(完整版)线性代数试题及答案

形为.24.设实二次型f(x12345三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）12023125.设A=340，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.121240311226.试计算行列式5134.2011153342327.设矩阵A=110，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.123213028.给定向量组α1=1，α2=3，α3=0，α4=1.02243419试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。1210229.设矩阵A=242662102.333334求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。02230.设矩阵A=234的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.24331.试用配方法化下列二次型为形f(x1,x2,x3)=x122x223x324x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.Ax=0的一个基础解系.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ，ξ2是其导出组1试证明1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；2）η0，η1，η2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C36.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.633716.3714–10η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数n-r–5–2124.z12z22z23z24三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）1202225.解（1）ABT=340341211061810.102）|4A|=43|A|=64|A|，而120|A|=3402.121所以|4A|=64·（-2）=-1283112511151341113126.解0110010215335530511=111150511=62621040.0305555027.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而2231431（A-2E）-1=110153.121164143423所以B=(A-2E)-1A=1531101641234386=296.2129213005321301130128.解一224011203419013112103510350112011200880011001414000010020101,00110000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，2x1x23x30即x13x212x22x343x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解对矩阵A施行初等行变换1210200062A328200963212102121020328303283000620003=B.100021700000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.25/525/15经正交标准化，得η1=5/5，η2=45/15.05/3λ=-8的一个特征向量为511/3ξ3=2，经单位化得η3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为T=5/545/152/3.05/32/3100对角矩阵D=010.00825/5215/151/3（也可取T=05/32/3.）5/545/152/331.解f(x123123）2-2x2223-7x32，x，x)=（x+2x-2x+4xx=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.y1x12x22x3x1y12y2设y2x2x3，即x2y2y3，y3x3x3y3120因其系数矩阵C=011可逆，故此线性变换满秩。001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形222y1-2y2-5y3.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2=b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以lξ+lξ=0.1122，ξ线性无关，所以l=0，l=0，从而l=0.又由假设，ξ12120所以η0，η1，η2线性无关。6