线性代数综合练习题

线性代数综合练习第PAGE5页共NUMPAGES7页线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。2．设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（）。（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。3．下列向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是（）。（A）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=0的所有向量；（B）Rn中，坐标是整数的所有向量；（C）Rn中，坐标满足x1+x2+…+xn=1的所有向量；（D）Rn中，坐标满足x1=1，x2，…，xn可取任意实数的所有向量。4．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1有一个特征值等于（）。（A）；（B）；（C）；（D）。5．任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（）。（A）；（B）相似；（C）等价；（D）以上都不对。二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=，矩阵B满足：ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是三阶单位矩阵，则|B|=。七、（10分）已知A，B为n阶可逆方阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E是n阶单位矩阵，试证：A-2E可逆。并求出（A-2E）-1=？八、（10分）设为阶矩阵，且，其中是中元素的代数余子式（=1，2，…，n）。试证：的伴随矩阵*的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。线性代数综合练习参考一、选择题：1．（D）；2（A）；3．（A）；4．（B）；5．C）；二、填空题：1．；2．-1；3．，；4．；5．-三、解：A=（1）当=0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x1+x2+x3+x4=0由此得一基础解系为：，故全部解为：（其中为任意常数）……（7分）（2）当≠0时，当=-10时，r（A）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：，解之，可得一个基础解系为：y=（1，2，3，4）T，故全部解为：X=ky（其中k为任意常数）……（15分）备注：此题也可另解∵|A|=（+10）3∴当|A|=0时，即=0或=-10时，齐次线性方程组有无穷解。四、解：（1）记B=（）=，C=（）=则有：从而，由基到基的过渡矩阵为：A=B-1C=………………………（5分）（2）设α关于基的坐标为（）即：由此可得：，解之得：，故α关于基的坐标为（0，1，1），又∵=即α关于基的坐标为（1，1，2）…………………………（10分）五、解：（1）设A的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x1，x2，x3）T，则∵A是实对称矩阵，∴（x1，x2，x3）T与α1正交，即有：（x1，x2，x3）=0，也即：x1+x2+x3=0，解之：α2=（-1，1，0）Tα3=（-1，0，1）T∴A的属于λ2=1的全部特征向量为：k1α2+k2α3（k1，k2不同时为0）………………（5分）（2）∵A*=|A|A-1∴A*的特征值为：|A|·（-），|A|·1（2重）又∵|A|=-2∴A*的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）A*（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）A*=（α1，α2，α3）（α1，α2，α3）-1====……………………………………………（15分）六、解：f的正交变换前后的矩阵分别为：和于是，A、B相似，从而有相同的特征多项式即：|λE-A|=|λE-B|…………（5分）也即：λ3-3λ2+（2-a2-b2）λ+（a-b）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ各幂次项系数有：∴………………………………………………………（10分）七、证明：∵2A-1B=B-4E左乘A，得：2B=AB-4A…………………………………………（5分）即：AB-2B-4A=0∴（A-2E）（B-4E）=8E故A-2E可逆，且（A-2E）-1=（B-4E）……………………………………（10分）八、证明：∵r（A）=n-1∴r（A*）=1………………………………………………………（2分）又∵齐次线性方程组（0E-A*）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，∴0是A*的特征值，其重数不小于n-1…………………………………（5分）另外，tr（A*）=A11+A22+…Ann=λ1+λ2+…λn-1+λn=1…………………………………………………………（8分）故有：1是A*的单特征值；0是A*的n-1重特征值。………………………………………（10分）