叶邦角电磁学习题解答第二章节-新

第二章2-1(PB13000307赵朴凝)解:设地球面带电荷为Q，地球半径为R，则地球表面的电势为V=Q4πε�R地球表面电荷数与电荷量的关系为N=Qe式中e为每个电子所带的电荷量。所有移出地球的电子的总质量与电荷数的关系为m=Nm�以上三式合并，得m=4πε�RVm�e带入V=1V,R=6.4×10�m，可得m=4×10���kg2-2(PB13000307赵朴凝)解(1)取无限远电势为零，由电势与场强的关系可得V=�Edl=�kq4πε�l�dl=kq8πε�r�����(2)在这个问题中，无穷远并不是一个等势面，因此计算电势不能以无穷远为参照。将平板切割为无数个同心圆，用a代表其半径，使相邻两个同心圆间距离很小,并使得共同的圆心O与P的连线OP与平板垂直。这样一来，总电势等于每一个同心圆上的电荷产生的电势之和。当平板的面电荷密度为σ时，P的电势为V=�kσ4πε�(r�+a�)2πada积分得V=kσ4ε�(1−2lnr)+V�2-3(PB13000307赵朴凝)解:设内球电荷量为q，由内球的电势为零可得：14πε�QR�+14πε�qR�=0而球壳的电势由下式给出V=14πε�Q+qR�由此可得：q=−R�R�QV=14πε�R�−R�R��2-4(PB13203007丁历杰)解：1若有导体电势低于或等于零。则对这些导体中电势最低的一个，表面仅有电场线终结与此，所以此导体上处处电荷面密度小于零，所以此导体带负电，矛盾。所以所有这些导体的电势都高于零。2若存在导体B电势高于A的电势，则有一电场线从B出发到A结束，所以B上发出电场线的地方电荷面密度大于零，又由于B总电量为零，所以B上必有另一地方电荷面密度小于零，所以有电场线从无穷远出到达B，又因为A总电荷大于零所以有电场线从A出发到达无穷远处。所以得到U�>U�>U�>U�,矛盾。所以其他导体的电势都低于A的电势。2-5(PB13203092李晗)解：在电场线中取一个方形回路，其中两边在两条电场线上，另外两边垂直于电场线由于静电场为保守场，电场的回路积分为0则可以求得E1=E2这个结论对于任意位置都成立2-6(PB13210036杨阳)00222211()411()4(rcos)(rsin)(rcos)(rsin)22qrrqll�pepe����+-=-=--+++当r》l时，20cos4pr��pe=2-7(PB13203148肖伟)解：易知，dq电量在P点产生的电势为：dφ=�����√�����故轴线上距圆心O为x的任意一点P的电势为：U=�Q2���4��√��+�����=�4��√��+��2-8(张加晋PB13203136)解：由222/Axya�=++� �� �3222232222��=-=++=-=++������AxExxxxxyaAyEyyyyxya0�=-=����EzzE�总电场=+��������EExEy大小 12222232222()+=+=++��������AxyEExEyxyz��E与X轴的夹角tanEyyxEx�==������2-9(张加晋PB13203136)解：先求负电荷的产生的电场由高斯定律得：在原子外部12014pe-=ZeEr在原子内部0032233413..4443aarZeZerErrrppepep--==�在r处此电子产生的电势12100032231.443422aaaaaaarrrrrrEdrEdrZerZedrdrrrZerrr�pepepe+�+�=+--=+��=-+����òòòò而原子核心产生的电势20120231.413422aaZerZerrrr�pe���pe=�=+��=-+�����在r处的场强002323212414aarZerErrrZerrr�pepe-��=-=-+������=-����2-10（傅健洋PB13203164）解：对于均匀带电的球体，其势能为:从内到外每层的势能332(r)304260200444334320ppeppepe=====ò�pRpprqqRdEUdqrdrrRrqdrRqEdER对于铀核：203(92e)20pe=pUER分裂后：2''03(46e)220pe=´pUER且有：'200-=pUpUEEMeV带入158.6810-=´Rm可得'155.710-=´Rm2-11(王晨PB13203127)答：不能。电荷不能在绝缘材料中自由运动，无法放电，故不能。2-12(PB13203083余阳阳)解：极板电量不是等量异号，接正极板的带电量为Q+CU,接负极板的带电量为Q-CU2-13(PB13203072马超)解：设带电量为qmax2323max5maxee41010340337.96104010,65=7.67/3且有在静电场中稳定时&&�pp�p�p(p(-======#=´==#=#=���AkqEEaEqmgagEaEagkEEaamkgFmgFvamgFFvvmsa2-14(王晨PB13203127)答：22232120123021100a12,====(++1)则有由于,则有则其中为面密度&&&&eeeeeeee&&ee&××××××sssVdgdsdsgVdVVVVVVddddgV2-15(PB13203083余阳阳)解：将墨滴看作点电荷，则墨滴在电板间运动时间为230101010--===LtSu22110.3222===<uqdyattmmdm，墨滴可以飞行L，此时偏离量y=0.3mm偏向角3300.61010arctanarctanarctan3.410�-××====�yxVatVu2-16解：由高斯定理000000,,为原子质量�ee�e×===#=QNeSdESNmdeEmm以Fe为例，3-26e7.86/=9.310，�=´FeFgcmm1010/m#�EV2-17(PB13203083余阳阳)解：可设球壳A带电量Q，C带电量-Q，按电容的定义知：220000()()441111111()()44������pepepepe===--+-)+=)-+-òòbdACABBCabQQQCQdrQdrrrCQabQbd因为金属球离地很远，所以000111()4441111()pepepe))-+)--=#==-+-QQQbQQbdddCbabdbd2-18(PB13209028熊江浩)延长两板至相交，以交线为轴建立柱坐标，由于对称性，电势和z和r都无关，因此拉普拉斯方程简化为∇��=���������=0，解得φ=��+��θ，对于B板，�=0，令φ=0，对于A板，即θ=arctan��时，令φ=U，由以上边界条件确定��=0,��=���������再由E=−∇φ，此时在极坐标下∇=�����+�������,因此得到E=�����,再由高斯定理，取密切包围b板的极小高斯面，其底面面积为a∙dr，得到E∙dS=����,dq=�������，对dq从x积分到x+b，由图中几何关系，有��=������，解出x=���，因此Q=�����arctanℎ������������=����arctanℎ�ln(ℎ+��)最后由C=��，得到:C=���arctanℎ�ln(ℎ+��)由于h≪d,可以将arctan��近似为��，因此得到C≈����ℎln(ℎ+��)2-19(PB13203072马超)解：设C板两表面电荷密度为12,&&120112001000()222()22224&&e&&&ee&eee+=*ï#=++-=ï,#==+=+����cqUqddUdsdUqdUqdUdss2-20假设C4电容器上极板带正电，5个电容器带电量分别为q1,q2,q3,q4,q5,则得q1/c1+q2/c2=Eq4/c4+q5/c5=Eq1/c1+q3/c3+q5/c5=Eq1=q2+q3q5=q4+q2代入数据可接得电荷值,从而可得电压值U1=150V,U2=450V,U3=-75V,U4=375V,U5=225V2-21(PB13203072马超)解：(1)设电极带电量q当12<<RrR时0200120012210012020(R1)22101211211202(R1)min1111,()444q4114()+当，pepepepepe==-=-===---��=qqEUrRRURRRRURRURUERRRRRRRRRURER(2)00(R1)2111221111224344==-=-#=UUERRRRRRRRRR2-22(PB13203072马超)解：128011001010010--==´´=QCUC设电容器带电量分别为12,qq1212120922212122701221122212712127012'3071077002333311100101005102211','221110()'100109001.510223()3.510------===+==´=#====´´´=´==+=+=´´´´=´-=-+=´qqUVCCqqQqCCCpFpFCECUJECUECUEECCUJEEEEJ因为电容器1向电容器2充电是顺时的，会辐射电磁波放射能量。2-23(PB13203072马超)解：(1)设三个电容器上带电量分别为123,,qqq12332231223121244421312337,432.710,6.310,3.610210,90---ìï=+ïï=#==!ïï+=ï"#=´=´=´===qqqqqqqqqCCqqUCCqCqCqCUVUUV(2)22211223362626211122211131021031090410902220.0945---=++=´´´+´´´+´´´=WCUCUCUJ2-24(PB13203076贺鑫)解：设B极带点为Q时，A极下板带电为QA，则C板上极面带电为Qc=-(Q+QA),0012120021221012012,,0+=0=-+,(+)(+)AC方向均向下又U即带入得：=-,方向向下为正eeeeee+==+=+=#=AAABBCAAABBCAABBCQQQEESSQQQEdEdddSSdQQdddQdQEESddSdd(1)20122201201220122=0(dd)=(n-1)(n1)(dd)(dd)1(dd)AB作匀速运动有F=G-E即又eeee=+#-=++=++qdQqmgsdqQqmgssmgnsdq(2)2201220121122012012121220121212=2gh=-mg+(n1)(dd)m(dd),dd2(n1)dq(dd)(dd)(hd)[]2(dd)(hd)[]2,H=2DAB求解自由落体运动方程知液滴至D处速度V而F=E又由于在板上方观察到的必为n=此时eeeee-=-++='#'--+++++++DmaqdqagsmghsVxxasmgmgsnddqmgsVddqa2-25(PB13203072马超)解：设导体板距左端x时导体板左面面电荷1&，右面2&121200()(5x)&&&&ee+=+-=SQxLU102022221102202200001200332011[(5x)],()55551111[(5x)],()2225522255[(52x)2]105d2(52)105&e&e&e&eeeeeeee=-+=-==-+==-=-=-+===-+òòLLLLQQxLUULLSQSQxFSLUFSULLQQFFFLULWFdxQWFdxLxdxQULS可以看出第二项即为对电源做功222000222105551213630530eee=+=+=#=+=QQLWLQUQULSSSQUWQUQUQUL2-26(PB13203079方程一绝)解：设半径变化后的电势为U1，半径R1，根据公式�=������联立�=������;��=�������可以解得��=����而静电能W=����=2�����,所以W1−W2=2επ������−����=2���������−1�代入数据得W1-W=5×10���2-27(王晨PB13203127)解：121212ee120ee021ee1212012,,1()()11=()=(-)(-)则有：则：则：eeee&&e&&eee&&eeeeeee+-+-+-==�-×=-×---.DDEESEESDD2-28(PB13203072马超)解：(1)设球内壳带电量q133112(r)(r)200312(r)1321(r)(r)00222220(r)020022225100044334440,3430431122918241845时，时,�p�ppepep��p�pee��/eeee�p�pee++=#=<<=#=-<'=#=====òeRqRqRErErRrREqRrrrRErErrErWrdrR(2)距球心r处带点薄层对求新的贡献1200211000322110101021011014421114()44336�p�pee��ee�p�pepee�e======-=-=+=òRrdrrdUdrrUrdrRqURRRRRUUU2-29(PB13203092李晗)解：011e=SCd,022e=SCd两电容串联:01212e==+-SCCCCCab总能量为220122(ab)e==-SUWCU2-30(张加晋PB13203136)解：设导体1原电压u1,电量Q1,后电压ua,电量Q1-q设导体2原电压u2,电量Q2,后电压ub,电量Q2+q由Green倒易：（相隔很运，可视为平衡前后均孤立）111(Q)U=-aQUq(1)222(Q)U=-bQUq(2)电容器：()C-=abUUq(3)联立（1）~（3）得121212121212()11cuuqcucuQQquuucucucQQ-=++-�-==++2-31(PB13203072马超)解：(1)考虑中间球壳和大地之间的电容C1为中间球壳与内球壳之间的电容C2为中间球壳与外球壳之间的电容C3为外球壳与大地之间的电容1020104,4,4pepepe===--badbCCCdbadb0000211144()111[]4()4(ba)(db)1(da)pepepepe=++--=++--#=01--+23-45badbCdbadbbadbdbadbCbd(2)设内表面1q,外表面2q,半径为a外表面1-q，半径为d内表面2-q，外表面12+qq即为Q.21211211112=1111()(),,内外外内表面带电量外表面带电量-+-==-+-=-=+=+-=--ì=ïï-#!-ï=ï-"kqkqkQkQUUddbakqkqkQkQkQUdddddqqqQqQbadadQqbdadadabqQbdabbdadqQbdab2-32(PB13000612魏志远)解：极化强度为水密度为�=1000kg×m-3,水分子质量m=MH2ONA=2.99´10-26kgn=�/m=3.35´1028有P=2.04´10-2C×m-2(2)由球形电介质极化机制知，在与极化强度矢量夹角�处，有分别取球面上与极化强度矢量夹角为�与p-�处的圆环，可构成一对点偶极子，其偶极矩为故半径R水滴其电偶极矩为代入数据得，距水10cm处电场可看做电偶极子在远处产生的电场，有2-33(王晨PB13203127)解：111121122012,,,11223则则&&&&eeeeee&ee&×=×======+-=-===rrrDSSDDDEEDEPDPDDP11112013,()当，()=当1()=&e&&ee<<×<<×+-lcmUlllcmUllll101011112210211(')1=(')11'22'311'S(EE)S'6由于则&&e&&&eee&&&&&ee&&&&&eee×=×+×+-=-==-==-#=-=-rrrrrESSSDD2-34(PB13000612魏志远)解：（1）设电容器内导体带电荷为Q。由高斯定理，距球心r处电位移矢量为D(r)=Q4pr2(R1<r<R2)则有E=Q4perr2,R1<r<aQ4pe2r2,a<r<R2ì!ïï"ïï从球内到球外电势降为U=Q4pe1r2dr+Q4pe2r2draR2òR1aò=Q4pe1(1R1-1a)+Q4pe2(1a-1R2)故电容为C=QU=4pe1e2e2(1R1-1a)+e1(1a-1R2)(2)内球带电量为-Q时，有()122,()4p-=<<rQDRrRr负号表示D方向指向球心。则P=e0-e1e1×Q4pr2,R1<r<ae0-e2e2×Q4pr2,a<r<R2ì!ïï"ïï（P>0时表示P方向沿径向向外）故2-35(张加晋PB13203136)解:(1)因为电场线平行于分界面，所以各处电场匀强，记为E2212212121212(2)(2)2()(2)112()()2()2()()baErErQQEruEdrQabQbaabQabCubaepeppeepeepeepee×+×=#=+=��=×-��+��-=++==-ò2-36(张加晋PB13203136)解：电场成平行分界面，�各处电场匀强。虽然导体球内场强为O在球外取一半径为r(r>R)的Guass面,有:221221211121211212(2)(2)(1)2()(2)()22()epeppeee&eeepe&pee+=#=+==+�=+ErErqqErqErqr同理，222122()qre&pee=+2-37(PB13000699刘其瀚)解：330333300322330032004(Rr2R)*(rR)3,4(8R)3(rR)28(rR)2828在处做球形高斯面，则且=综上则�p�peeppeepee<<=---==-===òòòò�rRrrRrDdsqRqDERrqqUEdldrRrR2-38(PB13203072马超)解：11,ee==×ABASSCQUddC板接入后，A板上面电荷密度1&，下面电荷密度2&，则有：211200121211121112100011200112000(),()()(),0()表示方向向上&&eeee&&&&&&ee&ee&ee&eeee-=+=+=#+=#+=--=+-==�+ppddUSUUSddddUddUUUUddUUEEdd2-39(王晨PB13203127)解：21200211201211,()44C4pepepe==×=-==-òrrQQEUEdrrrrrrQUrr21max2020212202max22max121012521max1max11,()444()411===2.51024由于当时，则有pepepepe==×=-===--´òrrQQEUEdrrrrrErQUrErrCrrrrrUrEV2-40(张加晋PB13203136)解：两介质层的击穿场强分别在101202,2,2�pe�pe====raEarbEb依据1102022EEbaaee=#==圆柱与网间电势差121211lnln2bbaauEdrEdrbcab�pee=+��=+����òò#交界面上12211ln2lnbuDcbb�pee==��+����出现极值，即1220111ln2ln02bDbcbceaeee�=�#+-=#=2-41(张加晋PB13203136)解：球外场强1204pe=qEr球内场强322330314434pppe==rEkqraqra球表面电势0104quEdrap�==ò�球内任一点到球心为x处电势 022300388pepe=+=-òaxuxuEdrqxqaa�球体能量 20314423pp=òaqwxuxdxa222446000020931616320pepepe=-=òòaaqxqxdrdraaqa2-42(王晨PB13203127)解：22(r)200(r)2200(r)20044,4411,()4444411()4444当时，当时,当时,pp�pepe�pepepepepe�pepepepe=#=�==<<==+=-+<=+=-+òòbrbrQDrQDrQQrbErrQQQQQarbEdrrrbrbbQQQQradrrbabb2-43(PB13203072马超)解：将圆筒带点视作无限长带电直导线，带电直导线在空间的周期性排布会使上方的电场也呈周期性变化，而这种强度的起伏将随着距离栅极越远而越小，以至于在某一距离可认为呈现均匀的场强，这种空间均匀随时间变化的场将有一个平均值，使带电体平衡在空中。2-44(黄奕聪PB13000327)解：最后3个球相距无穷远，这3个球构成的系统能量守恒，所以球增加的动能等于系统释放的静电能222200122()42EqqqqWrrrrpepe=++=球最后的动能之和等于释放出的静电能21230kkkqEEErpe++=取向左为正方向，123250vvv++=计算可得刚释放时，1、3相对2的加速度大小相同，方向相反。所以如果以2为参考系，1、3最后相对2的速度大小相等。1223vvvv-=-所以123vv=，23vv=-10138vqrmpe=2208qvrmpe=2308qvrmpe=-2-45(PB13203058林霆)解：(1)系统的静电势能为：22001253256()()2424233pepe=××-=-QQWaa(2)剩下四个系统电势能为：22200000020()'[][]44244434327()423pepepepepepepe-----=+++++=-QQQQQQQQQWaaaaaaQa无穷远处一对电荷的电势为：20''4pe-=QWa做功为：2043'''W(3)43pe=+-=-QAWWa2-46(PB13000699刘其瀚)解：220225003233'0131(ar)dV22322431554',',222()322524对含电量，半径为R的均匀带电体：分开之后.则���ep�pe�pe==-=======òòòòòòòòòeeeeeQWUdVQRRQRQRQWUdVWR2-47(PB13203072马超)解：(1)初始能量212=WCV,电子隧穿后能量2()'2+=CVeWC22222222'()22202，即时上式成立，�+�++���-WWCVeCVCVCVeeCVCCeVVC222222222()''2''()2222，即-=�+�-+�<CVeWCWWCVeCVCVCVeeCVCCeVC所以发生库伦阻塞时，22-<<eeVCC(2)6,81022-===´eeVCFCV(3)设Cs上电荷1q，DC上电荷2q，