高二关于求阿基米德三角形面积最小值的解法

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形。阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上。设抛物线y2=2px（p>0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为______。解：抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F（p2，0），可设直线AB的方程为x＝ty＋p2，代入y2＝2px得y2－2pty－p2＝０设点A（x1，y1），B（x2，y2）（y1>0，y2<0）则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，x1＝y122p，x2＝y222p，|AB|＝|FA|+|FB|＝（x1＋p2）＋（x2＋p2）=x1＋x2＋p＝y122p＋y222p＋p＝（y1+y2）2-2y1y22p＋p＝（2pt）2＋2p22p＋p＝2p（1＋t2）设切线AQ：y＝k1（x－y122p）＋y1＝k1x＋2py1-k1y122p，代入y2＝2px得，（k1x＋2py1-k1y122p）2＝2px，整理得k12x2＋2pk1y1-k12k12-2p2px＋（2py1-k1y12）24p2＝０△=（2pk1y1-k12k12-2p2）2p2－k12（2py1-k1y12）2p2＝0，整理（两同乘p2，再用平方差公式）（4pk1y1-2k12k12-2p2）（-2p2）＝０-4pk1y1＋2k12k12＋2p2＝０，（k1y1－p）2＝0，k1＝py1，从而切线AQ的方程：y＝py1x＋y12①设切线BQ：y＝k2（x－x2）＋y2＝k2（x－y222p）＋y2，同理可得，k2＝py2切线BQ的方程：y＝py2x＋y22②联立①②，解得x=y1y22p=-p2y=y1＋y22＝pt于是点Q（-p2，pt），其到直线AB的距离d=｜pt２＋p2＋p2｜1＋t2＝p1＋t2从而Ｓ△ABQ＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝p2（1＋t2）32≥p2可见t=0（即直线AB：x＝p2与x轴垂直）时取等号，△ABQ的面积最小值为p2延伸：点Q坐标：（-p2，pt）明点Q在抛物线准线上，从k1K2＝py１py2＝p２y１y2＝p２-p２＝-1，可知切线AQ、BQ互相垂直。