2020年九年级数学中考典型压轴题专项训练：四边形(含答案)

2020年九数学中考典型压轴题专项训练：四边形1、如图，四边形ABCD为平行四边形，/BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证：BE=CD;(2)连接BF,若BF^AE,/BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.2、如图，矩形ABCD43,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF连接EF,与BGAD分别相交于P、Q两点.(1)求证：CP=AQ(2)若BP=1,PQ=2/2，/AEF=45°,求矩形ABCM面积.3、如图，在？ABC邛，点E,F在对角线AC上，且AE=CF求证-：(1)DE=BF(2)四边形DEBF是平行四边形.4、如图，E是？ABCD勺边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：△AD®△FCE(2)若/BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的长.5、如图，AC是矩形ABCD勺对角线，过AC的中点O作EHAC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AB=j3,/DCF=30,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)BEC6、如图，？ABC邛,AB=2,AD=1,/ADC=60,将？ABCD&过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED是菱形；(2)若点P时直线l上的一个动点，请计算PD'+PB的最小值.7、如图，菱形ABCD勺对角线AC与BD交于点Q/ABC/BAD=12,BE//AC,CE//BD.(1)求tan/DBC勺值；(2)求证：四边形OBEB矩形.8、在矩形ABCM,AB=3,AD=4动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QWQD,PD若两个点同时运动的时间为x秒(0vxW3),解答下列问题：(1)设^QPD勺面积为S,用含x的函数关系式表示S;当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；(2)是否存在x的值，使得QPLDR试说明理由.9、如图，点P在矩形ABCD勺对角线AC上，且不与点A,C重合，过点P分别彳^边AB,AD的平行线，交两组对边于点E,F和G,H.(1)求证：△PHe△CFP;(2)四边形PEDH^四边形PFBGIB是矩形，并直接写出它们面积之间的关系.10、如图，在四边形ABCD43,AD//BC,/A=/C,点P在边AB上.(1)判断四边形ABCD勺形状并加以证明；(2)若AB=AD以过点P的直线为轴，将四边形ABC所叠，使点RC分别落在点B'、C上，且B'C'经过点D,折痕与四边形白^另一交点为Q.①在图2中作出四边形PB'C'Q(保留作图痕迹，不必说明作法和理由)；②如果/C=60°,那么誓■为何值时，B'PXAB.FDDCDC图上图211、某同学要证明命题“平行四边形的对边相等.”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证.已知：如图，四边形ABC皿平行四边形.求证：AB=CDBC=DA(1)补全求证部分；(2)请你写出证明过程.证明：二.四边形ABC/平行四边形，.AB//CRAD//BC,•/BAC4DCA/BCA4DACrZBAC=ZBCA在△ABC和^CDA中，I&CXA,lZBCA=ZLACABCCDA(ASA•.AB=C【BC=DAEH12、在矩形ABCD43,E为CD的中点，H为BE上的一点，而二3,连接CH并延长交AB于点G连接GE并延长交AD的延长线于点F.ECEHAB(1)求证：年(2)若/CGF=90,求才的值.DlrDMDL13、如图，将矩形ABCDgAF折叠，使点D落在BC边的点E处,点G,连接DG(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EGGF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG=66EG=2JE,求BE的长.E作EG//CD交AF于14、如图，已知？ABCDB勺三个顶点A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)关于直线AD的对称图形ABGD(1)若m=3试求四边形CCBB面积S的最大值；(m>n>0),作?ABCD(2)若点B恰好落在y轴上，试求f的值.15、已知正方形ABCDP为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF使点F在线段CB的延长线上，连接EAEC(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC(2)若点P在线段AB上.①如图2,连接AC,当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；②如图3,设AB=a,BP=b,当EP平分/AEC寸，求a：b及/AEC的度数.16、如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：如图2,在四边形ABCD^,AB=ADCB=CD问四边形ABC皿垂美四边形吗？请说明理由.(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCM组^•边AB,CD与BC,AD之间的数量关系.猜想结论：(用文字语言叙述)写出证明过程(先画出图形，写出已知、求证)(3)问题解决：如图3,分别以Rt^ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE连接CE,BGGE，已知AC=4AB=5,求GE长.17、如图1,已知点E,F,G,H分别是四边形下思路可以证明四边形EFGH^平行四边形：ABCD^边AB,BC,CDDA的中点，根据以(1)如图2,将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F,G,H仍是BC,CQDA的中点,求证：四边形CFGF＞平行四边形；(2)如图3,在边长为1的小正方形组成的5X5网格中，点A,C,B都在格点上，在格点上画出点D,使点C与BC,C口DA的中点F,G,H组成正方形CFGH（3）在（2）条件下求出正方形CFGH勺边长.图1废12圜318、如图，面积为6的平行四边形纸片ABCM,AB=3,/BAD=45,按下列步骤进行裁剪和拼图.图①图②园③第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△AB/口△BCD氏片，再将△ABD氏片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和4ADE纸片；第二步：如图②，将^ABE纸片平移至△DCF处，将^ADE纸片平移至△BCG^b;第三步：如图③，将^DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQMfe（边PQfDC重合，△PQ喇△DCF在DC同侧），将4BCG氏片翻转过来使其背面朝上置于△PRNi,（边PR与BC重合，△PRNB4BCG在BC同侧）.则由纸片拼成的五边形PMQRNh,对角线MNK度的最小值为.19、如图，在矩形ABCM,点O为坐标原点，点B的坐标为（4,3）,点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线li：y=2x+3,直线12：y=2x-3.（1）分别求直线^与*轴，直线l2与AB的交点坐标;（2）已知点M在第一象限，且是直线12上的点，若^APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线11和直线l2上的点所组成的图形为图形F.已知矩形ANPQ勺顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由).20、如图1,在正方形ABCDM乍/EAF=45,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AHUEF,垂足为H.(1)如图2,将^ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG①求证：△AG监△AFE;②若BE=2,DF=3,求AH的长.(2)如图3,连接BD交AE于点M交AF于点N.请探究并猜想：线段BMMNND之间有什么数量关系？并说明理由.参考答案：1、【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，AD//BC,AB//CD,AB=CD,ZB+ZC=180°,/AEB=ZDAE,AE是/BAD的平分线，/BAE=ZDAE,/BAE=ZAEB,AB=BE,.1.BE=CD;解：AB=BE,ZBEA=60°,［来源：学#科#网］△ABE是等边三角形，AE=AB=4,BF±AE,AF=EF=2,bf=7aB2-AF2=V42-22=2V3,•••AD//BC,/D=ZECF,/DAF=ZE,在△ADF和△ECF中，［ZD=ZECF/d&f二Ne,△AD-△ECF(AAS),△ADF的面积=△ECF的面积，平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=LaE?BF=^X4X26=46.2、【解答】（1）证明：二•四边形ABCD^矩形，A=ZABC=/C=ZADC=90,AB=CQAD=BCAB//CDAD//BC,・./E=ZF,1.be=df.•.ae=cf|rZC^ZA在△cfp^aaeq中，彳dE,IZF=ZE•.△CF咤△AEQ（ASA,.CP=AQ（2）解：AD//BC,[来源：学#科#网Z#X#X#K]/PBE=/A=90°,••/AEF=45,•.△BER△AEQ^等腰直角三角形，.•.BE=BP=1,AQ=AEpe=J1bp=/2,••EQ=PE+PQ=j+2扬3日.AQ=AE=3.•.AB=AE-BE=2,.CP=AQAD=BC.•.DQ=BP=1.AD=AQ+DQ=3+1=4矩形ABCDB勺面=AB?AD=2X4=8.3、【解答】证明：（1）二.四边形ABC比平行四边形，•.AD//CRAD=CB••/DAE4BCR在△ADE^ACBF中，"AD=CB』ZDAE=ZBCF1AEXFADE^△CBF.•.DE=BF(2)由(1),可得，△AD总△CBF,••/ADE4CBR••/DEF土DAE吆ADE/BFE=/BCF+ZCBF,•/DEF土BFE•.DE//BF,又「DE=BF.•・四辿形DEBF是平行四边形.4、【解答】(1)证明：二•四边形ABC比平行四边形,•.AD//BC,AB//CD,•/DAE4F,/D=ZECF,•.E是？ABCDB勺边CD的中点，DE=CE在△ADE^AFCE中，'NDAE二NF』ZD=ZECF,叩CE.AD&△FCE(AAS；(2)解：•••AD监△FCE，AE=EF=3.AB//CDaAAED4BAF=90°,在7ABCD43,AD=BC=5D国长样-研2=4/52-32=4,•.CD=2DE=85、【解答】（1）证明：.「O是AC的中点，且EF±AC.•.AF=CFAE=CEOA=OC••・四边形ABCD^矩形，••.AD//BC,/AFO=/CEO在△AOF和△COE4\[Zafo=zceoNaof二Ncoe,OA=OC•.△AOM△COE（AAS,.•.AF=CE.AF=CF=CE=AE•・四边形AECF是菱形；⑵解：•••四边形ABCD^矩形，.•.CD=AB=/1,CD在Rt^CDF中，cos/DCF"，/DCF=30,CF=————cosSO=2••・四边形AECF是菱形,，CE=CF=2•・四边形AECF是的面积为：EC?AB=273.6、【解答】证明：(1)二,将？ABC曲过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，/DAE=/D'AE,/DEA=/D'EA,/D=ZADE,DE//AD',/DEA=/EAD,/DAE=/EAD=/DEA=/D'EA,./DAD=/DED,•・四边形DADE是平行四边形，•.DE=AD,•・四边形ABCD^平行四边形，.•.AB=DCAB//DQ.CE=DB,CE//D'B,•・四边形BCED是平行四边形;,.AD=AD,•.?DADe是菱形，(2)二•四边形DADE是菱形,・•.D与D'关于AE对称,连接BD交AE于P,贝UBD的长即为PD'+PB的最小值,过D作DGLBA于G,CD//AB,••/DAGhCDA=60,.AD=1,•ag=^,dg孚■-BD=I.1+!」=.一，•.pd'+pb的最/」、值为Vr7、【解答】（1）解：•••四边形ABCD^菱形,1•.AD//BC,/DBk/ABC./ABC吆BAD=180,•/ABC/BAD=12,/ABC=60,./BDC=7/ABC=30,贝Utan/DBC=tan30°=心;3(2)证明：二.四边形ABC虚菱形,•.AC，BD,即/BOC=90,.BE//AC,CE//BD,・.BE//OCCE//OB,••・四边形OBE%平行四边形，则四边形OBE%矩形.8、【解答】解：(1)二.四边形ABCM矩形，BC=AD=4CD=AB=3当运动x秒时，则AQ=xBP=x,BQ=AB-AQ=3-x,CP=BOBP=4—x,IlII11•••Saadc=—AD?AQ=^-X4x=2x,SabpcF十BC?BP1-(3x)x=|-x-x2,Sa二S/\pcd=,_PC?CD=-?(4上—x)?3=6—又S矩形abc=AB?BC=3X4=12,・..S=S矩形abcd-Saadq-Sabpq-Sapcc=12—2x-2x)yx2-2x+6=^2)2+4,即S§(x-2)2+4，S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2,・•・当0vxv2时，S随x的增大而减小，当2vxW3时，S随x的增大而增大,又当x=0时，S=5,当S=3时，S=|,但x的范围内取不到x=0,•.S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4;（2）存在，理由如下：由（1）可知BQ=3-x,BP=x,CP=4—x,当QPLDP时，贝U/BPQ吆DPCWDPC吆PDC・•/BPQhPDC且/B=ZC,.BP6△PCD假簿即言等解得x¥（舍去）或x=.•.当x=-一的3时QP!DP.29、【解答】证明：（1）二.四边形ABCM矩形,••.AB//cqAD//BC.1.PF//AB,••.PF//CQ・./CPF=/PCH1.PH//AD,•.PH//BC,./PCF=/CPH在△PHC^n△CFP中,[/cpf=Npchpcxp,NFCF二NCFH.△PHC^△CFP(ASA.(2)二.四边形ABCM矩形，/D=ZB=90°.又「EF//AB//CDGH//AD//BG••・四边形PEDH^四边形PFBGtB是矩形.••EF//AB,••/CPF土CAB在Rt^AGP中，/AGP=90,PG=AGtan/CAB在Rt^CFP中，/CFP=90,CF=PF?tan/CPFS矩形deph=D曰EP=CF>EP=PF>EP?tan/CPpS矩形PGB=P(3>PF=A(3>PF?tan/CAB=EPPF?tan/CAB,.tan/CPF=tanZCAB一S矩形DEP甲S矩形PGBF.10、【解答】解：(1)四边形ABC皿平行四边形证明：二.在四边形ABCD43,AD//BC,.•/A+/B=180°,••/A=ZC,.•/C+/B=180°,•.AB//CQ••・四边形ABC比平行四边形;（2）①作图如下:②当AB=AD寸，平行四边形ABCD^菱形,由折叠可得，BP=BP,CQ=CQBC=BC',/C=ZC=60°=/A,当B'P±AB时，由B'P//CQ,可得CQ!CQ・./PEA=30=/DEB,/QDC=30°=/B'DE,・,.B'D=B'E,设AP=a,BP=b,贝U直角三角形APE中，PE=/3a,且B'P=b,BC=BC=CD=a+h••.B/E=b-.；；a=B,D,，C'D=a+b-(b-V3a)=a+-73a,，直角三角形CQD中，C'Q="；§a=CQDQ=1c'Q当二a,-.CD=DQ+CQ=a+bVWAa+_a=a+b,22整理得（.；+1）a=b,11、【解答】（1）已知：如图，四边形ABC虚平行四边形.求证：AB=CDBC=DA故答案为：BC=DA(2)证明：连接AC,如图所示：•・四边形ABCD^平行四边形，•.AB//CDAD//BC,•.ZBAC4DCA/BCA=/DACCZBAC=ZDCA在△ABC^ACDA中，M>CA,[Zbca=Zdac•.△ABC^△CDA(ASA,.•.AB=CQBC=DA故答案为：•・四边形ABCD^平行四边形，•.AB//CqAD//BC,•.ZBAC4DCA/BCA4DACZac二/dca在△ABC^ACDA中，\&CXA,,ZBCA=ZDAC・・・・△AB(C^△CDA(ASA,.•.AB=CDBC=DA12、【解答】(1)证明：二•四边形ABC皿矩形,•.CD//AB,AD=BCAB=CDAD//BC,.CE"△GBHBGBH(2)解：作EMLAB于M,如图所示:贝UEM=BC=ADAM=DE•.E为CD的中点，.DE=CE设DE=CE=3a则AB=CD=6a由(1)得:EC二EHBG-BH=3，BG=，-CE=a,•・8=52•••/EDF=90=/CGF/DEF=/GEC・.△DEM△GEC.DE_EF"EG-EC'••.EG?EF=DEEC,1.CD//AB,3.•.EF=--EQ3•.EG?--EG=3a?3a,解得：EG=a在RtAEMCJ^,GM=2a•・王叫’“2-G]J2sa，.•.BC=-：a,AB6a_3..:13、【解答】解：（1）证明：GE//DF,••/EGF_/DFG.•.由翻折的性质可知：GD=GEDF=EF/DGFWEGF••/DGFhDFG•.GD_DF.DG_GE_DF_EF•・四边形EFDG^菱形.,、/1…(2)EG_—GF?AF.理由：如图1所示：连接DE,交AF于点O.国1••・四边形EFDG^菱形,.GF，DE,OG=OF=GF.2••/DOFhADF=90,/OFDhDFADF_FQAF一而,即D」=FC?AF..△DOS△ADF.•-20=-i-FG（FG+⑥,整理得：Fd+6FG-40=0.DF=EG.eG!=---gf?af.(3)如图2所示：过点G作GHLDG垂足为HGF?AF,AG=6EG=2/U解得：FG=4,FG=-10（舍去）,.DF=GE=2^,AF=10,••AD=Ja>-Df2=4』..GHLDGAD±DC,••.GH//AD.・.△FGH^△FADADAF，GH「5BE=AD-GH=4二一14、【解答】解：（1）如图1,•.YABCM四边形ABCiD关于直线AD对称,，四边形ABCD是平行四边形，CG±EF,BBiXEF,••.BC//AD//BiCi,CC//BB,••・四边形BCERBCEF是平行四边形,••S?BCE尸S?BCD=S?B1C1DkS?B1C1EFS?BCC1B=2S?BCDA•.A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)、m=3,1.AB=m-n=3-n,OD=2n.•.S?bcda=AB?OD=(3-n)?2n=-2(n—3n)=-2(n—；)S?bccib=2S?bcd=-4(n—7^)2+9.,「-4v0,当n=^时，S?bccibi最大值为9;(2)当点B恰好落在y轴上，如图2,.DF±BB,DB^OR./BDF+/DBF=90°,/BBO+/OBB=90°,./BDF=/OBB.•/DOAhBOB=90°,.△AOS△BOB一⑪一而，.n0B1OBR.由轴对称的性质可得AB=AB=m-n.在Rt^AOB中，n2+(5)2=(m-n)2,整理得3m2-8mn=0.1.-m>0,3m-8n=0,,n3..一irla15、【解答】解：（1）•四边形ABCD^四边形BPEF是正方形,.•.AB=BQBP=BR•.AP=CF在△APE和△CFE中,(AP=CFZP=ZF,PE=EF.AP段△CFEEA=EC(2)①;P为AB的中点,・•.PA=PB又PB=PEPA=PE・・./PAE=45,又/DAC=45,丁./CAE=90,即^ACE是直角三角形；②;EP平分/AECEP±AG.•.AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b-a1.PE//CF,.PEPG日口h31b=~二,即—=,BCGB'a2b-a解得，a=："b;作Ghl±AC于H,••/CAB=45,b,HG=yAG=yx(2/^b―2b)=(2-\<2)b,又BG=2b—a=(2-\/l)•.GH=GBGH!AC,GBLBC,••/HCGWBCG1.PE//CF,•••/PEGhBCG•••/AEC4ACB=45..•.a：b=厄1;AEC=45中I邸I16、【解答】解：(1)四边形ABCD^垂美四边形.证明：AB=AD••点A在线段BD的垂直平分线上，,.CB=CD••点C在线段BD的垂直平分线上，，直线AC是线段BD的垂直平分线，.•.AC±BD,即四边形ABC皿垂美四边形；(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.如图2,已知四边形ABCD43,AC!BD,垂足为E,求证：AE2+BC2=aB'+CE2证明：•••AC!Bq••/AED4AEB4BEC4CED=90,由勾股定理得，ae2+bC=aE2+dE!+bE2+cE!,A百+cD=AE+BE2+cE+Dd,•.AD2+BC2=aB'+CD2;(3)连接CGBE,••/CAGhBAE=90,••/CAG它BAChBAE+ZBAG即/GABhCAE在△GA*口△CAE中，'AG=AC,/GAB二NCAB,1AB二AEABGhAEC又/AEC+/AME=90,・•/ABG吆AME=90,即CE!BQ•・四边形CGE更垂美四边形，由（2）得，cG+b==cB+g',,.AC=4,AB=5,.BC=3,CG=4-：,BE=5,二•.G^cG+bE2-CE2=73,••GEV73.SD17、【解答】(1)证明：如图2,连接BD,♦「C,H是ABDA的中点,・.CH是△ABD的中位线，•.CH//BD,CH=：BR同理FG//BD,FG='BD,•.CH//FGCH=FG••・四边形CFGK平行四边形；(2)如图3所示,⑶解：如图3,BD=/5,FG《BD弯，・•.正方形CFGH勺边长是座IMiq18、【解答】解：.「△AB图ACDF^△PMQ，AE=DF=PM/EAB土FDC4MPQAD®△BC3△PNR.AE=BG=PN/DAE4CBGhRPN，PM=PN•・四边形ABCD^平行四边形，••/DAB4DCB=45,./MPN=90,•.△MPN^等腰直角三角形，当PM最小时，对角线MNM小，即AE取最小值,•・当AEJ_BD时,AE取最小值,过D作DF,AB于F,••平行四边形ABCD勺面积为6,AB=3,DF=2,••/DAB=45,.•.AF=DF=2.•.BF=1,•・ae3上坐国BDTVs5l6V10一MN^y"^AE=,5故答案为:.19、【解答】解：(1)直线li：当y=0时，2x+3=0,x=--1则直线li与x轴坐标为(-0)直线12：当y=3时，2x-3=3,x=3则直线12与AB的交点坐标为(3,3);(2)①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC,如图1,/APB>/ACB>45°,•.△APM不可能是等腰直角三角形，，点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2,过点M作MNLCB交CB的延长线于点N,贝URtAABP^RtAPNM.AB=PN=4MN=BP设M(x,2x—3),贝UMN=x-4,.2x-3=4+3-(x-4),14x=・••M(1419）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3,设M(x,2x-3),过点M作MGLOA交BC于点H,则RtAAM1G^RtAPM1Hi，AG=MH=3—(2x—3)，x+3—(2x—3)=4,x=2，M(2,1);设M(x,2x-3),同理可得x+2x-3-3=4.，x==113综上所述，点M的坐标为14319S),(2,1)113）；（3）x的取值范围为-*x<0或0