2021届江苏省淮安市五校高三上学期第一次联考数学试题解析

2021届江苏省淮安市五校高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1．函数的定义域为（）A．B．C．D．答案：A思路：要使有意义，则有，解出即可.解：要使有意义，则有，解得所以函数的定义域为故选：A点评：本题考查的是函数定义域的求法，较简单.2．已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．答案：C思路：根据，利用对数函数的单调性得到，然后利用不等式的基本性质判断A；利用特殊值判断B；利用指数函数和幂函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D即可.解：因为，所以，所以，，当时，，由指数函数和幂函数的单调性得，故选：C点评：本题主要考查对数函数、指数函数和幂函数的单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.3．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则不等的解集为（）A．B．C．D．答案：D思路：由函数的奇偶性得f（−2）＝f（2）＝0，由在上的单调性可得f（x）在（−∞，0]上的单调性，根据单调性及f（2）＝0可把化为＞2或＜−2，解出即可．解：解：因为是偶函数，所以f（−2）＝f（2）＝0．又在上是增函数，所以在（−∞，0]上是减函数．则由得＞2或＜−2，解得x＞4或0＜x＜，所以不等式的解集为．故选：D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，抽象不等式的求解，解抽象不等式往往借助函数的单调性解决．4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数在区间上的图象的大致形状是（）A．B．C．D．答案：A思路：先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.解：因为，所以在区间上是偶函数，故排除B，D，又，故选：A点评：本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.5．已知,,,则的最小值是（）.A．3B．C．D．9答案：A思路：由已知结合指数与对数的运算性质可得,从而根据,展开后利用基本不等式可得解.解：,,,所以,即,则EMBEDEquation.DSMT4,当且仅当且即,时取等号,则的最小值是3.故选：A点评：本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.6．已知函数，，若，，则a，b，c的大小为（）A．B．C．D．答案：B思路：求出的导数，利用导数研究函数的单调性，结合对数运算性质可比较，，的大小，从而根据单调性即可得出a，b，c的大小关系．解：因为，所以在上单调递增，因为，，，所以，所以，故．故选：B．点评：本题考查利用导数研究函数单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．7．已知命题p：，；命题q：，，若p、q都为真命题，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A思路：根据题意，求出p与q均为真命题的a的范围，取交集得答案．解：若命题为真命题，则或，解得；若命题为真命题，则，即，解得或∴实数的取值范围是故选：A.点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查恒成立（存在性）问题的求解方法，属于中档题目．8．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)答案：B思路：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、多选题9．若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A．B．C．D．答案：BCD思路：求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论解：解：直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，故选：BCD点评：此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题10．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值为3B．的最大值为1C．的最小值为2D．的最小值为2答案：ABD思路：由已知结合基本不等式及相关变形，结论分别检验各选项即可判断.解：因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确．故选：ABD点评：本题主要考查了基本不等式及结论的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.11．下列命题中正确命题的是（）A．已知a，b是实数，则“”是“”的充分而不必要条件；B．，使；C．设是函数的一个极值点，则D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为.答案：CD思路：对于A项，结合指数函数和对数函数的单调性以及对数式要求真数大于零，可判断正误；对于B项，结合指数函数随着底数的大小，图象的与坐标轴的靠近程度得到结果；对于C项，结合极值点满足的条件，确定出，将转化为关于的关系式，代入求得结果；对于D项，根据角的终边在第一象限，判断出是第一象限角或第三象限角，判断其正余弦值的符号求得结果.解：对于A，若“”，则，若“”，则.所以“”，是“”的必要不充分条件.所以A不正确；对于B，要使成立，即，需，所以不存在，使得成立，所以B不正确；对于C，，，，，所以C正确.对于D，角的终边在第一象限，则，，在第一象限时，，当在第三象限时，则.则的取值集合为：.所以D正确；故选：CD.点评：该题考查的是有关命题真假判断，涉及到的知识点有指数函数、对数函数的性质，充分必要条件的判断，三角函数的计算，属于中档题.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是　　A．是偶函数B．是奇函数C．在上是增函数D．的值域是答案：BC思路：由判断错误；由奇函数的定义证明正确；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断正确；求出的范围，进一步求得的值域判断．解：解：EMBEDEquation.DSMT4，，，则不是偶函数，故错误；EMBEDEquation.DSMT4的定义域为，，为奇函数，故正确；EMBEDEquation.DSMT4，又在上单调递增，在上是增函数，故正确；，，则，可得，即．，，故错误．故选：．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查函数性质的判定及函数值域的求法，属于中档题．三、填空题13．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积为______.答案：思路：利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.解：因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的弧长，所以面积.故答案为：.点评：本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..14．已知函数，且，则_________．答案：思路：利用，再根据，即可得到答案；解：EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4，故答案为：.点评：本题考查对数运算法则和函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．已知三个函数，，.若，，都有成立，求实数b的取值范围______.答案：思路：首先求得函数和的函数解析式，根据条件可知在上的最大值大于等于在上的最大值，利用导数求得在上的最大值，根据二次函数的性质可知在上的最大值会在两端点处取得，得到不等式组求得结果.解：由题知，..在上单调递增；在上单调递减，易知在区间上的最大值为，，，都有成立，即在上的最大值大于等于在上的最大值，即，即，解得，故答案为：.点评：该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据存在与恒成立转化为函数最值问题，应用导数求函数的最值，属于简单题目.16．设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于x的方程有3个不同的根，则a的范围是______.答案：思路：由已知中可以得到函数是一个周期函数，且周期为4，根据函数与方程之间的关系，转化为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，利用数形结合即可得到实数a的取值范围.解：对于任意的，都有，，函数是一个周期函数，且.又当时，，且函数定义在R上的偶函数，若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数解，则函数与在区间上有3个不同的交点，如下图所示：又，当时，不合题意，当时，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，当时的函数值大于1，即，由此解得：，故答案为：.点评：本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数的奇偶性及函数的周期性，函数图象的应用，属于中档题.四、解答题17．已知角α为第一象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．答案：(1);(2)7思路：（1）利用同角三角函数的平方关系、商数关系，即可得答案；（2）利用诱导公式进行化简得到关于，的式子，再转化成关于的式子，即可得答案；解：（1）角α为第一象限角，且，EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4.（2）原式.点评：本题考查同角三角函数基本关系、诱导公式化简求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.18．已知集合，（1）求集合；（2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.答案：（1）（2）思路：(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可．（2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可．解：解：（1）∵∴，则∴，∴.（2）∵∴由可得：或∴或∴或∵：，：，且是的充分不必要条件∴或∴或∴实数的取值范围是.点评：本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题．19．已知函数满足：①；②.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围．答案：（1）；（2）思路：（1）把条件①；②.代入到中求出即可；（2）不等式恒成立，设则分，两种情况讨论，只需即可.解：（1）……………①又∵，即……②将①式代入②式得，又，.（2）由（1）得设①当，即时，，故只需，解得，与不合，舍去②当，即时，，故只需，解得，又，故综上，的取值范围为点评：本题考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数最值及几何意义的能力，理解不等式恒成立的能力，属中档题.20．已知函数是定义在R上的奇函数.（1）求a的值；（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；；（3）存在；实数k的取值范围是.思路：（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.解：解：（1）是定义在R上的奇函数，，从而得出，时，，；（2）是R上的增函数，证明如下：设任意，且，，，，，，，是在上是单调增函数.，又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，，，；（3）假设存在实数k，使之满足题意，由（2）可得函数在上单调递增，，，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令，即方程有两个不等的正根，于是有且且，解得：.存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.点评：本题考查了函数单调性的判断和性质应用，考查了奇函数的性质，考查了数学运算能力.21．如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使垂直于，且的长不超过20米.在扇形区域内种植花卉，三角形区域内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.（1）设（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；（2）当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用.答案：（1），；（2）当时，改造景观的费用最低，最低费用为元.思路：（1）分别计算扇形和三角形的面积，再计算总费用，根据的长不超过20米得到定义域，得到答案.（2）求导得到，根据导数正负得到函数的单调性，再计算最值得到答案.解：（1）因为扇形的半径为，，且的长不超过20米，当时，，故.所以扇形的面积：，.在中，，，所以的面积，从而，；设，，则，，令，解得，从而当时，，当，，因此在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，取得最小值，，所以y的最小值为元.点评：本题考查了三角函数的应用，扇形面积，利用导数求函数的最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．已知函数，其中为正实数.（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，求证：答案：（1）1；（2）见解析；（3）见解析思路：试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数单调性，进而确定最小值，证得结论试题解析：(1)因为，所以，则,所以的值为1．(2)，函数的定义域为，若,即,则,此时的单调减区间为;若,即,则的两根为,此时的单调减区间为,,单调减区间为．(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．因为要证,只需证．构造函数，则，在上单调递增,又,且在定义域上不间断,由零点存在定理，可知在上唯一实根,且．则在上递减,上递增,所以的最小值为．因为,当时,,则,所以恒成立．所以,所以，得证．PAGE试卷第2页，总4=4页_256.unknown_391.unknown_455.unknown_519.unknown_551.unknown_567.unknown_583.unknown_591.unknown_599.unknown_603.unknown_607.unknown_609.unknown_611.unknown_612.unknown_610.unknown_608.unknown_605.unknown_606.unknown_604.unknown_601.unknown_602.unknown_600.unknown_595.unknown_597.unknown_598.unknown_596.unknown_593.unknown_594.unknown_592.unknown_587.unknown_589.unknown_590.unknown_588.unknown_585.unknown_586.unknown_584.unknown_575.unknown_579.unknown_581.unknown_582.unknown_580.unknown_577.unknown_578.unknown_576.unknown_571.unknown_573.unknown_574.unknown_572.unknown_569.unknown_570.unknown_568.unknown_559.unknown_563.unknown_565.unknown_566.unknown_564.unknown_561.unknown_562.unknown_560.unknown_555.unknown_557.unknown_558.unknown_556.unknown_553.unknown_554.unknown_552.unknown_535.unknown_543.unknown_547.unknown_549.unknown_550.unknown_548.unknown_545.unknown_546.unknown_544.unknown_539.unknown_541.unknown_542.unknown_540.unknown_537.unknown_538.unknown_536.unknown_527.unknown_531.unknown_533.unknown_534.unknown_532.unknown_529.unknown_530.unknown_528.unknown_523.unknown_525.unknown_526.unknown_524.unknown_521.unknown_522.unknown_520.unknown_487.unknown_503.unknown_511.unknown_515.unknown_517.unknown_518.unknown_516.unknown_513.unknown_514.unknown_512.unknown_507.unknown_509.unknown_510.unknown_508.unknown_505.unknown_506.unknown_504.unknown_495.unknown_499.unknown_501.unknown_502.unknown_500.unknown_497.unknown_498.unknown_496.unknown_491.unknown_493.unknown_494.unknown_492.unknown_489.unknown_490.unknown_488.unknown_471.unknown_479.unknown_483.unknown_485.unknown_486.unknown_484.unknown_481.unknown_482.unknown_480.unknown_475.unknown_477.unknown_478.unknown_476.unknown_473.unknown_474.unknown_472.unknown_463.unknown_467.unknown_469.unknown_470.unknown_468.unknown_465.unknown_466.unknown_464.unknown_459.unknown_461.unknown_462.unknown_460.unknown_457.unknown_458.unknown_456.unknown_423.unknown_439.unknown_447.unknown_451.unknown_453.unknown_454.unknown_452.unknown_449.unknown_450.unknown_448.unknown_443.unknown_445.unknown_446.unknown_444.unknown_441.unknown_442.unknown_440.unknown_431.unknown_435.unknown_437.unknown_438.unknown_436.unknown_433.unknown_434.unknown_432.unknown_427.unknown_429.unknown_430.unknown_428.unknown_425.unknown_426.unknown_424.unknown_407.unknown_415.unknown_419.unknown_421.unknown_422.unknown_420.unknown_417.unknown_418.unknown_416.unknown_411.unknown_413.unknown_414.unknown_412.unknown_409.unknown_410.unknown_408.unknown_399.unknown_403.unknown_405.unknown_406.unknown_404.unknown_401.unknown_402.unknown_400.unknown_395.unknown_397.unknown_398.unknown_396.unknown_393.unknown_394.unknown_392.unknown_320.unknown_352.unknown_375.unknown_383.unknown_387.unknown_389.unknown_390.unknown_388.unknown_385.unknown_386.unknown_384.unknown_379.unknown_381.unknown_382.unknown_380.unknown_377.unknown_378.unknown_376.unknown_367.unknown_371.unknown_373.unknown_374.unknown_372.unknown_369.unknown_370.unknown_368.unknown_363.unknown_365.unknown_366.unknown_364.unknown_354.unknown_355.unknown_353.unknown_336.unknown_344.unknown_348.unknown_350.unknown_351.unknown_349.unknown_346.unknown_347.unknown_345.unknown_340.unknown_342.unknown_343.unknown_341.unknown_338.unknown_339.unknown_337.unknown_328.unknown_332.unknown_334.unknown_335.unknown_333.unknown_330.unknown_331.unknown_329.unknown_324.unknown_326.unknown_327.unknown_325.unknown_322.unknown_323.unknown_321.unknown_288.unknown_304.unknown_312.unknown_316.unknown_318.unknown_319.unknown_317.unknown_314.unknown_315.unknown_313.unknown_308.unknown_310.unknown_311.unknown_309.unknown_306.unknown_307.unknown_305.unknown_296.unknown_300.unknown_302.unknown_303.unknown_301.unknown_298.unknown_299.unknown_297.unknown_292.unknown_294.unknown_295.unknown_293.unknown_290.unknown_291.unknown_289.unknown_272.unknown_280.unknown_284.unknown_286.unknown_287.unknown_285.unknown_282.unknown_283.unknown_281.unknown_276.unknown_278.unknown_279.unknown_277.unknown_274.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