程，得则τ＝1s时位于(x，y)处的压力梯度为τ＝1s时位于(1，2)点处的压力梯度为3－15已知不可压缩理想流体的速度场为(m/s)，单位质量力为m/s2，位于坐标原点的压力为p0，求压力分布式。已知：；；解析：由加速度计算式，得代入由欧拉运动微分方程，得积分上式，得当x=0，y=0，z=0时，p=p0，则C=p0。代入上式，得压力分布式为3－16已知不可压缩理想流体在水平圆环通道中作二维稳定流动，当圆周速度分别为时，求压力p随和r的变化关系式。已知：(1)；(2)；(3)；。解析：根据已知条件，简化欧拉运动微分方程，可以得到或写成将已知条件代入上式，得(1)时，积分得(2)时，积分得(3)时，积分得3－17已知不可压缩理想流体的速度分量为，不计质量力，求等压面方程。已知：；。解析：由加速度计算式，得代入由欧拉运动微分方程，得则在等压面上，，则等压面微分方程为积分上式，得等压面方程3－18若在150mm直径管道内的截面平均流速为在200mm直径管道内的一半，问流过该两管道的流量之比为多少？已知：d1=150mm，d2=200mm；u2=2u1。解析：根据流量计算式，可得3－19蒸气管道的干管直径d1＝50mm，截面平均流速u1＝25m/s，密度ρ1＝2.62kg/m3，蒸气分别由两支管流出，支管直径d2＝45mm，d3＝40mm，出口处蒸气密度分别为ρ2＝2.24kg/m3，ρ3＝2.30kg/m3，求保证两支管质量流量相等的出口流速u2和u3。已知：d1=50mm，d2=45mm，d3=40mm，u1=25m/s，ρ1=2.62kg/m3，ρ2=2.24kg/m3，ρ3=2.30kg/m3，M2=M3。解析：根据已知条件列连续性方程，①②将②式代入①式，得③则代入②式，得3－20水射器如图所示，高速水流uj由喷嘴射出，带动管道内的水体。已知1截面管道内的水流速度和射流速度分别为u1＝3m/s和uj＝25m/s，管道和喷嘴的直径分别为0.3m和85mm，求截面2处的平均流速u2。已知：D=0.3m，d=85mm，u1=3m/s，uj=25m/s解析：列连续性方程，则截面②处的平均流速为3－21已知圆管中流速分布为，r0为圆管半径，y为离管壁的距离，umax为管轴处的最大流速，求流速等于截面平均流速的点离管壁的距离yc。已知：速度分布为解析：截面平均流速为令得3－22管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D＝100mm和d＝30mm，如通过的流量为0.02m3/s，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。已知：D=100mm，d=30mm，Q=0.02m3/s，pm2=0。解析：由连续性方程，得列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得3－23水管直径50mm，末端的阀门关闭时，压力表读数为21kN/m2，阀门打开后读数降至5.5kN/m2，如不计管中的压头损失，求通过的流量。已知：d=50mm，p0=21kN/m2，p=5.5kN/m2。解析：列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得则流量为3－24用水银压差计测量水管中的点速度u，如读数Δh＝60mm，求该点流速。已知：Δh=60mm。解析：根据题意，由流体静力学方程，得列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得则3－25流量为0.06m3/s的水，流过如图所示的变直径管段，截面①处管径d1＝250mm，截面②处管径d2＝150mm，①、②两截面高差为2m，①截面压力p1＝120kN/m2，压头损失不计。试求：(1)如水向下流动，②截面的压力及水银压差计的读数；(2)如水向上流动，②截面的压力及水银压差计的读数。已知：Q=0.06m3/s，d1=250mm，d2=150mm，H=2m，p1=120kN/m2。解析：(1)由连续性方程，得(2)列出①、②两截面间的伯努利方程，基准面取在②截面上；同时列出U型管的静力学方程，得(3)如果水向上流动，并且不计压头损失，所得结果与上述相同。3－26风机进气管首端装有一流线形渐缩管，可用来测量通过的流量。这种渐缩管的局部损失可忽略不计，且气流在其末端可认为是均匀分布的。如装在渐缩管末端的测压计读数Δh＝25mm，空气的温度为20℃，风管直径为1.2m，求通过的流量。已知：Δh=25mm，d=1.2m，ρ=1.205kg/m3。解析：由流体静力学方程，得列渐缩管进口前后的伯努利方程，基准面取在管轴线上，得合并以上两式，得则流量为3－27水沿管线下流，若压力计的读数相同，求需要的小管直径d0，不计损失。已知：D=0.2m，u=3.0m/s，H=3m，p1=p2。解析：根据已知条件，列两截面间的连续性方程和伯努利方程，基准面取在下部截面上，联立以上两式，得同时得到3－28水由图中的喷口流出，喷口直径d＝75mm，不计损失，计算H值(以m计)和p值(以kN/m2计)。已知：d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，Δh=175mm，解析：(1)列1-1截面至2-2截面间的伯努利方程，基准面取在2-2截面所在的水平面上，列1-1与2-2截面间U型管的静力学方程简化上式，并代入伯努利方程，得①列1-1截面至2-2截面间的连续性方程或写成②将②式代入①式，整理后得(2)列2-2截面至3-3截面间的连续性方程则(3)列自由液面至3-3截面间的伯努利方程，基准面取在出口管轴线上，得(4)列压力表处至3-3截面间的伯努利方程，基准面取在出口管轴线上，得所以3－29水由管中铅直流出，求流量及测压计读数。水流无损失。已知：d=50mm，D=0.3m，δ=1mm，z1=3m，z2=1.5m。解析：(1)列管嘴出口至圆盘边缘的伯努利方程和连续性方程，基准面取在盘面上，或写成代入伯努利方程，得则(2)列管嘴出口至圆盘中心滞止点的伯努利方程，基准面取在盘面上，得列U型管的静力学方程，则3－30同一水箱经上、下两孔口出流，求证：在射流交点处，h1y1＝h2y2。已知：h1，h2，y1，y2。解析：列自由液面至两喷孔的伯努利方程，可得又知则故有，得证。3－31一压缩空气罐与文丘里式的引射管连接，d1,d2,h均为已知，问气罐压力p0多大方才能将B池水抽出。已知：d1，d2，h。解析：依题意，列吸水管的静力学方程，得列1、2两截面间的伯努利方程和连续性方程或写成代入伯努利方程，得列气罐至喷口的伯努利方程，得所以，气罐压力p0必须大于或等于才能将B池中的水抽出。3－32高压水管末端的喷嘴如图，出口直径d＝10cm，管端直径D＝40cm，流量Q＝0.4m3/s，喷嘴和管道以法兰连接，共用12个螺栓，不计水和管嘴的重量，求每个螺栓受力多少？已知：D=40cm，d=10cm，Q=0.4m3/s，n=12。解析：(1)由流量计算式，得(2)列喷嘴进出口的伯努利方程得(3)设喷嘴对水流的反作用力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为流体的流动方向，则每个螺栓受力为3－33直径为d1＝700mm的管道在支承水平面上分支为d2＝500mm的两支管，A－A截面压力为70kN/m2，管道中水的体积流量为Q＝0.6m3/s，两支管流量相等。(1)不计压头损失，求支墩受水平推力；(2)压头损失为支管流速压头的5倍，求支墩受水平推力。不考虑螺栓连接的作用。已知：d1=700mm，d2=500mm，Q=0.6m3/s，pm1=70kN/m2解析：(1)依题意知，α=30°。(2)列A-A至B-B及C-C间的伯努利方程(3)取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体，设支墩对水流的水平反推力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为u1的方向，那么，支墩所受的水平推力为(4)假若压头损失为支管流速压头的5倍，则A-A至B-B及C-C间的伯努利方程为则(5)取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体，设支墩对水流的水平反推力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为u1的方向，那么，支墩所受的水平推力为3－34水流经180°弯管自喷嘴流出，如管径D＝100mm，喷嘴直径d＝25mm，管道前端测压表读数M＝196.5kN/m2，求法兰盘接头A处，上、下螺栓的受力情况。假定螺栓上下前后共安装四个，上下螺栓中心距离为175mm，弯管喷嘴和水重为150N，作用位置如图。已知：D=100mm，d=25mm，M=196.5kN/m2，W=150N，dn＝175mm。解析：取法兰盘A至喷嘴出口间的弯曲流段作为控制体，取喷嘴轴线所在水平面为基准面，建立坐标系如图所示。(1)列连续性方程或写成①(2)列A至喷嘴出口间的伯努利方程②将式①代入式②，得所以(3)设弯管对流体的反作用力为R，方向如图所示，列控制体的动量方程所以反推力为(4)流体对管壁的总推力由4个螺栓分担，但并非均匀分担。由于螺栓群所受的逆时针方向的力矩为所以，左右两个螺栓受力各为：上螺栓受力为：下螺栓受力为：3－35下部水箱重224N，其中盛水重897N，如果此箱放在秤台上，受如图的恒定水流作用。问秤的读数是多少？已知：d=0.2m，h0=1.8m，h=6.0m，G=897N，W=224N。解析：(1)列两水池液面至管口的伯努利方程，基准面取在管口所在的水平面上，可得到管出口的流速为(2)列上水池液面至下水池液面间的伯努利方程，基准面取在下水池液面上，可得到冲击下水池的流股的流速为(3)取下池水体为控制体，并设池底对水体的反作用力为R，列动量方程，坐标系的方向垂直向下，得所以则下水箱的总重量为3－36求水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力。假定A、B两截面间水重为2.69kN，而且截面B流出的流动可以认为是自由射流。已知：h0=2.1m，hA=0.6m，hB=0.9m，B=1.0m，W=2690N。解析：(1)取上部流线为对象，列水池截面至A截面的伯努利方程，基准面取在池底所在的水平面上，得则A截面的平均速度为列A、B两截面间的伯努利方程，取中间流线为对象，得则B截面的平均速度为(2)由A、B之间的连续性方程，得挑流坎出口流股的宽度b为那么，A、B上的总压力分别为(3)设挑流坎AB作用于水流的水平分力和铅直分力分别为Rx和Ry，列A、B间的动量方程所以，水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力分别为6806.6N和15307.5N。3－37水流垂直于纸面的宽度为1.2m，求它对建筑物的水平作用力。已知：h1=1.5m，h2=0.9m，B=1.2m。解析：(1)取上部流线，列建筑物上下游两流动截面间的伯努利方程和连续性方程，基准面取在底面上，或写成代入伯努利方程，得(2)建筑物上下游两流动截面上的总压力分别为(3)设建筑物对水流的反作用力为R，列建筑物上下游两流动截面间的动量方程，坐标系的方向为流体的流动方向，得所以，水流对建筑物的水平作用力为3－38有一圆柱体放在两无限宽的平行平板中间，平板间距B为1m，圆柱体前水流为均匀分布，流速u1＝5m/s，流过圆柱体后，流速近似三角形分布，求单位长度圆柱体对水流的阻力。平板对水流的摩擦阻力不计。已知：u1=5m/s，B=1m。解析：(1)选取圆柱体前后两截面间的空间为控制体，建立坐标系，并假定物体对水流的阻力为F，方向如图，摩擦阻力不计。上游截面上的速度为均匀分布，u1＝5m/s；设下游截面上的速度分布为u2=ay＋b，a、b为待定系数，由边界条件和连续性条件确定。当y=0时，u2=0，得b=0；列上下游两截面间的连续性方程得所以列x方向上的动量方程(圆柱体为单位长度)，所以这里说明，在题设的理想条件下，圆柱体对流体不会产生阻力，而且阻力为负。3－39理想流体平面射流以θ角冲击在无限宽(垂直纸面方向)的平板上，如射流的单宽流量为q0，速度为u0，遇平板后两侧的单宽流量为q1和q2，求：(1)用θ函数表示的q1/q2；(2)射流对单宽平板的作用力。已知：θ、u0、q1、q2、q0。解析：(1)建立坐标系如图，取冲击流股为控制体，设平板对射流流体的反作用力为T，列0-1和0-2间的伯努利方程，忽略重力，并注意到p1=p2=p0=pa，得或写成(2)对控制体列x方向的动量方程，得或者①由连续性方程可知，②代入①式，整理后得代入②式得所以(3)对控制体列y方向的动量方程，得则射流对单宽平板的作用力为。3－40直径为10cm、速度为20m/s的水射流垂直冲击在一块圆形平板上，不计阻力，问：(1)平板不动时，射流对平板的冲击力为多大？(2)如平板以速度5m/s向左运动，射流对平板的冲击力为多少？水流离开平板时，其流速的大小和方向是什么？已知：d0=10cm，u0=20m/s；U=5m/s。解析：(1)平板不动时，取平板前的水射流为控制体，坐标x的方向与射流速度u同向，设平板对射流的反作用力为T，重力不计，对控制体列x方向的动量方程，得所以，平板不动时，射流对平板的冲击力为3140N。(2)当平板以速度5m/s向左运动时，射流与平板之间的相对速度为u0+U，列x方向的动量方程，得所以，当平板以速度5m/s向左运动，射流对平板的冲击力为4906N。列射流出口至板缘间的伯努利方程，并注意到p=pa，相对速度u=u0+U，得则则水流离开平板时，其流速的大小为25m/s，方向平行于板面，沿径向流出。3－41有一直径由20cm变至15cm的90°变径弯头，其后端连一出口直径为12cm的喷嘴，水由喷嘴射出的速度为20m/s，求弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV。不计弯头内的水体重量。已知：d1=20cm，d2=15cm，d3=12cm，u3=20m/s。解析：(1)建立坐标系如图，取弯头内的水体为控制体，设弯头对水体的反作用力为F，其水平分力和垂直分力分别为FH和FV，重力不计。列连续性方程，得(2)分别列出1-3和2-3间的伯努利方程，注意到pm3＝0。；所以(3)对控制体列x方向和y方向的动量方程，得；所以弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV分别为4979N和7094N。3－42图示为一矩形容器，水由①、②两管流入，由③管流出，①、②、③管的直径分别为20cm、20cm和25cm，①、②两管的流量同为0.2m3/s，管口相对压力皆为32kN/m2，③管出口为大气压，倾角θ为30°。三根短管都位于同一水平面上，如容器仅由A点支撑，求xoy平面上作用于A点的力和力矩。已知：d1=d2=20cm，d3=25cm，Q1=Q2=0.2m3/s，Q3=2Q1。pm1=pm2=32kN/m2，pm3=0，θ=30°，其它尺寸如图。解析：(1)由连续性方程，得(2)取容器内的水体为控制体，建立坐标系如图所示，设A点所受的力为F，其分量分别为Fx和Fy，对控制体列动量方程，得(3)对A点列动量矩方程，得3－43如图所示的盛水容器，已知H＝6m，喷口直径d＝100mm，不计阻力，求：(1)容器不动时，水流作用在容器上的推力；(2)容器以2m/s的速度向左运动，水流作用在容器上的推力。已知：H=6m，d=100mm；U=2m/s。解析：(1)列容器液面至喷嘴出口的伯努利方程，可得喷口速度为流量为取容器中的水体为控制体，坐标系建在容器上，方向向左，设容器对水流的反作用力为F，列动量方程，得则水流作用在容器上的推力为924N。(2)当容器以2m/s的速度向左运动时，其相对速度为，列动量方程，得所以，水流作用在容器上的推力为754N。3－44水射流由直径d＝6cm的喷嘴垂直向上喷射，离开喷口的速度为15m/s，若能支撑一块重100N的平板，射流喷射的高度Z为多少？已知：d=6cm，u1=15m/s，W=100N。解析：(1)取管嘴出口至平板间的水体为分析对象，建立坐标系，方向垂直向上，设射流冲击平板时的速度为u2，根据动量方程则(2)列管嘴出口至平板间的伯努利方程，得所以3－45喷嘴直径25mm，每个喷嘴流量为7L/s，若涡轮以100r/min旋转，计算它的功率。已知：d=25mm，R=0.6m，Q=7×10-3m3/s，n=100r/min。解析：(1)由流量计算式，得喷嘴出流速度为喷嘴自身的旋转速度为所以，单个喷嘴的射流反作用力为那么，射流的总功率为3－46臂长皆为10cm的双臂喷水装置，喷水口直径为1cm，在3cm直径的中心供水管内水流速度为7m/s，求：(1)转臂不动时需施加的力矩；(2)使转臂以150r/min的转速反时针方向旋转需施加的力矩。已知：d=1cm，D=3cm，u0=7m/s，R=10cm；ω=150r/min，q=0.5Q。解析：(1)由流量计算式，得喷嘴出口流速为那么，根据动量方程，转臂不动时所需施加的力矩为(2)当转臂以150r/min的转速逆时针方向旋转时，转臂的旋转速度为那么，射流的绝对速度为，这是需要施加的力矩为3－47有一向后喷射水流作为动力的机动船逆水航行，河水流速为1.5m/s，相对于河岸的船速为9m/s，船尾喷口处相对于船体的流速为18m/s，流量为0.15m3/s，求射流对船体的推力。已知：u0=1.5m/s，u1=9m/s，u2=18m/s，Q=0.15m3/s。解析：根据题意知，河水相对于船体的速度为，而喷射流体相对于船体的速度为，设射流对船体的推力为F，列动量方程，得3－48装在小车上的水箱侧壁有一流线型喷嘴，直径为20mm，已知h1＝1m，h2＝2m，射流恰好平顺地沿小坎转向水平方向离开小车。求：(1)射流对水箱的水平推力；(2)射流对小车的水平推力；(3)射流对小坎的水平推力。已知：d=20mm，h1=1m，h2=2m。解析：(1)设喷嘴出口流速为u1，小坎出口出的流速为u2，分别列出水箱自由液面至喷嘴出口及小坎出口的伯努利方程，可得(2)设射流对水箱的水平推力为F1；射流对小车的水平推力为F2；射流对小坎的水平推力为F。那么，根据动量方程，得第四章流体的有旋流动和无旋流动4－1下列流场是否连续？是否无旋？若为无旋流动，试描述其流动情景：(1)(2)(3)(4)。已知：流场的速度分布。解析：①根据不可压缩流体的连续性方程或，判断流场是否连续；②根据流体微团的角速度计算公式或，计算出流体微团的各角速度分量，以此来判断流场是否无旋；③根据流函数的微分式或求出流线方程，依此绘出流线图形，来描绘流场的流动情景。(1)，该流场是连续的；，该流场为有旋流场。(2)，该流场不连续；，该流场为有旋流场。(3)，该流场是连续的；，该流场为无旋流场。将速度分量代入流函数微分式，得积分得令＝常数，得流线方程为。可见，流线为从原点发出的射线族。(4)，该流场是连续的；，该流场为无旋流场。将速度分量代入流函数微分式，得积分得令＝常数，得流线方程为。可见，流线为同心圆周线族。4－2下列两个流动哪个有旋？哪个无旋？哪个有角变形？哪个无角变形？式中a、c为常数。(1)(2)已知：流场的速度分布。解析：(1)，该流动有旋；，该流动无角变形。(2)，该流动无旋；，该流动有角变形。4－3证明下列二维流场是无旋的，并找出经过(1，2)点的流线方程。已知：解析：(1)，所以，该二维流场是无旋的；(2)将速度分量代入流函数的微分式，积分得令，得流线方程将x＝1，y＝2代入流线方程，得，则过(1，2)点的流线方程为4－4已知有旋流动的速度分量为，求旋转角速度和角变形速度。已知：解析：(1)流体微团的旋转角速度为；　；(2)流体微团的角变形速度为；；；　4－5设流场的速度分布为式中是z的任意函数，k为常数。试证明这是一个流线与