最新历年全国考研数学线代真题1987-2016(最全)打印版

历年考研数学一真题1987-20161987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),ααα则向量(2,0,0)β在此基底下的坐标是_____________.三、(本题满分7分)(2)设矩阵A和B满足关系式2,AB=AB其中301110,014A求矩阵.B五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设A为n阶方阵，且A的行列式||0,aA而*A是A的伴随矩阵，则*||A等于(A)a(B)1a(C)1na(D)na九、（本题满分8分）问,ab为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],AαγγγBβγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,AB则行列式AB=_______.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)n维向量组12,,,(3)ssnααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,skkk使11220sskkkααα(B)12,,,sααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,sααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,sααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,APBP其中100100000,210,001211BP求5,.AA八、（本题满分8分）已知矩阵20000101xA与20000001yB相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1PAPB的可逆阵.P1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵300100140,010,003001AI则矩阵1(2)AI=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式0,A则A中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组131231234226423xxxxxxxx有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明(1)1为1A的特征值.(2)A为A的伴随矩阵*A的特征值.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是(A)1211212()2kkββααα(B)1211212()2kkββααα(C)1211212()2kkββαββ(D)1211212()2kkββαββ七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002BC且矩阵A满足关系式1()AECBCE其中E为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448fxxxxxxxxx成标准型.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设4阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)aaαααα及(1,1,3,5).bβ(1)a、b为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a、b为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于1.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设111212121212,nnnnnnabababababababababA其中0,0,(1,2,,).iiabin则矩阵A的秩()rA=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)要使12100,121ξξ都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为(A)212(B)201011(C)102011(D)011422011八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为1231111,2,3,149ξξξ又向量12.3β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nnAβ为自然数).1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1,n则线性方程组AX0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知12324,369tQP为三阶非零矩阵,且满足0,PQ则(A)6t时P的秩必为1B)6t时P的秩必为2(C)6t时P的秩必为1(D)6t时P的秩必为2七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)fxxxxxxaxxa通过正交变换化成标准形22212325,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中,nmI是n阶单位矩阵,若,ABI证明B的列向量组线性无关.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知11[1,2,3],[1,,],23αβ设,Aαβ其中α是α的转置,则nA=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,αααααααα线性无关(B)12233441,,,αααααααα线性无关(C)12233441,,,αααααααα线性无关(D)12233441,,,αααααααα线性无关八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400xxxx,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).kk(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A为n阶非零方阵*,A是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当*AA时,证明0.A1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设三阶方阵,AB满足关系式16,ABAABA且1003100,41007A则B=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101aaaaaaaaaaaaaaaaaaABPP则必有(A)12APP=B(B)21APP=B(C)12PPA=B(D)21PPA=B八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为1231,1,对应于1的特征向量为101,1ξ求.A九、（本题满分6分）设A为n阶矩阵,满足(AAII是n阶单位矩阵,A是A的转置矩阵),0,A求.AI1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)设A是43矩阵,且A的秩()2,rA而102020,103B则()rAB=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)四阶行列式1122334400000000abababba的值等于(A)12341234aaaabbbb(B)12341234aaaabbbb(C)12123434()()aabbaabb(D)23231414()()aabbaabb八、（本题满分6分）设,TAIξξ其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2AA的充分条件是1.Tξξ(2)当1Tξξ时,A是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx的秩为2,(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1fxxx表示何种二次曲面.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设12243,311tAB为三阶非零矩阵,且,ABO则t=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设111122232333,,,abcabcabcααα则三条直线1112223330,0,0axbycaxbycaxbyc(其中220,1,2,3iiabi)交于一点的充要条件是(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)rααα秩12(,)rαα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B是秩为2的54矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTTααα是齐次线性方程组xB0的解向量,求xB0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111ξ是矩阵2125312abA的一个特征向量.1)试确定,ab参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为.B(1)证明B可逆.(2)求1.AB1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设A为n阶矩阵*,0,AA为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则*2()AE必有特征值________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设矩阵111222333abcabcabc是满秩的,则直线333121212xaybzcaabbcc与直线111232323xaybzcaabbcc(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合（D)异面十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz可以经过正交变换xyzP化为椭圆柱面方程2244,求,ab的值和正交矩阵.P十一、（本题满分4分）设A是n阶矩阵,若存在正整数,k使线性方程组kxA0有解向量,α且1.kAα0证明:向量组1,,,kαAαAα是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTnnnnnnbbbbbbbbb试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000nnnnnnnnnbybybybybybybybyby的通解,并说明理由.1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则(A)当mn时,必有行列式||0AB(B)当mn时,必有行列式||0AB(C)当nm时,必有行列式||0AB(D)当nm时,必有行列式||0AB十、(本题满分8分)设矩阵153,10acbcaA其行列式||1,A又A的伴随矩阵*A有一个特征值0,属于0的一个特征向量为(1,1,1),Tα求,,abc和0的值.十一、(本题满分6分)设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵,TB为B的转置矩阵,试证TBAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩().rnB2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)已知方程组12312112323120xaxax无解,则a=_____.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.(4)设n维列向量组1,,()mmnαα线性无关,则n维列向量组1,,mββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,mαα可由向量组1,,mββ线性表示(B)向量组1,,mββ可由向量组1,,mαα线性表示(C)向量组1,,mαα与向量组1,,mββ等价(D)矩阵1(,,)mAαα与矩阵1(,,)mBββ等价十、(本题满分6分)设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A且113ABABAE,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为nx和,ny记成向量.nnxy(1)求11nnxy与nnxy的关系式并写成矩阵形式:11.nnnnxxyyA(2)验证1241,11ηη是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212xy时,求11.nnxy2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设24AAEO,则1(2)AE=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设1111400011110000,1111000011110000AB,则A与B(A)且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不合同且不相似九、(本题满分6分)设12,,,sααα为线性方程组AXO的一个基础解系,1112221223121,,,ssttttttβααβααβαα,其中21,tt为实常数,试问21,tt满足什么条件时12,,,sβββ也为AXO的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x,使得2,,AAxxx线性无关,且满足3232AAAxxx.(1)记2(,,),PAAxxx求B使1APBP.(2)计算行列式AE.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可化为标准型216yf,则a=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设有三张不同平面,其方程为iiiidzcybxa(3,2,1i)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)Aαααα,1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232ααα.若1234βαααα,求线性方程组xAβ的通解.十、(本题满分8分)设,AB为同阶方阵,(1)若,AB相似,证明,AB的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,AB为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.172003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(4)从2R的基1211,01αα到基1211,12ββ的过渡矩阵为.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设向量组I:12,,,rααα可由向量组II:12,,,sβββ线性表示,则(A)当sr时,向量组II必线性相关(B)当sr时,向量组II必线性相关(C)当sr时,向量组I必线性相关(D)当sr时,向量组I必线性相关(5)设有齐次线性方程组0xA和0xB,其中,AB均为nm矩阵,现有4个命题:①若0xA的解均是0xB的解,则秩()A秩()B②若秩()A秩()B,则0xA的解均是0xB的解③若0xA与0xB同解,则秩()A秩()B④若秩()A秩()B,则0xA与0xB同解以上命题中正确的是(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④九、(本题满分10分)设矩阵322232223A,010101001P,1*BPAP,求2BE的特征值与特征向量,其中*A为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax,:2l032acybx,:3l032baycx.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba182004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵210120001A,矩阵B满足**2ABABAE,其中*A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=__________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为(A)101001010(B)100101010(C)110001010(D)100001110(12)设,AB为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnnaxxxxaxxnnxnxnax试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315aA的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.192005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)Aααα,123123123(,24,39)Bααααααααα,如果1A,那么B.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设21,是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()Aαα线性无关的充分必要条件是(A)01(B)02(C)01(D)02(12)设A为(2)nn阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵**.,BAB分别为,AB的伴随矩阵,则(A)交换*A的第1列与第2列得*B(B)交换*A的第1行与第2行得*B(C)交换*A的第1列与第2列得*B(D)交换*A的第1行与第2行得*B(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(xxaxxaxaxxxf的秩为2.(1)求a的值；(2)求正交变换xyQ,把),,(321xxxf化成标准形.(3)求方程),,(321xxxf=0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A的第一行是cbacba,,),,,(不全为零,矩阵12324636kB(k为常数),且ABO,求线性方程组0xA的通解.202006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设矩阵2112A,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足2BABE,则B=.(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则max{,}1PXY=.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设12,,,,sααα均为n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确的是(A)若12,,,,sααα线性相关,则12,,,,sAαAαAα线性相关(B)若12,,,,sααα线性相关,则12,,,,sAαAαAα线性无关(C)若12,,,,sααα线性无关,则12,,,,sAαAαAα线性相关(D)若12,,,,sααα线性无关,则12,,,,sAαAαAα线性无关.(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记110010001P,则(A)1CPAP(B)1CPAP(C)TCPAP(D)TCPAP(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A的秩2rA.(2)求,ab的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量121,2,1,0,1,1TTαα是线性方程组0xA的两个解.(1)求A的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得TQAQA.212007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A),,122331αααααα(B),,122331αααααα(C)1223312,2,2αααααα(D)1223312,2,2αααααα(8)设矩阵211121112A,100010000B,则A与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)(15)设矩阵0100001000010000A,则3A的秩为________.(21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40xxxxxaxxxax与方程12321,xxxa有公共解,求a的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A的特征向量值12311,2,2.(1,1,1)Tα是A的属于特征值1的一个特征向量,记534,BAAE其中E为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.(2)求矩阵B.222008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若30A,则(A)EA不可逆,EA不可逆(B)EA不可逆,EA可逆(C)EA可逆,EA可逆(D)EA可逆,EA不可逆二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设A为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2AαAααα,则A的非零特征值为.(20)(本题满分11分)TTAααββ,Tα为α的转置,Tβ为β的转置.证明:(1)()2rA.(2)若,αβ线性相关,则()2rA.(21)(本题满分11分)设矩阵2221212nnaaaaaA,现矩阵A满足方程AXB,其中1,,TnxxX,1,0,,0B,(1)求证1nnaA.(2)a为何值,方程组有唯一解,求1x.(3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.232009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设123,,ααα是3维向量空间3R的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα的过渡矩阵为(A)101220033(B)120023103(C)111246111246111246(D)111222111444111666(6)设,AB均为2阶矩阵,**,AB分别为,AB的伴随矩阵,若2,3AB,则分块矩阵OABO的伴随矩阵为(A)**32OBAO(B)**23OBAO(C)**32OABO(D)**23OABO二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)若3维列向量,αβ满足2Tαβ,其中Tα为α的转置,则矩阵Tβα的非零特征值为.(20)(本题满分11分)设111111042A,1112ξ(1)求满足21Aξξ的2ξ.231Aξξ的所有向量2ξ,3ξ.(2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.(21)(本题满分11分)设二次型2221231231323,,122fxxxaxaxaxxxxx.(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f的规范形为2212yy,求a的值.242010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设A为mn型矩阵,B为nm型矩阵,若,ABE则(A)秩(),mA秩()mB(B)秩(),mA秩()nB(C)秩(),nA秩()mB(D)秩(),nA秩()nB(6)设A为4阶对称矩阵,且20,AA若A的秩为3,则A相似于(A)1110(B)1110(C)1110(D)1110二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),TTTααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则=.(20)(本题满分11分)设11010,1,111aAb已知线性方程组Axb存在两个不同的解.(1)求,.a(2)求方程组Axb的通解.(21)(本题满分11分)设二次型123(,,)TfxxxAxx在正交变换xyQ下的标准形为2212,yy且Q的第三列为22(,0,).22T(1)求.A(2)证明AE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.252011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)5、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B，再交换B的第二行与第3行得到单位阵E，记1000110011P，0101000012P，则A=（）A21PPB211PPC12PPD112PP6、设)(4321A是4阶矩阵，*A为A的伴随矩阵。若T)0,1,0,1(是0Ax的一个基础解系，则0*xA的基础解系可为（）A31B21C321D432二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。13、若二次曲面的方程42223222yzxzaxyzyx，经正交变换化为42221yy，则_______a20、（本题满分11分）设向量组T)1,0,1(1，T)1,1,0(2，T)5,3,1(3不能由向量组T)1,1,1(1，T)3,2,1(2，Ta),4,3(3线性表示；（1）求a的值；（2）将321,,用321,,线性表示；21、（本题满分11分）A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且11001111-0011A求（1）A的特征值与特征向量（2）矩阵A262012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（5）设1234123400110,1,1,1cccc其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）123,,（B）124,,（C）134,,（D）234,,（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1112PAP，123,,P，1223,,Q则1QAQ（）（A）121（B）112（C）212（D）221二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵TxxE的秩为________。（20）（本题满分10分）设100010001001aaAaa，1100b（Ⅰ）求A（Ⅱ）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。（21）（本题满分10分）三阶矩阵10101110Aa，TA为矩阵A的转置，已知()2TrAA，且二次型TTfxAAx。1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。272013硕士研究生入学考试数学一5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（）A.0,2abB.0,ab为任意常数C.2,0abD.2,ab为任意常数13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝。20.（本题满分11分）设101,101aABb，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。21.（本题满分11分）设二次型22123112233112233(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx，记123aaa，123bbb。（1）证明二次型f对应的矩阵为2TT；（2）若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为22122yy。282014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题（5）行列式00000000ababcdcd（）（数一，数二，数三）（A）2()adbc（B）2()adbc（C）2222adbc（D）2222bcad（6）设123,,为3维向量，则对任意常数,kl，向量组1323,kl线性无关是向量组123,,线性无关的（）（数一，数二，数三）（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件（13）设二次型3231222132142),,(xxxaxxxxxxf的负惯性指数为1，则a的取值范围是（数一，数二，数三）（20）（本题满分11分）（数一，数二，数三）设EA,302111104321为3阶单位矩阵.（I）求方程组0Ax的一个基础解系；（II）求满足EAB的所有矩阵B.（21）（本题满分11分）（数一，数二，数三）证明：n阶矩阵111111111与n00200100相似292015年全国硕士研究生入学统一考试数学试题(5)设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为()（数一，数二，数三）(A),ad(B),ad(C),ad(D),ad(6)设二次型123,,fxxx在正交变换为xPy下的标准形为2221232yyy，其中123,,Peee，若132,,Qeee，则123,,fxxx在正交变换xQy下的标准形为()（数一，数二，数三）(A)2221232yyy(B)2221232yyy(C)2221232yyy(D)2221232yyy(13)n阶行列式20021202___________.00220012（数一）(14)若3阶矩阵A的特征值为2,2,1，2BAAE，其中E为3阶单位阵，则行列式B.（数二，数三）(20)(本题满11分)（数一）设向量组1,23,ααα内3R的一个基，113=2+2kβαα，22=2βα，313=++1kβαα.（I）证明向量组123为3R的一个基;（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基123下的坐标相同，并求所有的ξ.(20)(本题满分11分)（数二，数三）设矩阵101101aAaa且3AO.30(1)求a的值；(2)若矩阵X满足22XXAAXAXAE，E为3阶单位阵，求X.(21)(本题满分11分)（数一，数二，数三）设矩阵02313312aA相似于矩阵12000031bB=.(I)求,ab的值；（II）求可逆矩阵P，使1PAP为对角矩阵.312016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（6）设二次型222123123121323,,444fxxxxxxxxxxxx，则123,,2fxxx在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面（13）行列式1000100014321____________.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112AaBaaa当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A（I）求99A（II）设3阶矩阵23(,,)B满足2BBA，记100123(,,)B将123,,分别表示为123,,的线性组合。3233赠送以下资料考研英语作文模板（英语一）大作文考研英语大作文一般是看图写作，从一幅图分析含义及意义，所以只需要几个好的模板，根据题目套上去就行了。题目反映的意义无非三种：积极，消极和中性。所以我准备了三个不同类型的模板，到时候大家根据题目自己分析一个写作方向，再结合模板，把内容填进模板就好了。模板只是保证文章结构不过于混乱，具体的写作还希望大家多背历年写作真题和资料书上的作文，出自己喜欢的句子背下来，背熟之后根据原文的中文意义用自己的语言再把文章写出来，这样才能得到更好的效果。切记：模板只能起到应急和保证结构的作用，真正写好作文拿高分还需要自己不断地背诵和练习，祝大家考试顺利！模板一：积极（图画反映了什么积极现象，我们应提倡⋯）⋯⋯⋯（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。如果实在写不出可以不写）⋯⋯⋯.，Thepictureabovesymbolically/subtlyillustrate/demonstratethat⋯⋯(描述图画)⋯⋯。Belowthedrawing，thereisacaptionwhichindicates⋯⋯(图片下的标题)⋯⋯⋯..。或者：【onthedrawing，therearehugeChinesecharactersreads：⋯⋯(图片上的中文字)⋯⋯.】Undoubtedly，wecandeducefromthecartoonthatthepainteristryingtoshowusthat⋯⋯（主旨）⋯⋯⋯..。Tobeginwith，⋯⋯⋯⋯⋯。Inaddition，⋯⋯⋯⋯..。⋯⋯⋯（小结）⋯⋯⋯..。AsfarasIamconcerned，itishightimethatwehighlightedthesignificanceof⋯⋯⋯andcultivatedthecitizens’awarenessthat⋯⋯⋯.isessentialtous。onlybyenforcingthesemeasuresintopractice，canoursocietybemoreharmonious，oureconomybemoreprosperousandwe，asindividuals，34embracemorepromisingprospect。模板二：消极（图画反映了什么消极现象，我们应采取行动改变⋯）⋯⋯⋯（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。如果实在写不出可以不写）⋯⋯⋯.，Thepictureabovesymbolically/subtlyillustrate/demonstratethat⋯⋯(描述图画)⋯⋯。Belowthedrawing，thereisacaptionwhichindicates⋯⋯(图片下的标题)⋯⋯⋯..。或者：【onthedrawing，therearehugeChinesecharactersreads：⋯⋯(图片上的中文字)⋯⋯.】Undoubtedly，wecandeducefromthecartoonthatdueattentionhastobepaidtotheissueof⋯⋯⋯⋯.。Thecausesofthisphenomenonareasfollows：Tobeginwith，⋯⋯⋯⋯⋯。Inaddition，⋯⋯⋯⋯..。Lastbutnotleast，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。Ifweletthissituationcontinueasitis，our⋯⋯⋯⋯willsufferagreatdestruction/damage/injury。Theproblemwillbeworseandworse。AsfarasIamconcerned，Itisimperativeforustotakedrasticandeffectivemeasurestoreversethedisturbingtrendrevealedintheabovepicture。Ontheonehand，⋯⋯⋯⋯⋯..。ontheotherhand，⋯⋯⋯⋯⋯⋯.。Onlybyenforcingthesemeasuresintopracticecanwecurbthecurrentphenomenon/surmountthisdifficulty，andwewillhaveabrilliantfuture。模板三：中性（图画反映的现象是一把双刃剑，只要好好利用⋯）⋯⋯⋯（开头：为了避免跟大部分模板有重复之嫌，我们可以在第一句写一句跟作文话题有关的句子，俗语和谚语皆可，也可以是一句关于话题的感悟。如果实在写不出可以不写）⋯⋯⋯.，Thepictureabovesymbolically/subtlyillustrate/demonstratethat⋯⋯(描述图画)⋯⋯。Belowthedrawing，thereisacaptionwhichindicates⋯⋯(图片下的标题)⋯⋯⋯..。或者：【onthedrawing，therearehugeChinesecharactersreads：⋯⋯(图片上的中文字)⋯⋯.】Apparently，wecandeducefromthecartoonthatthepainteristryingtoattractourattentiontotheissueof⋯⋯⋯⋯.。Acoinhastwosides，the⋯⋯⋯⋯likesadouble-edgedsword。Ontheonehand，⋯⋯⋯⋯⋯..。ontheotherhand，⋯⋯⋯⋯⋯⋯.。⋯⋯（小结）⋯⋯..。AsfarasIamconcerned，⋯⋯itselfisnotgoodorbadandwecanbenefitalotfrom⋯⋯.aslongaswetakeagoodcontroloverthem。Onl