微观经济学计算题

.-PAGE--可修编.第二章需求、供给计算假设X商品的需求曲线为直线，QX=400.5PX,,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半，请根据上述条件求Y的需求函数。解:当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY,由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY.某人每周收入120元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，PX=2元，PY=3元。求（1）为获得最大效用，他会购买几单位X和Y？（2）货币的边际效用和总效用各多少？（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少？解:（1）由U=XY，得MUX=Y，MUY=X，根据消费者均衡条件得Y/2=X/3考虑到预算方程为2X+3Y=120解得X=30，Y=20（2）货币的边际效用λ=MUX/PX=Y/PX=10总效用TU=XY=600（3）提价后PX=2.88新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3由题意知XY=600，解得X=25，Y=24将其代入预算方程M=2.88×25+3×24=144元ΔM=144-120=24元因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性证明：dQ/dP=-aP-2,Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-aP-2)(P/aP-1)=-1,故|Ed|=1，为单一弹性。4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性.解:由题设,P1=32,P2=40,Q2=880Q1=880/(1-12%)=880/88%=1000于是,Ed=[(Q2-Q1)/(P2-P1)]×[(P1+P2)/(Q1+Q2)]≈-0.57故需求弹性约为-0.57.5、设汽油的需求价格弹性为-0.5，其价格现为每加仑1.20美元，试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10％？解：因为（dQ/Q）·（P/dP）=-0.5要使dQ/Q=-10%，则有dP/P=1/5dP=1.2×0.2=0.24所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2，软盘驱动器的弹性为-1，如果公司将两种产品都提价2%，那么这些产品的销售将会怎样变化？解：因为芯片弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-2所以dQ/Q=-2×2%=-4%因为软盘驱动器弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-1所以dQ/Q=-1×2%=-2%即提价2%后，芯片销售下降4%，软盘驱动器销售下降2%。7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为：u=xy,x,y的价格均为4，消费者的收入为144，求x价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。解：Mux=yMuy=x因为Mux/Px=Muy/Py得X=y又因为4X+4y=144得X=y=18购买18单位x与18单位y，在x价格为9时需要的收入M=234在实际收入不变时，Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4且9x+4y=234得x=13，可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。再来看价格总效应，当Px=9,Py=4时，Mux=yMuy=xY/x=9/4且9x+4y=144得X=8y=18由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位，收入效应与替代效应各为5单位。8、某消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率处处是Y/X，Y是商品Y的消费量，X是商品X的消费量。（1）对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1；（2）PX=1，PY=3，该消费者均衡时的MRSXY为多少？（3）对X的恩格尔曲线形状如何？对X的需求收入弹性是多少？解：（1）消费者均衡时，MRSXY=Y/X=PX/PY，即PXX=PYY，又因为PXX+PYY=M，故X=M/2PX，可见对X的需求不取决于Y的价格。由于dX/dPX=-M/2PX2|EX|=-(dX/dPX)(PX/X)=1(2)已知PX=1，PY=3，消费者均衡时，MRSXY=PX/PY=1/3。（3）因为X=M/2PX，所以dX/dM=1/2PX，若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率是dM/dX=2PX。对X的需求收入弹性EM=（dX/dM）（M/X）=19、已知销售商品X的总收益（R=PQ）方程为：R=100Q-2Q2，计算当边际收益为20时的点价格弹性。解：由R=100Q-2Q2，得MR=dR/Dq=100-4Q当MR=20时，Q=20，考虑到R=PQ=100-2Q2，得P=100-2Q=60Ed=(dQ/dP)·(P/Q)=(-1/2)·(60/20)=-3/210、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：PX=1000-5QX，PY=1600-4QY，这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。（1）求X和Y当前的价格弹性；（2）假定Y降价后，使QY增加到300单位，同时导致X的销售量QX下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？（3）假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，你认为它降价在经济上是否合理？解：（1）PX=1000-5QX=1000-5×100=500PY=1000-5QY=1600-4×250=600EdX=(dQX/dPX)·(PX/QX)=(-1/5)·(500/100)=-1EdY=(dQY/dPY)·(PY/QY)=(-1/4)·(600/250)=-3/5（2）由题设，QY’=300,QX’=75则PY’=1600-4QY’=400ΔQX=-25,ΔQY=-200于是EXY=(ΔQX/ΔPY)·[(PY+PY’)/2]·[2/(QX+QX’)]=5/7(3)根据(1)得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性,这时降价会使销售收入减少,故降价不合理.第三章消费者行为理论计算题1、某人每周花360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大?解:max:U=2X2YS.T360=3X+2Y构造拉格朗日函数得:W=2X2Y+λ(360-3X-2Y)dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0dW/Dy=MUy-2λ=2x2-2λ=0求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=602、求最佳需求，maxU=X1+(X2-1)3/3S.T4X1+4X2=8(1)如果效用函数变为U=3X1+(X2-1)3,而预算约束不变则最佳需求会改变吗？(2）如果效用函数不变，而预算约束变为2X1+2X2=4,则最佳需求会改变吗？．解：运用拉格朗日函数，L=X1+(X2-1)3/3+λ(8-4X1-4X2)dL/dX1=1-4λ=0dL/dX2=(x2_1)2-4λ=0显然，（X2-1）2=1,求得：X2=0,X1=2;或X2=2,X1=0代入总效用函数,可将X2=2,X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2当U=3X1+(X2-1)3时，同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变.当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:X1=2,X2=0,最佳需求也不变.3、某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y（各自的价格分别为50、20元），其效用函数为u=xy2。假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量应分别为多少？解：M=10000（1-10%）=9000Px=50（1+20%）=60Py=20预算约束式：60x+20y=9000由此可得y=450-3x代入u=xy2的得u=9(x3-300x2+22500x）由du/dx=9（3x2-600x+22500）=0得x1=150x2=50由于x1=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。4、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入（为维持效用水平不变所需的最小收入）是多少？解：最初的预算约束式为2x+10y=100效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10由此得y/x=1/5x=25,y=5,u=125价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合(x,y)中所需收入为m=8x+10y=8x+10·125/x最小化条件（在xy=125的约束条件下）dm/dx=8-1250x-2=0解得x=12.5,y=10,m=2005、若某消费者的效用函数为U=XY4，他会把收入的多少用于商品Y上？解:由U=XY4，得MUX=Y4，MUY=4XY3，根据消费者均衡条件得Y4/PX=4XY3/PY，变形得：PXX=（1/4）PYY，将其代入预算方程得PYY=（4/5）M，即收入中有4/5用于购买商品Y。6、设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+(1-α)lny；消费者的收入为M;x,y两商品的价格分别为PX，PY；求对于X、Y两商品的需求。解:构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-α)lnY+λ(M-PXX-PYY)对X、Y分别求一阶偏导得2Y/(1-α)X=PX/PY代入PXX+PYY=M得:X=2M/(3-α)PXY=(1-α)M/(3-α)PY7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（U=X2Y3），则他每年应安排多少个劳动日？解：预算约束式为50Y=100L，即Y=2L=2（365-X）构造拉格朗日函数L=X2Y3-λ(Y+2X-730）对X、Y分别求一阶偏导得Y=3X，进而得X=146，Y=438，L=219,即该人每年应安排219个工作日.8、消费X，Y两种商品的消费者的效用函数为U=X3Y2，两种商品的价格分别为PX=2，PY=1，消费者收入为M=20，求其对X，Y的需求量。解：PXX+PYY=M2X+Y=20U=X3（20-2X）2=400X3—80X4+4X5效用极大1200X2-320X3+20X4=0解得X1=0，X2=6，X3=10X=0或10时U=0，不合题意所以X=6，Y=8。9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b>0,并假定每单位商品征收t单位的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明，他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。解:设价格为P时，消费者的需求量为Q1，由P=a-bQ1,得Q1=（a-P）/b。又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为Q2，则Q2=[a-P(1+t)]/b消费者剩余的损失=∫0Q1(a-bQ)dQ-PQ1-[∫0Q2(a-bQ)dQ-P(1+t)Q2]=∫Q1Q2(a-bQ)dQ+P(1+t)Q2-PQ1=(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2+P(1+t)Q2-PQ1政府征税而提高的收益=P(1+t)Q2-PQ1消费者剩余损失—政府征税得到的收益=(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2=(aQ1-bQ12/2)-(aQ2-bQ22/2)=（2tP+t2P2）/2b因为b、t、P>0所以（2tP+t2P2）/2b>0因此，消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。第四章生产者行为理论计算题1、生产函数为Q=LK-0.5L2+0.08K2，现令K=10，求出APL和MPL。解：APL=10-0.5L+8/L，MPL=K-L=10-L2、假定某大型生产企业，有三种主要产品X、Y、Z，已知它们的生产函数分别为：QX=1.6L0.4C0.4M0.1QY=(0.4L2CM)1/2QZ=10L+7C+M试求这三种产品的生产规模报酬性质.解：fX(λL,λC,λM)=1.6(λL)0.4(λC)0.4(λM)0.1=λ0.9QX产品X的规模报酬递减fY(λL,λC,λM)=[0.4(λL)2(λC)(λM)]1/2=λ2QY产品Y的规模报酬递增fZ(λL,λC,λM)=10λL+7λC+λM=λQZ产品Z的规模报酬不变3、已知生产函数为Q=f（K，L）=10KL/（K+L），求解（1）劳动的边际产量及平均产量函数；（2）劳动边际产量的增减性。解：(ａ)劳动的边际产量MPL=dQ/dL=10K2/(K+L)2,劳动的平均产量APL=Q/L=10K/（K+L）（b）因为MPL=10K2/(K+L)2,得：d(MPL)/dL=[-10K2×2(K+L)]/(K+L)4=-20K2/(K+L)3<0所以边际产量函数为减函数。4、某企业使用资本和劳动生产一种小器具，在短期中，资本固定，劳动可变，短期生产函数为Ｘ＝－Ｌ３＋２４Ｌ２＋２４０Ｌ,其中，Ｘ是小器具的每周生产量，Ｌ是雇佣工人的数量，每个工人一周工作４０小时，工资率为１２元／小时。（A）计算企业在下列情况下Ｌ的取值围：⑴　第一阶段;⑵　第二阶段;⑶　第三阶段（B）使企业愿意保持短期生产的最低产品价格是多少？（C）产品以一定的价格出售，使得企业每周可能的最大纯利是１０９６元，为了获得这样多的利润，必须雇佣１６个工人，问企业的总固定成本是多少？解：Ａ.区分三个生产阶段,关键在于确定AP最大和MP＝０所对应的数值：ＡＰ＝－Ｌ２＋２４Ｌ＋２４０所以ｄＡＰ／ｄＬ＝－２Ｌ＋２４Ｌ令其为0得：L＝１２检验当L＜１２时AP是上升的。MP＝－３Ｌ２＋４８Ｌ＋２４０＝０所以　Ｌ２－１６Ｌ－８０＝０所以　Ｌ＝２０时　ＭＰ＝０　当Ｌ＞20时ｄＭＰ／ｄＬ＝－６Ｌ＋４８＜０所以　ＭＰ对于所有的Ｌ＞２０均小于零。因此：⑴第一阶段　０＜Ｌ＜１２　(2)第二阶段　１２＜Ｌ＜２０　(3)第三阶段　Ｌ＞２０B.当Ｐ＝ｍｉｎＡＶＣ时应停产。ｍｉｎＡＶＣ与ｍａｘＡＰ是一致的。从Ａ可知：Ｌ＝１２,而Ｌ＝１２时，由生产函数算出ｘ＝４６０８。每周工资Ｗ＝１２元×４０＝４８０元ＡＶＣ＝ＷＬ／Ｘ＝１．２５元所以最低价格是１．２５元。C.要使利润最大，应使Ｗ＝ＭＲＰ＝ＭＰ×ＰＸ所以ＰＸ＝Ｗ／ＭＰ　Ｌ＝１６时，Ｗ＝４８０　ＭＰ＝２４０　Ｐ＝２元由生产函数知Ｌ＝１６时，Ｌ＝５８８８因此　总收益＝２元×５８８８＝１１７７６元ＴＶＣ＝４８０元×１６＝７６８０Ａ元所以ＴＦＣ＋利润＝４０９６元若利润＝１０９６元，则ＴＦＣ＝３０００元5、某企业仅生产一种产品，唯一可变要素是劳动，也有固定成本。短期生产函数为　　　　　　　　　　　ｘ＝－０.１Ｌ３＋６Ｌ２＋１２Ｌ，其中，ｘ是每周产量，单位为吨，Ｌ是雇佣工人数，问：Ａ.劳动的平均实物产量最大时，需雇佣多少工人？B.劳动的边际实物产量最大时，需雇佣多少工人？C.平均可变成本最小时，生产多少ｘ？D.每周工资３６０元，ｘ的价格为３０元／吨，利润最大时，生产多少ｘ？E.如果工资为每周５１０元，ｘ的价格多大时，企业不扩大或减小生产。F.ｘ的价格１０元／吨，总固定成本１５０００元，若企业发现只值得雇佣３６个工人，每周纯利润是多少？解：Ａ.由生产函数X＝－０.1L３＋６Ｌ２＋１２Ｌ得Ｘ／Ｌ＝－０.１Ｌ２＋６Ｌ＋１２所以令ｄ（Ｘ／Ｌ）／ｄＬ＝－０.２Ｌ＋６＝０则Ｌ＝３０B.由生产函数得ｄＸ／ｄＬ＝－０.３Ｌ２＋１２Ｌ＋１２令ｄ２Ｘ／ｄＬ２＝－０.６Ｌ＋１２＝０所以Ｌ＝２０C.由Ａ知：Ｌ＝３０时，Ｘ／Ｌ最大，此时ＷＬ／Ｘ最小。由该生产函数求得：Ｌ＝３０时，Ｘ＝３０６０D.利润最大的条件是：ＭＲＰ＝Ｐ×ＭＰ＝ＷＭＰ＝Ｗ／Ｐ＝－０.３Ｌ２＋１２Ｌ＋１２＝１２所以０.３Ｌ＝１２所以Ｌ＝４０既然Ｌ＞３０时，ＡＰ＞ＭＰ（见Ａ部分）所以进行生产是合算的。当Ｌ＝４０时，Ｘ＝３６８０E.停止扩大生产点是ＡＰ的最大点，因此由（Ａ）知，Ｌ＝３０利润最大的条件是：ＭＰ＝Ｗ／ＰL＝３０时，ＭＰ＝１０２＝５１０／Ｐ所以Ｐ＝５元F.ＭＰ＝Ｗ／Ｐ当Ｌ＝３６时，ＭＰ＝５５．２＝Ｗ／１０所以Ｗ＝５５２当Ｌ＝３６，Ｘ＝３５４２．４总收益＝３５４２．４×１０＝３５４２４ＴＶＣ＝５５２×３６＝１９８７２所以ＴＦＣ＋利润＝１５５５２ＴＦＣ＝１５０００利润＝５５２元假定某厂商只使用一种生产要素劳动进行生产，生产函数为q=-0.1L3+6L2+12L,求:a.劳动的平均产量最大时厂商雇佣的劳动量b.劳动的边际产量最大时厂商雇佣的劳动量。解:因为APL=q/L=-0.1L2+6L+12,dAPL/dL=-0.2L+6=0,L=30.MPL=dq/dL=-0.3L2+12L+12,dMPL/dL=-0.6L+12=0,则L=20.已知厂商的生产函数为Q=L3/8K5/8，又设PL=4元,PK=5元,求该厂商生产200单位产品时，应使用多少单位的L和K才能使成本降至最低？解：MPL=（3/8）L-5/8K5/8，MPK=（5/8）L3/8K-3/8要实现成本最小化，即要求MPL/MPK=PL/PK=4/5，可得L=（3/4）K于是有（3K/4）3/8K5/8=200，因此K=200（3/4）-3/8，L=200（3/4）5/8证明在柯布—道格拉斯生产函数Q=AKL中，、分别为资本和劳动的产出弹性。证明：柯布—道格拉斯生产函数记为：Q=ALαKβ，EL=(dQ/dL)·(L/Q)=(α/L)·Q·(L/Q)=αEK=(dQ/dK)·(K/Q)=(β/K)·Q·(K/Q)=β计算题1、某企业的平均可变成本为AVC=X2-30X+310，AVC为平均可变成本，X为产量，当市场价格为310时，该企业利润为0，问该企业的固定成本是多少？解：因为利润π=TR-TC=（P-AC）Q且当P=310时，π=0，得AC=310AFC=AC-AVC=310-（X2-30X+310）=-X2+30X，所以TFC=-X3+30X2考虑到MC=d（TVC）/dX=d（X3-30X2+310X）/dX=3X2-60X+310根据P=MC=AC，得产量X=20，因此TFC=-X3+30X2=4000该企业的固定成本是4000单位。2、某企业短期总成本函数为STC=1000+240q-4q2+（1/3）q3。（1）当SMC达到最小值时的产量是多少？（2）当AVC达到最小值时的产量是多少？解：（1）SMC=dSTC/dq=240-8q+q2=（q-4）2+224所以当q=4时SMC达最小值（2）AVC=（STC-AFC）/q=240-4q+（1/2）q2=1/3（q-6）2+204所以当q=6时AVC达最小生产函数q=LK.劳动和资本价格分别为PL和PK,求相应的成本函数.解：生产者均衡时，MPL/MPK=PL/PK，即K/L=PL/PK，q=LK，解得Q=PLL+PKK=2（qPLPK）0.5考虑以下生产函数Q=K0.25L0.25M0.25在短期中，令PL=2，PK=1，PM=4，K=8，推导出短期可变成本函数和平均可变成本函数。解：在短期中，K为固定要素，L、M为可变要素则TFC=PKK=8TVC=PLL+PMM=2L+4M由MPL/PL=MPM/PM得0.25K0.25L-0.75M0.25/2=0.25K0.25L0.25M-0.75/4由此可得L/M=2代入生产函数Q=80.25(2M)0.25M0.25=2M1/2所以M=Q2/4TVC=2L+4M=Q2+Q2=2Q2AVC=TVC/Q=2Q即短期总可变成本函数为TVC=2Q2，平均可变成本函数为AVC=2Q。5、IBM公司是世界上电子计算机的主要制造商，根据该公司的一项资料，公司生产某种计算机的产量围为200到700，在此围，总成本函数为：C=28303800+460800Q式中C——总成本Q——产量问题一：如果该种机型的全部市场为1000台，且所有企业的长期总成本函数都相同，那么占有50%市场份额的企业比占有20%市场份额的企业有多大的成本优势？问题二：长期边际成本为多少？问题三：是否存在规模经济？解：（1）若占有50%的市场份额，Q为500，平均成本则为（28303800+460800·500）/500=517408美元。若占有20%的市场份额，Q为200，则平均成本为（28303800+460800·200）/200=605120美元所以占有50%市场份额的企业的平均成本比占有20%市场份额的企业的平均成本低14%。（2）长期边际成本为460800美元，在200到700的产量围，边际成本为常数。（3）存在规模经济。因为长期平均成本为（460800+28303800/Q），Q越大，平均成本越小。6、已知某厂商的生产函数为Q=L3/8K5/8,又设PL=3元,PK=5元.求总成本为160元时厂商均衡的Q、L与K的值。解：MPPL=（3/8）K5/8L-5/8MPPK=（5/8）K-3/8L3/8由均衡条件MPPL/MPPK=PL/PK推出K=L,代入成本函数3L+5K=160求得K=L=20则Q=L3/8K5/8=207、假设某产品生产的边际成本函数是MC=3Q2-8Q+100,若生产5单位产品时总成本是595,求总成本函数、平均成本函数、总可变成本函数及平均可变成本函数。解：由边际成本函数MC=3Q2-8Q+100积分得成本函数C=Q3-4Q2+100Q+A（A为常数）又因为生产5单位产品时总成本是595可求总成本函数C=Q3-4Q2+100Q+70平均成本函数AC=Q2-4Q+100+70/Q总可变成本函数TVC=Q3-4Q2+100Q平均可变成本函数AVC=Q2-4Q+1008、以重油x和煤炭z为原料得某电力公司，其生产函数为y=(2x1/2+z1/2)2，x,z的市场价格分别30，20，其它生产费用为50。求电力产量y=484时的x,z投入量及总成本为多少？求该电力公司的总成本函数。解：（1）将y=484代入生产函数，得484=(2x1/2+z1/2)2整理后得z=(22-2x1/2)2①所以，成本函数为c=30x+20z+50=30x+20(22-2x1/2)2+50②成本最小化条件为dc/dx=30+40(22-2x1/2)(-x-1/2)=0求解后可得x=64分别代入①②式可得z1=36c=2690(2)把生产函数中的y看作一定数值时，生产函数整理后可得z=(y1/2-2x1/2)2总成本函数即为c=30x+20z+50=30x+20(y1/2-2x1/2)2+50④成本极小化的条件为dc/dx=30+40(y1/2-2x1/2)(-x-1/2)=0⑤由此可得x=(16/121)y代回④式后即得总成本函数c=(60/11)y+509、一厂商用资本（K）和劳动（L）生产x产品在短期中资本是固定的，劳动是可变的。短期生产函数是：x=-L3+24L2+240L，x是每周产量，Ｌ是劳动量，每人每周工作４０小时，工资每小时为１２元，该厂商每周纯利润要达到１０９６美元，需雇佣１６个工人，试求该厂商固定成本是多少？解：设W为周工资率，MPL为劳动的边际产量，P是产品价格，当厂商均衡时，有W=MPL·P，得P=W/MPL由于MPL=-3L2+48L+240L=-3×162+48×16+240=240，且W=12×40=480得P=W/MPL=2美元当L=16时，X=-L3+24L2+240L=5888因此总收益TR=P·X=11776美元而TVC=W·L=480×16=7680美元所以TC=TR-π=10680，TFC=TC-TVC=10680-7680=3000美元，即固定成本为3000美元10．企业的生产函数为q=L1/3K2/3,L的劳动投入（短期可变）、K为资本投入（仅长期可变）、各自的报酬率WL=1、WK=2，求企业的长期成本函数。解：由长期生产函数得L=q3K-2+2K因此，短期成本为C=L+2K=q3K-2+2K极小化的条件为对K求偏微分得-2q3K-3+2=0由此得K=q代入成本函数得c=3q11．某厂商使用两种生产要素A和B，生产一种产品Q，可以选用的生产函数有两种：（1）Q=aA0.25B0.75；(2)Q=bA0.75B0.25。已知生产要素A的价格为1元，令生产要素B的价格为P，求解：（ａ）Ｂ的价格为若干时两种生产方法对厂商并无区别；（ｂ）假如Ｂ的价格超过了上面的价格，厂商将选用哪种生产方法？解：（a）两种生产方法对厂商无差别，要求在每个相同的产量水平下，两种生产方法所费成本相等，即C1=C2，首先求生产方法1的成本函数C1，由MPA/MPB=PA/PB，得(0.25aA-0.75B0.75)/1=(0.75aA0.25B-0.25)/PB可求出B=3A/PB将其代入生产函数1,得Q1=aA0.25(3A/PB)0.75=30.75aAPB-0.75所以A=3-0.75(1/a)PB-0.75Q1,将其代入C1=PAA+PBB=A+3A=4×3-0.75(1/a)PB-0.75Q1类似地,可求出生产方法2的成本函数,得C2=4×3-0.75(1/b)PB0.25Q2要求C1=C2，即4×3-0.75(1/a)PB-0.75Q1=4×3-0.75(1/b)PB0.25Q2，得PB=(a/b)2即当B的价格为(a/b)2时,两种生产方法对厂商无差别.(b)采用生产方法1,产品的平均成本为:C1/Q1=(4PB-0.75)/30.75a采用生产方法2,产品的平均成本为:C2/Q2=(4PB0.25)/30.75b所以,两种生产方法的产品平均成本之比为(PB0.5b)/a当PB>(a/b)2时,(PB0.5b)/a>1,即第1种生产方法的产品平均成本大于第2种生产方法,故应选用第2种生产方法.12、某企业成本函数为c=x2+100，c为总成本，x为产品x的产量画出边际成本曲线和平均成本曲线若产品市场价格p=40，那么x为多少产品价格达到多少时，企业利润为正解：(1)MC=2xAC=x+100/x(2)π=PX-C=40x-x2-100dπ/dx=40-2x=0x=20(3)企业利润为正即π=PX-C>0P>C/X=X+100/X即p>20第五章完全竞争市场计算题1.设完全竞争市场中代性厂商的总成本函数TC=240Q-25Q2+Q3，若该产品的市场价格是1440元，试问该厂商利润最大时的产量和利润。解：均衡条件为P=MC，即240-50Q+3Q2，可得Q=30，л=315002.一个完全竞争的厂商每天利润最大化的收益为5000美圆。此时，厂商的平均成本是8美圆，边际成本是10美圆，平均变动成本是5美圆。试求该厂商每天的产量和固定成本各是多少？解：根据利润最大化条件P=MR=MC，得P=10由TR=PQ=5000，得Q=TR/P=500又∵AC=8TC=AC×Q=4000（元）TVC=AVC×Q=5×500=2500（元）∴TFC=TC-TVC=4000-2500=1500（元）即产量为500，固定成本为1500元。3.完全竞争产业中某厂商的成本函数为TC=q3－6q2+30q+40,假设产品的价格为66元.（1）求利润最大时的产量及利润总额;（2）若市场价格为30元,在此价格下,厂商是否会发生亏损?如果会,最小亏损额为多少?（3）该厂商在什么情况下才会退出该产业?解：(1)根据利润最大化条件P=MR=MC可算出q=6π=176(2)当短期均衡时,P=MR=MC,可得q=4,AC=q2－6q+30+40/q=32可知单位产品的亏损额为2元.因此总的亏损额为8元(3)AVC=q2－6q+30MC=3q2－12q+30根据AVC=MC,求出实现最低平均可变成本时,产出q=3代入P=AVC=q2－6q+30,可得p=21即当p<21时该厂商退出该产业。4.假设某完全竞争厂商生产的某产品的边际成本函数为MC=0.4Q12,总收益的函数为TR=20Q,并且已知生产10件产品时总成本为100元,求生产多少件时利润极大,其利润为多少?解:TR=PQ=20Q,可得P=20由P=MC,得均衡产量Q=80对MC=0.4Q-12进行积分,推出TC=0.2Q2-12Q+A,其中A为任意值将Q=10,TC=100代入上式,得A=200,即TC=0.2Q2-12Q+200所以π=TR-TC=10805.完全竞争厂商的短期成本函数STC=0.04Q3-0.8Q2+10Q+5.试求厂商的短期供给函数.解:厂商的短期供给曲线为高于停止营业点的边际成本曲线.P=MC=0.12Q2-1.6Q+10AVC=0.04Q2-0.8Q+10当AVC=MC时,AVC达到最低点为6故短期供给曲线:P=0.12Q2-1.6Q+10(P≥6)6.用劳动L生产x的企业生产函数为x=4L1/4，x的价格设为p，求供给价格弹性解:设工资报酬率为w，企业利润Л即为Л=px-wL=4pL1/4-wL利润极大化条件为dЛ/dL=pL-3/4-w=0由此得L=(p/w)4/3进而有x=4L1/4=4(p/w)1/3该式对p价格求导得dx/dp=(4/3)p-2/3w-1/3所以供给价格弹性为(dx/dp)·(p/x)=(4/3)p-2/3w-1/3·p/4(p/w)1/3=1/37.某企业的成本函数为C=X3-6X2+15X+10.C为总成本，X为产量，产品价格为15,问：（1）对企业每单位产品征收2.28单位的产品税时，企业的产量如何变化。（2）对企业只征收10单位的定额税时，企业产量如何变化？解:(1）课税前的利润极大化条件P=MC,即15=3X2-12X+15.此时产量为4单位.征收产品税时,厂商的供给价格是消费者需求价格减去产品税,这样一来利润极大化条件为15-2.28=3X2-12X+15,求解得产量为3.8单位,与征税前相比产量减少0.2单位。（2）征收定额税相当于增加厂商的固定成本,并不对边际成本产生影响,故而按照利润极大化条件，征收定额税时产量不变。8.一个完全竞争厂商成本函数为STC=10Q2+1000，1）求他的供给曲线2）产品价格为500元，为了利润最大化，产量应该是多少？解：1）P=MC=20Q由于最低平均可变成本为零,所以短期供给曲线可记为P=20Q2）P=MC=20Q=500得Q=25计算题1.80年代，世界铜的供给曲线和需求曲线分别为:供给Q=-4.5+16P,需求Q=13.5-8P。求铜的均衡价格和均衡产量.解:因为均衡,所以-4.5+16P=13.5-8P，所以P=0.75，则Q=7.5。2.某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000-5000P，供给函数为Q=40000+2500P。求：（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？（2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？解：（1）∵QD=70000-5000P，QS=40000+2500P市场均衡时QD=QS∴70000-5000P=40000+2500P即P=4（元）∵P=LAC最低点=4元∴该行业处于长期均衡状态。（2）当P=4元时，QD=QS=70000-5000*4=50000单位而长期均衡时每家厂商的产量为500单位，故该行业厂商数为n=50000/500=100即该行业有100家厂商。3.设完全竞争市场中代表性厂商的总成本函数TC=240Q-25Q2+Q3，试问市场长期均衡时的产品价格。解：长期均衡条件P=MC=AC，可得Q=12.5P=83.754.成本不变的完全竞争行业存在大量的潜在进入者（如果该行业存在经济利润）。假设每个厂商有相同的成本曲线，其长期平均成本最低点当其产量为20单位时为10元，市场需求曲线为D=1500-50P。求：     该行业长期供给函数;   长期中,均衡的价格—产量组合及其厂商的数目；    使得厂商位于长期均衡中的短期成本函数为TC=0.5q2-10q+200,求出厂商的短期平均成本函数和边际成本函数,以及当短期平均成本最低时的产出水平; 厂商和行业的短期供给函数; 假设市场需求曲线变为D=2000-50P,如果厂商无法在极短时间调整产出水平,求出此时的价格水平及每个厂商的经济利润水平; 长期中,该行业的均衡价格—产量组合及其厂商数目。解：（1）每个厂商的成本函数相同，长期中厂商的均衡产出水平由其长期平均成本最低点给定。行业供给曲线由与长期平均成本最低点相等的价格水平（10元）非出，即P=MC=AC=10。（2）已知需求曲线为D=1500-50P，价格水平为10元，令行业供给S=1500-50×10=1000，每个厂商的均衡产出为20，厂商的个数为1000/20=50。（3）厂商短期平均成本函数为AC=0.5q-10+200/q;边际成本函数MC=q-10.当AC最低时,AC=MC,求出产出水平为q=20.（4）厂商的短期供给函数q=P+10（P≥10）；行业供给函数为：q=50×（P+10）=50P+500。（5）由于厂商不能在极短时间调整其产出水平，令S=1000=D=2000-50P，得P=20，此时单个厂商的利润水平为π=20（20-10）=200。（6）长期中，均衡价格水平由于新厂商的进入将重新回到P=10元的水平（每个厂商均衡产出仍为20），令S=D=2000-50×10=1500；厂商个数为1500/20=75。5.某种商品的需求曲线为QD=260-60P,供给曲线为QS=100+40P。其中，QD与QS分别表示需求量和供给量(万斤)，P表示价格(元/斤)。假定政府对于每单位产品征收0.5元税收。①求税收后的均衡产量Q与消费者支付的价格PD以及生产者获得的价格PS。②计算政府的税收收入与社会的福利净损失。解：(1)在征税前，根据QD=QS，得均衡价格P=1.6,Q=164令T=0.5,新的均衡价格为P’,新的供给量为QS’,新的需求量为QD’.则有:QS’=100+40(P’-T)QD’=260-60P’得新的均衡价格为P’=1.8新的均衡价格为Q’=152所以税收后的均衡产量为152万斤,消费者支付价格1.8元,生产者获得价格1.3元.(2)政府的税收收入=T×Q’=76万元,社会福利损失=(1/2)×0.5×(164-152)=3万元.6.某产品X的市场需求函数D，供给函数S分别为D=10-2PX+0.5M+4PY，S=10+2I+3.5PX,PX为X的价格，PY为相关品Y的价格，M为消费者收入，I代表生产技术水平，求当M=22，PY=5.5，I=2.75时的均衡价格和均衡数量。解：D=10-2PX+0.5×22+4×5.5=43-2PXS=10+2×2.75+3.5PX=15.5+3.5PX43-2PX=15.5+3.5PXPX=5D=S=43-2×5=337.完全竞争厂商在长期中，当其产量达到1000单位时，长期平均成本达到最低值3元。求： 如果市场需求曲线为D=2600000-200000P，求长期均衡的价格和均衡产量，以及长期均衡中厂商的数目。如果市场需求曲线由于某种原因变为D=3200000-200000P，假设厂商无法在短期调整其产量，求此时的市场价格及每个厂商的利润水平。  给定（2）中的需求状况，求长期中均衡的价格和数量组合及此时的厂商数目。解：（1）厂商的长期均衡由其长期平均成本最低点给定。因此厂商长期平均成本最低点等于均衡价格3元，单个厂商的均衡产量为1000单位。已知需求曲线为D=2600000-200000×3=2000000=长期行业供给曲线S，所以厂商数目为2000000/1000=2000。（2）尽管需求发生变化，但是由于厂商无法在短期调整其产出水平，故供给量固定在2000000。令D=3200000-200000P=S=2000000，求得价格水平为P=6；此时，单个厂商的利润水平π=1000×（6-3）=3000。（3）随着需求的变化，长期中，由于超额利润的存在，会促使新厂商进入到该行业中来，使其均衡价格水平恢复到与其长期最低平均成本相等，即3元。与（1）类似，令长期供给S=D=3200000-200000×3=2600000。厂商的数目为2600000/1000=2600。8.在商品X市场中,有10000个相同的个人,每个人的需求函数均为d=12-2p,同时又有1000个相同的生产者,每个生产者的供给函数s=20p,假设政府对售出的每单位X征收2美元的销售税,而且1000名销售者一视,这个决定对均衡价格和均衡产量有何影响?实际谁支付了税款?政府收到了多少?解：市场需求函数为：D=120000-20000p市场供给函数为：S=20000p则D=S时，p=3D=60000商品征税后，市场供给函数为：S'=20000（p-2）则D=S'p'=4D'=40000所以由消费者承担的税费为4-3=1而销售商承担的2-1=1政府从销售商和消费者分别征得40000美圆9．市场期情况下，新鲜草莓的供给量=8000个单位，市场上的需求函数为=20000-100P，求：（1）市场期的均衡价格；（2）如果价格不是由市场调节，而是固定在每单位100元，那么市场的供需缺口是多少？解：市场期的供给量是固定不变的，市场出清的条件是=8000=20000-100PP=120（元）当价格P达到120元时，供求平衡，价格不再变动，市场达到均衡。如果价格被固定在100元，需求=10000>，市场上新鲜草莓会供不应求，一部分需求得不到满足，供求缺口为2000个单位。10．水蜜桃的生产成本是每公斤2元，但运输成本较高，每公斤桃子每公里0.2元。市场上对它的需求为：=5000-200P，在离市场5公里的地区有果园，每季产量为3000公斤，不考虑水蜜桃的储存，求：（1）生产厂商共得多少净利润？（2）若要新建一个产量为1000公斤的果园，那么这个新果园离市场最远的距离。 解：不考虑储存，属于市场期均衡市场出清的条件是=（1）3000=5000-200PP=10利润π=30000-9000=21000（2）新的均衡价格=4000=5000-200PP=5对于新果园里的厂商来说，利润π=5000-1000×(2+0.2×n),n为距离市场的公里数必须满足π≥0，否则新厂商不会经营下去5000-1000×(2+0.2×n)≥0n≤15　　这个新果园离市场最远的距离为15公里。11．在短期的完全竞争市场上，市场供给函数为=1800P-60000，市场需求函数为=100000-200P,求：（1）短期均衡价格；（2）厂商面对的需求函数。  解：均衡条件：=1800P-60000=100000-200P短期均衡价格为：P=80(元)在完全竞争市场，厂商的产量在市场上是微不足道的，它是价格的接受者，可以在既定的价格下卖出任意多的商品，所以，厂商面对的需求曲线是一条水平直线P=8012．上题中，若有个厂商的短期成本函数为：STVC=0.1–6+132.5q,STFC=400，求：（1）该厂商的利润最大化产量是多少?（2）该厂商的净利润是多少？（3）若该厂商的生产成本发生变化，固定成本增加：STFC=400+c，那么c为多少时该厂商开始停止生产？  解：（1）厂商追求利益最大化，即π最大化，必须MR=MC完全竞争厂商的边际收益就是产品的价格，所以均衡产量是P=MC的产量0.3-12q+132.5=80q=35或q=5，经检验q=5不是π的极大值点所以该厂商的短期均衡产量是35（2）π=TR-TC=Pq-(0.1–6+132.5q+400)=825（3）固定成本的变化不影响MC的大小，从而不影响均衡产量，只影响到利润π=825-c，当固定成本的增量c为825时，厂商的净利润为零，当c超过825元，厂商的净利润开始为负，产生亏损，但只要c小于1225元，此时的总收益能够补偿全部的变动成本和一部分固定成本，短期厂商仍然会选择生产。当c超过1225元时总收益不仅不能补偿固定成本、连变动成本也不能补偿，此时厂商会停止生产、退出此行业。13．快餐业是近似的完全竞争市场，厂商的短期成本函数是：STVC=0.2+3q,STFC=2000，q是每天的产量、单位是份，成本单位是元，（1）求：该厂商的短期供给函数；（2）假设这个完全竞争市场中共有1000家成本函数相同的厂商，求：市场的供给函数。 解：（1）厂商的短期边际成本SMC=0.4q+3当市场价格为P时，厂商的均衡产量是使SMC=MR=P的产量，并且由于是短期均衡，只要TR≥STVC，现有厂商还是愿意供给产品的得出厂商的短期供给函数为：q=2.5P-7.5，（其中q<100的部分，厂商处于亏损）（2）市场上有100家相同的厂商，市场供给量Q=1000q=2500P-7500市场供给函数为：Q=2500P-750014．某企业处于完全竞争市场中，它的成本函数为STC=0.1+8q,该企业利润最大化的产量为q=30。现在企业准备再建一条生产线，新生产线的成本函数为STC*=0.05+10q，求：新生产线的产量是多少？15．完全竞争市场中，厂商的长期成本函数LTC=０.05-+10q，当市场价格P=30时，该厂商的利润最大化产量以及净利润是多少？这个产出点是均衡的吗？ 解：厂商的长期利润最大化产量是由LMC=MR来决定的0.15-2q+10=30解得q=20π=TR-LTC=600-(０.05-+10q)=400厂商的净利润为400，在完全竞争市场，这种产出点是不稳定的，因为长期净利润的存在会吸引新的加入者，使行业的供给曲线增加，在需求不变的情况下价格会下降，直到厂商的净利润为零。小家电市场上的年消费量（单位：万台）与价格水平有关：Q=20000-4P(P是产品单价),市场是完全竞争的。厂商的成本函数均为LTC=０.001q3-2q+2000q（q是厂商的年产量，单位：台）。求：（1）市场的长期均衡价格、厂商的均衡产量；（2）市场均衡产量、市场中厂商个数。 解：完全竞争市场的长期均衡价格是厂商的长期平均成本的最低点P=LAC=LMC=SAC=SMC根据厂商的长期成本曲线，可知LAC曲线的最低点为q=1000(元),LAC=1000(元)市场的均衡价格为1000元，厂商的均衡产量为1000台市场的均衡产出是指在均衡价格水平上达到供求平衡的产出==20000-4P=16000(万台)市场中厂商的个数为16万17．完全竞争市场，各项条件同上题，但市场需求发生变化，新的需求函数为：Q=22000-4P。（1）在短期对市场及厂商会有什么影响？（2）若此行业是成本固定不变，求新的长期均衡价格、产量、厂商个数，以及行业的长期供给函数（3）若此行业的成本随新厂商进入而发生变化，厂商的新的成本函数为LTC=０.001–2.2+2500q，求新的均衡价格、产量、厂商个数，以及该行业是成本递增型的还是递减型的？ 解：（1）在短期由于市场需求增加，原有的供给不足，会推动价格上升，厂商在新的价格条件下确定产量，使每个厂商的产量都提高了，同时厂商获得净利润，这也促使新的厂商开始进入这一行业。（2）此行业是成本不变的，所以厂商的长期均衡点依然是q=1000(台),LAC=1000(元)，新的均衡价格P=1000(元)，厂商的均衡产量q=1000(台)新的行业均衡产量Q=22000-4P=18000(万台)新的均衡下厂商数目为18万。行业规模扩大过程中，产品价格不变，说明供给函数为平行于Q轴的直线P=1000（3）若新厂商加入使得此行业中厂商的成本函数发生变化，新的长期均衡就要依据新的成本曲线来决定LAC=0.001+2.2q+2500最低点为q=1100(台),LAC=1290(元)新的均衡价格为1290元，厂商的均衡产量q=1100(台)新的行业均衡产量Q=22000-4P=16840(万台)新的均衡下厂商数目为15.31万随着行业规模扩大，产品价格上升，说明该产业是成本递增型的，供给函数是向右上方倾斜的。18农产品市场是近似的完全竞争市场，生产者的长期成本函数LTC=0.01-4+500q，市场需求函数Q=1200-0.1P，Q的单位是万吨、q的单位是吨、成本单位为元。（1）求：市场的长期均衡价格、总产量及生产者个数；（2）政府决定给农产品以补贴，每单位产品补贴5元，求此时的长期均衡价格、总产量及生产者个数。  解：（1）生产者的长期平均成本LAC=0.01+4q+600完全竞争市场长期均衡价格P==100生产者的均衡产量为200吨市场上的总产量为Q=1200-0.1P=1190（万吨）市场中的生产者数目为59500（2）政府的补贴使生产者的成本减少：LTC=0.01-4+500q-5q完全竞争市场长期均衡价格P==95生产者的均衡产量仍然为200吨市场上的总产量为Q=1200-0.1P=1190.5（万吨）市场中的生产者数目为59525政府的补贴行为使产品价格下降、生产者数目和总产量增加。假设某商品的50%为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2，另外50%为25个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3，试问这100个消费者合计的弹性为多少？解答：设被这１００个消费者购得的该商品总量为Ｑ，其市场价格为Ｐ。据题设，其中７５人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为－２，这样，他们每人的弹性Ｅｄｉ＝－２＝ｄＱｉ/ｄＰ·Ｐ/Ｑｉ，ｄＱｉ/ｄＰ＝－２·Ｑｉ/Ｐ，ｉ＝１，２，…，７５（１）且eq\o(\s\up11(75),\s\do4(∑))Ｑｉ＝Ｑ／２（２）又，另外２５人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为－３，这样，他们每人的弹性Ｅｄｊ＝－３＝ｄＱｊ/ｄＰ·Ｐ/Ｑｊ，ｄＱｊ/ｄＰ＝－３·Ｑｊ/Ｐ，ｊ＝１，２，…，２５（３）且eq\o(\s\up11(25),\s\do4(∑))Ｑｊ＝Ｑ／２（４）由此，这１００个消费者合计的弹性为Ｅｄ＝ｄＱ/ｄＰ·Ｐ/Ｑ＝ｄ（∑Ｑｉ＋∑Ｑｊ）/ｄＰ·Ｐ/Ｑ＝（eq\o(\s\up11(75),\s\do4(∑))ｄＱｉ/ｄＰ＋eq\o(\s\up11(25),\s\do4(∑))ｄＱｊ/ｄＰ）·Ｐ/Ｑ将式（１）、（３）代入，得Ｅｄ＝[eq\o(\s\up11(75),\s\do4(∑))（－２·Ｑｉ/Ｐ）＋eq\o(\s\up11(25),\s\do4(∑))（－３·Ｑｊ/Ｐ）]·Ｐ/Ｑ＝[－２/Ｐeq\o(\s\up11(75),\s\do4(∑))Ｑｉ＋（－３/Ｐ）eq\o(\s\up11(25),\s\do4(∑))Ｑｊ]·Ｐ/Ｑ将式（２）、（４）代入，得Ｅｄ＝（－２/Ｐ·Ｑ/２－３/Ｐ·Ｑ/２）·Ｐ/Ｑ＝（－２/２－３/２）·Ｑ/Ｐ·Ｐ/Ｑ＝－５/２