八年级数学上册知识点总结(北师大版)

《数学》（八年级）总结（北师大版）《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）第一章勾股定理1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c22、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：知足a2b2c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。常有的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）规律：两边之和是短直角边的平方。（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，即当a为奇数且a＜b时，如果bca2，那么a,b,c就是一组勾股数.如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的随意偶数，2n(n＞1)都可组成一组勾股数分别是：2n,n21,n21如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、常有题型应用：（1）已知随意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积（2）已知随意一条的边长以及此外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积（3）判断三角形形状：a2b2c2锐角三角形，a2b2c2直角三角形，a2b2c2钝角三角形判断直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与此外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状第二章实数无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。1《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即x2a那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，算术平方根为非负数a0正数的平方根有2个，它们互为相反数平方根0的平方根是0负数没有平方根2.无理数的示定义：如果一个数的平方等于a，即x2a，那么这个数就叫做a的平方根，记为a正数的立方根是正数立方根负数的立方根是负数0的立方根是0定义：如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根，记为3a.观点有理数和无理数统称实数正数有理数分类或0无理数负数3.实数及其有关观点绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法例、运算规律与有理数的运算法例运算规律相同。一、实数的观点及分类1、实数的分类正有理数有理数0有限小数与无限循环小数实数负有理数正实数无理数正无理数实数0负无理数无限不循环小数负实数2《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7,32等根号a（a为非完全平方数或非立方数）。（2）有特定意义的数，如圆周率π（π=3.14159265)，或化简后含有π的数，如π+8等；33）有特定构造的数，如0.1010010001；0.585885888588885(相邻两个5之间8的个数逐次加1等；4）某些三角值，如sin60o等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点对于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可当作它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真实掌握数形联合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算.注意：（1）近似计算时，中间过程要多保存一位；（2）要求记忆：21.41431.73252.236.三、平方根、算数平方根和立方根1．平方根和算术平方根：（1）观点：如果x2a，那么x是a的平方根，记作：a；读作“正、负根号a”，其中a叫做a的算术平方根，读作根号a。（2）性质：①当a≥0时，a≥0；当a＜０时，a无意义；a2a2a②＝a；③。（划分②、③）性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。3《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。a0（开平方的被开方数的条件）注意：a的双重非负性：a0（算术平方根的非负性）2．立方根：（1）观点：若x3a，那么x是a的立方根（或三次方根），记作：3a；（2）性质：①3a3a；②3a3③3a＝3aa；性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：3a3a，这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。划分：平方根、立方根的性质本源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非负数才能够开平方，因此一个非0正数开平方后有2个；而任何数的立方后的符号与原数的符号一致，所以，任何数都能够开立方，一个数开立方后只有1个，符号与原数的符号也一致。四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。2、实数大小比较的几种常用1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。2）求差比较：设a、b是实数，ab0ab,ab0ab,ab0ab（3）求商比较法：设a、b是两正实数，a1;1;1ab;aaaabbbbb（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则abab。（5）平方法：①设a0,b0，则a2b2ab②设a0,b0，则a2b2ab。③同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。如：比较36与3.4；36与5324《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）（6）倒数法：设a0,b0，则ab11；设a0,b0，则a11abbba规律：同号取倒（数）反向五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数，即：a中a0。2、性质：（1）非负性a0（2）(a)2a(a0)2a0）（a中前提，被开方数（3）a2aa,(a0)2a20）a,(a（a中隐含被开方数0)（4）abab(a0,b0)；（abab(a0,b0)）（前提根号要存心义）（5）aa(a0,b0)；（aa(a0,b0)）（前提式子和根号要存心义，）bbbb拓展：三个重要非负数：a20,a0,a0.注意：非负数之和为0它们都是0.3、运算结果若含有“a”形式，必须知足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方2）实数的运算次序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。3）运算律加法互换律abba加法联合律(ab)ca(bc)乘法互换律abba乘法联合律乘法对加法的分派律(ab)ca(bc)a(bc)abac4）与实数有关的观点：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法例和运算律同样成立。每一个实数都能够用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好能够被实数填满。5《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）第三章地点确实定一、在平面内，确定物体的地点一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关观点1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；成立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描绘坐标平面内点的地点，把坐标平面被x轴和y轴切割而成的四个部分，分别叫做第一y象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的观点对于平面内随意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。点的坐标用（a，b）表示，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的地点不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。一二0x三四x轴、y轴对应的数a，b分别yPba0x平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同地点的点的坐标的特点（1）、各象限内点的坐标的特点（联合图形，过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数x,y在坐标轴的正向为正，负向为负）y(+,+)(-,+)By2点A(x1,y1)在第一象限x10,y10x3y1x1A点B(x2,y2)在第二象限x20,y20x2x4x0y3点C(x3,y3)在第三象限x30,y30C(-,-)y4D(+,-)点D(x4,y4)在第四象限x40,y40y（2）、坐标轴上的点的特点B(0,y2)点P(x,y)在x轴上y0，x为随意实数C(x3,0)0A(x1,0)x点P(x,y)在y轴上x0，y为随意实数D(0,y4)点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点yCA645°045°xB《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点y位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。FE位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。Gx0（5）、对于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特点HP(x,y)①点P与点P'对于x轴对称（上下）横坐标相等，纵坐标互为相反数，yy0x即点P（x，y）对于x轴的对称点为P'（x，-y）P'(x,-y)②点P与点P'对于y轴对称（左右）纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）对于y轴的对称点为P'（-x，y）yP(x,y)-yP'(-x,y)③点P与点P'对于原点对称横、纵坐标均互为相反数，xx即点P（x，y）对于原点的对称点为P'（-x，-y）0-xy规律：P(x,y)y对于谁对称谁不变，另一个变相反；对于原点对称，两个分别变相反。(6)、点到坐标轴及原点的距离（联合图形理解）点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：-xx0x-yP'(-x,-y)1）点P(x,y)到x轴的距离等于y2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于x2三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（x，y）的变化x×a或y×ax×a，y×ax×（-1）或y×（-1）x×（-1），y×（-1）xa或ya，其中a0xa，ya，其中a0y2（由勾股定理可得）图形的变化被横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍放大（缩小）为原来的a倍对于y轴或x轴对称对于原点成中心对称沿x轴（）左（+）右或y轴（+）上（）下平移a个单位沿x轴（）左（+）右平移a个单位，再沿y轴（+）上（）下平移a个单7《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）第四章一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围使函数存心义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时能够用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点3）连线：按照自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连结起来。五、正比率函数和一次函数、正比率函数和一次函数的观点一般地，若两个变量x，y间的关系能够表示成ykxb（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数ykxb中的b=0时（即ykx）（k为常数，k0），称y是x的正比率函数。2、一次函数的图像:所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比率函数图像的主要特点：①、一次函数ykxb的图像是经过点（0，b）的直线；正比率函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线。②、由于一次函数ykxb的图象是一条直线，所以一次函数ykxb的图象也称为直线8《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）ykxb。③、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数ykxb的图象时，只需描出：与x轴的交点（令y0，求出xb0，求出yb），即（(0,b),(b两），与y轴的交点（令x,0)kk点即可，画正比率函数ykx的图象时，只需描出点（0，0），（1，k）即可。④、k的正负决定直线的倾斜方向，k的大小决定直线的倾斜程度，即k越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），k越小，直线与x轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。⑤、b的正负决定直线与y轴交点的地点。当b0时，直线与y轴的交于正半轴上。当b0时，直线与y轴交于负半轴上。当b0时，直线经过原点，是正比率函数，正比率函数是一次函数的特例。4、一次函数、正比率函数的图象和性质。当k＞0时，y随x的增大而增大，图象从左到右奉上涨趋势；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。函数图象性质一次函数b.01（1）当k0时，y随x的增大而增ykxbk0b02大，图象必经过一三象限。b03①b0时，过一二三象限②b0时，只过一三象限③b0时，过一三四象限时b.01（2）当k0时，y随x的增大而减k0b02小，图象必过二四象限。b03①b0时，过一二四象限②b0时，只过二四象限③b0时，过二三四象限正比率函数ykxyy图象过原点0x⑴当k0时，y随x的增大而增大，0x图象必过一三象限⑵当k0时，y随x的增大而减小，图象必过二四象限。5、正比率函数和一次函数解析式确实定确定一个正比率函数，就是要确定正比率函数定义式ykx（k0）中的常数k。确定一个一次9《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）函数，需要确定一次函数定义式ykxb（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。（1）、确定正比率函数及一次函数表达式的条件①由于正比率函数ykx(k0)中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x,y的值或一个点）便可求得k的值。②由于一次函数ykxb(k0)中有两个待定系数k,b，需要两个独立的条件确定两个对于k,b的方程，求得k,b的值，这两个条件往常是两个点或两对x,y的值。2）待定系数法先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，进而求出式子的方法叫做待定系数法。3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤设函数表达式为ykxb。②将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。③求出k与b的值，得函数表达式。6、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转变为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值y0时，?即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转变为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程能够转变为：当一次函数值y0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．7、一次函数ykxb的图象与坐标轴交点求法：与x轴的交点：令yb，得(b0，求出x,0)；kk与y轴的交点：令x0，求出yb，得(0,b)第五章二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。10《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法（不论是代入消元法仍是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”）6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：每个二元一次方程都能够当作一次函数，直线y=kx+b上随意一点的坐标(m,n)都是它所对应的二元一次方程kxyb0的解xmn2）一次函数与二元一次方程组的关系：求二元一次方程组的解，可当作求两个一次函数图象的交点。a1xb1yc1xma1xc1二元一次方程组的解可看作两个一次函数ya2xb2yc2ynb1b1和ya2xc2的图象的交点(m,n)。反之，能够经过求二元一次方程组的解，求出两个一次函b2b2数图象的交点当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。7、在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大部分情况只需设问题为x或y；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。8、办理问题的过程能够进一步归纳为：问题剖析方程(组)求解解答抽象查验11《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）第六章数据的代表1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数、众数、中位数2、平均数（1）平均数：一般地，对于n个数x1,x21xn)叫做这n个数的算,,xn,我们把(x1x2n术平均数，简称平均数，记为x。（2）加权平均数：①、一组数据x1,x2,,xn,的权分加为w1x1w1x2w2x3w3....xnwn,w2,w3,....,wn，则称w2w3....wnw1为这n个数的加权平均数。（如：对某同学的数学、语文、科学三科的考察，成绩分别为72，50，88，而三项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为：724503881）431②、如果n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，，xk出现fk次（f1f2fkn），那么这n个的平均数可表示为xx1f1x2f2xkfk，这样的平均数x叫加权平均数，其中nf1,f2,fk叫做权。如：某小组在一次数学测试中，有3人为85分，2人为90分，5人为100分，则该小组的平均分为：853902100593.53253、众数众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。4、中位数中位数指的是n个数据按大小次序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间地点的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将数据按大小次序排列，而且要注意当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。12