2019-2020年最新山东省菏泽市中考数学二模试卷及答案解析

山东省菏泽市中考数学二模试卷　一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．计算2m2n﹣3nm2的结果为（　　）A．﹣1B．﹣5m2nC．﹣m2nD．不能合并2．已知，如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56′，那么∠BOC为（　　）A．80°18′B．50°58′C．30°10′D．81°8′3．长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（　　）A．12cm2B．8cm2C．6cm2D．4cm24．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（　　）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数D．乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定5．已知y是关于x的函数，函数图象如图，则当y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）A．x＜0B．﹣1＜x＜1或x＞2C．x＞﹣1D．x＜﹣1或1＜x＜26．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中的格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个7．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（　　）平方厘米．（不计重合部分）A．253B．288C．206D．2458．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（　　）①∠CBD=∠CEB；②=；③点F是BC的中点；④若=，tanE=．A．①②B．③④C．①②④D．①②③　二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中横线上9．因式分解：x2y﹣7y=　　　　　　．10．一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，﹣1，﹣2，﹣3四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为　　　　　　．11．函数y=与y=x﹣2的图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为　　　　　　．12．如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为23°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于　　　　　　度；（2）求A、B两点间的距离等于　　　　　　（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73tan37°≈0.75，tan23°≈1.59，sin37°≈1.60，cos37°≈0.80）．13．已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为　　　　　　．14．如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA做匀速运动．已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点时，点P、Q再分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与△AMN相似，则v的值为　　　　　　．　三、解题题：本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（1）计算：﹣2tan60°﹣（﹣1）2015；（2）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．16．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．17．杭州市相关部门正在研究制定居民用水价格调整，小明想为政府决策提供信息，于是在某小区内随机访问了部分居民，就每月的用水量，可承受的水价调整的幅度等进行调查，并把调查结果整理成图1和图2，已知被调查居民美誉每月的用水量在5m3﹣35m3之间，被调查的居民中对居民用水价格调整幅度抱“无所谓”态度的有8户，试回答下列问题：①上述两个统计图表是否完整，若不完整，试把它们补全；②若采用阶梯式累进制调价方案（如表1所示），试估计该小区有百分之几的居民用水费用的增长幅度不超过50%？18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．19．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．20．阅读对话，解答问题．（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；（2）小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0根为有理数的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢，你觉得游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏方案．21．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是　　　　　　三角形；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．22．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）图中是否存在与△ODM相似的三角形，若存在，请找出并给于证明．（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；是否存在整数R，使得正方形ABCD内部的扇形OAM围成的圆锥地面周长为π？若存在请求出此时DM的长；不存在，请说明理由．（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．　山东省菏泽市中考数学二模试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．计算2m2n﹣3nm2的结果为（　　）A．﹣1B．﹣5m2nC．﹣m2nD．不能合并【考点】合并同类项．【】两项是同类项，根据合并同类项的法则把系数相加即可．【解答】解：2m2n﹣3nm2=﹣m2n，故选：C．【点评】本题考查了合并同类项法则的应用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．　2．已知，如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56′，那么∠BOC为（　　）A．80°18′B．50°58′C．30°10′D．81°8′【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】先由两直线平行，内错角相等得出∠D=∠B=50°56′，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到∠BOC=∠C+∠D，即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠D=∠B=50°56′，∴∠BOC=∠C+∠D=30.2°+50°56′=81°8′．故选D．【点评】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，比较简单，注意单位的换算．　3．长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（　　）A．12cm2B．8cm2C．6cm2D．4cm2【考点】由三视图判断几何体．【专题】压轴题．【分析】主视图的矩形的两边长表示长方体的长为4，高为2；左视图的矩形的两边长表示长方体的宽为3，高为2；那么俯视图的矩形的两边长表示长方体的长与宽，那么求面积即可．【解答】解：根据题意，正方体的俯视图是矩形，它的长是4cm，宽是3cm，面积=4×3=12（cm2），故选A．【点评】解决本题的关键是根据所给视图得到俯视图的矩形的边长．　4．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（　　）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数D．乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；极差；方差．【分析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．【解答】解：A、由图可知甲、乙运动员第一场比赛得分相同，第十二场比赛得分甲运动员比乙运动员得分高，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，此选项正确，不符合题意；B、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，此选项错误，符合题意；C、由图可知甲运动员得分始终大于乙运动员得分，所以甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数，此选项正确，不符合题意；D、由图可知甲运动员得分数据波动性较大，乙运动员得分数据波动性较小，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，所以此选项正确，不符合题意．故选B．【点评】此题主要结合折线统计图，利用极差、中位数、平均数以及方差来进行分析数据，找到解决问题的突破口．　5．已知y是关于x的函数，函数图象如图，则当y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）A．x＜0B．﹣1＜x＜1或x＞2C．x＞﹣1D．x＜﹣1或1＜x＜2【考点】函数的图象．【分析】观察图象和数据即可求出答案．【解答】解：y＞0时，即x轴上方的部分，∴自变量x的取值范围分两个部分是x＜﹣1，1＜x＜2．故选D．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件．　6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中的格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．【专题】网格型．【分析】由弦AB与弦BC的垂直平分线的交点为圆心，找出圆心O′的位置，确定出圆心坐标，过点B与圆相切时，根据切线的判定方法得到∠O′BF为直角时，BF与圆相切，根据网格找出满足条件的F坐标即可．【解答】解：根据过格点A，B，C作一圆弧，由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），只有∠O′BF=∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF=BD=2，∴F点的坐标为：（5，1）或（1，3）或（7，0），则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（5，1）或（1，3）或（7，0），共3个．故选C．【点评】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标与直角坐标系，其中确定出圆心O′的坐标是本题的突破点．　7．超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（　　）平方厘米．（不计重合部分）A．253B．288C．206D．245【考点】二次函数的应用．【分析】图，“喜之郎”果冻礼盒是一长方体．2个底面为矩形A′B′C′D′（如图3），2个侧面为矩形ABCD（如图2），2个侧面是以AB为高，AE为底的矩形．【解答】解：建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点K作KH⊥OD于点H．依题意知K（x，2）．易求开口向上抛物线的解析式：y=x2，所以2=x2，解得x=或x=﹣（舍去），∴OH=HG=，∴BC=BO+OH+HG+GC=3+++3=6+3，∴S矩形ABCD=AB•BC=4×（6+3）=24+12（平方厘米）．如图3，S矩形A′B′C′D′=6BC=6×（6+3）（平方厘米）．所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2AB•AE=178+80（平方厘米）．2×（24+12）+2×（36+18）+2×4×6=168+60≈253（平方厘米）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的应用．此题采用逆向思维，通过补全图形来计算包装盒的表面积．　8．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（　　）①∠CBD=∠CEB；②=；③点F是BC的中点；④若=，tanE=．A．①②B．③④C．①②④D．①②③【考点】圆的综合题．【分析】（1）运用直角及圆周角的关系证出∠CBD=∠CEB．（2）运用△EBC∽△BDC求证即可，（3）运用反正法来判定．（4）设BC=3x，AB=2x，得出OB、OD及OC、CD的值，运用=得出tanE=．【解答】证明（1）∵BC⊥AB于点B，∴∠CBD+∠ABD=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD=∠CEB，∴∠CEB=∠CBD，故①正确．（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，∴△EBC∽△BDC，∴=，故②正确，（3）∵∠EBD=∠BDF=90°，∴DF∥BE，假设点F是BC的中点，则点D是EC的中点，∴ED=DC，∵ED是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，∴DC不一定等于ED，故③是错误的．（4）∵=，设BC=3x，AB=2x，∴OB=OD=x，∴在RT△CBO中，OC=x，∴CD=（﹣1）x∵由（2）知，=∴===，∵tanE=∴tanE=，故④正确，故选：C．【点评】本题主要考查了圆的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等，解题的关键在于通过求证三角形相似根据对应边成比例的性质求出tan∠E的值．　二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中横线上9．因式分解：x2y﹣7y=　y（x﹣）（x+）　．【考点】实数范围内分解因式．【分析】首先提取公因式，再进一步利用平方差分解因式．【解答】解：x2y﹣7y=y（x2﹣7）=y（x﹣）（x+）．故答案为：y（x﹣）（x+）．【点评】此题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．　10．一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，﹣1，﹣2，﹣3四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为　　．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6种情况，∴两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　11．函数y=与y=x﹣2的图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为　6　．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题得到，利用代入法得到=x﹣2，整理得x2﹣2x﹣1=0，再利用根与系数的关系得a+b=2，ab=﹣1，然后把+变形得到=，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得方程组，消去y得=x﹣2，整理得x2﹣2x﹣1=0，∴a+b=2，ab=﹣1，∴+====6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了根与系数的关系．　12．如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为23°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于　30　度；（2）求A、B两点间的距离等于　26.0米　（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73tan37°≈0.75，tan23°≈1.59，sin37°≈1.60，cos37°≈0.80）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解；（2）在直角△PHB中，根据三角函数即可求得PB的长，然后在直角△PBA中利用三角函数即可求解．【解答】解：（1）∵tan∠ABC=1：，∴∠ABC=30°；（2）由题意得：∠PBH=60°，∵∠ABC=30°，∴∠ABP=90°，又∠APB=60°﹣23°=37°．在直角△PHB中，PB===20．在直角△PBA中，AB=PB•tan∠APB=20×0.75≈26.0（米）．故答案为30，26.0米．【点评】本题主要考查了俯角的问题，坡度的定义，解直角三角形，难度适中．正确利用三角函数是解题的关键．　13．已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为　17　．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】连结AD，过D点作DG∥CM，根据等高的三角形的面积与底成正比，可得△ACD的面积是5，再根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得△ODF的面积是，根据等量关系可得四边形AMGF的面积=，再根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得△AOM的面积，根据反比例函数系数k的几何意义可得△BOE的面积，依此即可求解．【解答】解：连结AD，过D点作DG∥CM．∵=，△AOC的面积是15，∴CD：CO=1：3，OG：OM=2：3，∴△ACD的面积是5，△ODF的面积是15×=，∴四边形AMGF的面积=，∴△BOE的面积=△AOM的面积=×=12，∴△ADC与△BOE的面积和为5+12=17．故答案为：17．【点评】考查了反比例函数系数k的几何意义，涉及的知识点有：等高的三角形的面积与底成正比，平行线分线段成比例和相似三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，综合性较强，有一定的难度．　14．如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA做匀速运动．已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点时，点P、Q再分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与△AMN相似，则v的值为　1或3或6　．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】动点型．【分析】易得△ABD是等边三角形，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，则AP，BF都可以求出，就可以判断N，F的位置，根据直角三角形的性质，判断△AMN的形状；然后根据△BEF与△AMN相似得到△BEF为直角三角形，就可以求出SQ的长，已知时间，就可以求出速度．【解答】解：∵∠A=60°，AD=AB=12，∴△ABD为等边三角形，故BD=12，又∵VP=2cm/s∴SP=VPt=2×12=24（cm），∴P点到达D点，即M与D重合vQ=2.5cm/sSQ=VQt=2.5×12=30（cm），∴N点在AB之中点，即AN=BN=6（cm），∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形，∵VP=2m/st=3s，∴SP=6cm，∴E为BD的中点，又∵△BEF与△AMN相似，∴△BEF为直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，①Q到达F1处：SQ=BP﹣BF1=6﹣=3（cm），故VQ=1（cm/秒）；②Q到达F2处：SQ=BP=9，故VQ=3（cm/秒）；③Q到达F3处：SQ=6+2BP=18，故VQ=6（cm/秒）．故答案为：1或3或6．【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质，此题也是图形与函数相结合的问题，正确根据条件得出方程是解题关键．　三、解题题：本大题共8小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．（1）计算：﹣2tan60°﹣（﹣1）2015；（2）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【考点】实数的运算；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）原式=2﹣2﹣2+1=﹣1；（2），由①得：x＞﹣；由②得：x≤1，则不等式组的解集为﹣＜x≤1，【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　16．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数的表达式；（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A和B代入反比例函数解析式即可求得坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）不等式＞kx+b的解集就是：对于相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分自变量的取值范围．【解答】解：（1）∵A（m，3），B（﹣3，n）两点在反比例函数y2=的图象上，∴m=2，n=﹣2．∴A（2，3），B（﹣3，﹣2）．根据题意得：，解得：，∴一次函数的解析式是：y1=x+1；（2）根据图象得：0＜x＜2或x＜﹣3．【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．　17．杭州市相关部门正在研究制定居民用水价格调整方案，小明想为政府决策提供信息，于是在某小区内随机访问了部分居民，就每月的用水量，可承受的水价调整的幅度等进行调查，并把调查结果整理成图1和图2，已知被调查居民美誉每月的用水量在5m3﹣35m3之间，被调查的居民中对居民用水价格调整幅度抱“无所谓”态度的有8户，试回答下列问题：①上述两个统计图表是否完整，若不完整，试把它们补全；②若采用阶梯式累进制调价方案（如表1所示），试估计该小区有百分之几的居民用水费用的增长幅度不超过50%？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】①根据扇形统计表中角度的比例关系可得出统计样本的总数，继而可补充完整两个统计表；②设每月每户用水量为xm3的居民调价后用水费用的增长幅度不超过50%，由表一可知分x≤15与x＞15两部分讨论，再结合图一可得出结论．【解答】解：①上述表格不完整，360°﹣40°﹣120°=200°．8×﹣15﹣22﹣9﹣6﹣3=72﹣15﹣22﹣9﹣6﹣3=17．补全表格如下．②∵设每月每户用水量为xm3的居民调价后用水费用的增长幅度不超过50%，当x≤15时，水费的增长幅度为×100%＜50%，当x＞15时，则≤50，解得：x≤20．∵从调查数据看，每月的用水量不超过20m3的居民有54户，∴=75%，又∵调查是随机抽取，∴该小区有75%的居民用水费用的增长幅度不超过50%．【点评】本题考查了条形和扇形统计图以及解一元一次不等式，解题的关键是：①由样本中某项数据得出样本数；②结合表一得出关于x的一元一次不等式．本题难度不大，属于基础题，解决该类型的题目需要熟悉各种统计表．　18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，∵OF∥BC，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF⊥AC，∵OC=OA，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF和△OCF中，，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴OF===5∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=AF•OA=OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE=，∴AC=2AE=．【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．　19．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由折线法及点E是BC的中点，可证得△B'EC是等腰三角形，再有条件证明∠AEF=90°即可得到AE⊥EF；（2）连接BB′，通过折叠，可知∠EBB′=∠EB′B，由E是BC的中点，可得EB′=EC，∠ECB′=∠EB′C，从而可证△BB′C为直角三角形，在Rt△AOB和Rt△BOE中，可将OB，BB′的长求出，在Rt△BB′C中，根据勾股定理可将B′C的值求出，【解答】解：（1）由折线法及点E是BC的中点，∴EB=EB′=EC，∠AEB=∠AEB′，∴△B'EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF=∠FEC，∴∠AEF=180°﹣（∠AEB+∠CEF）=90°，即∠AEF=90°，即AE⊥EF；（2）连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB=EB′=EC，∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C；又∵△BB'C三内角之和为180°，∴∠BB'C=90°；∵点B′是点B关于直线AE的对称点，∴AE垂直平分BB′；在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2=AB2﹣AO2=BE2﹣（AE﹣AO）2将AB=4cm，BE=3cm，AE=5cm，∴AO=cm，∴BO==cm，∴BB′=2BO=cm，∴在Rt△BB'C中，B′C==cm，由题意可知四边形OEFB′是矩形，∴EF=OB′=，∴S△B′EC=×B′C•EF=××=．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理勾股定理的和矩形的性质综合运用．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．　20．阅读对话，解答问题．（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；（2）小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0根为有理数的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢，你觉得游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏方案．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果；（2）由表格，结合一元二次方程根的情况，即可求得小丽赢与小兵赢的概率，比较概率的大小，即可知游戏是否公平；方案只要赢得概率一样，即游戏就公平．【解答】解：（1）（a，b）对应的表格为： ab 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 （2，1） （2，2） （2，3） 3 （3，1） （3，2） （3，3） 4 （4，1） （4，2） （4，3）（2）游戏不公平，∵符合有理数根的有2种，而符合无理数根的只有1种；∴P（小丽赢）=，P（小兵赢）=，∴P（小丽赢）≠P（小兵赢），∴不公平．设计方案：小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b=0根为等根的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．　21．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是　等腰　三角形；（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义．【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．【解答】解：（1）如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故填：等腰．（2）当抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（，），满足=（b＞0）．则b=2．（3）存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO=AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB=60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE=OEtan∠AOB=．∴=•（b＞0）．∴b′=2．∴A（，3），B（2，0）．∴C（﹣），D（﹣2，0）．设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则，解得．故所求抛物线的表达式为y=x2+2x．【点评】这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况．　22．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）图中是否存在与△ODM相似的三角形，若存在，请找出并给于证明．（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；是否存在整数R，使得正方形ABCD内部的扇形OAM围成的圆锥地面周长为π？若存在请求出此时DM的长；不存在，请说明理由．（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．【考点】圆的综合题．【专题】综合题．【分析】（1）可以选择证明△ODM∽△MCN；（2）先利用勾股定理求出R关于x的表达式，再由R的取值范围，分别讨论求解；（3）根据△ODM∽△MCN，利用对应边成比例得出CN，同理得出MN，表示出△CMN的周长，即可作出判断．【解答】解：（1）∵MN切⊙O于点M，∴∠OMN=90°，∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∴∠OMD=∠MNC，又∵∠D=∠C=90°，∴△ODM∽△MCN．（2）在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R，∴OD=AD﹣OA=8﹣R，由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，∴64﹣16R+R2+x2=R2，∴，∵4＜OA＜8，即4＜R＜8，∴当R=5时，∠MOA超过1800，不符合，舍去，当R=6时，∠MOA=160°，∴∵x＞0，∴，同理当R=7时，x=．（3）∵CM=CD﹣DM=8﹣x，，且有△ODM∽△MCN，∴，∴代入得到，同理，∴代入得到，∴△CMN的周长为P==（8﹣x）+（x+8）=16，在点O的运动过程中，△CMN的周长始终为16，是一个定值．【点评】本题考查了圆的综合，涉及了勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质，综合的知识点较多，此类题目对学生的综合能力要求较高，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想的运用．