学生版 《正弦定理、余弦定理及解三角形》 高考复习讲义

§4.6　正弦定理、余弦定理及解三角形1． 正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2. S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，A>B必有sinA>sinB． (　　)(2)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(3，2)． (　　)(3)若△ABC中，acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形． (　　)(4)在△ABC中，tanA＝a2，tanB＝b2，那么△ABC是等腰三角形． (　　)(5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)2． (2013·湖南)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于 (　　)3． (2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为 (　　)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定4． 在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．5． 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为__km.题型一　正、余弦定理的简单应用例1　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A等于 (　　)A．30° B．60° C．120° D．150°(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则sinB＋sinC的最大值为 (　　)A．0 B．1 C.12 D.2思维启迪　(1)由sinC＝23sinB利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A.思维升华　(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于 (　　)A.725 B．－725 C．±725 D.2425(2)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．题型二　正弦定理、余弦定理的综合应用例2　(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.思维启迪　利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.思维升华　有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．　在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．题型三　解三角形的实际应用例3　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪　本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．思维升华　求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．　在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．易错分析　(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形；(2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解；(3)结论表述不．规范解答温馨提醒　(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．3． 合理利用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A组　专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝2，BC＝2，则∠C等于 (　　)A．30° B．60° C．120° D．30°或150°2． △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cb<cosA，则△ABC为 (　　)A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形3． (2012·湖南)△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 (　　)A.3)2 B.3)2C.3)＋\r(6)2 D.3)＋\r(39)44． (2013·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且a＞b，则∠B等于 (　　)A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π65． 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝6，cosA＝78，则△ABC的面积等于 (　　)A.17 B.15 C.15)2 D．3　二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.　7． 在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则a＝________.8． 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为___．三、解答题9． (2013·北京)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．10．(2013·江西)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．B组　专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则ba等于 (　　)A．23 B．22 C.3 D.22． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　)A．1 B．2sin10°C．2cos10° D．cos20°3． (2013·浙江)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC＝________.4． (2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsin\a\vs4\al\co1(\f(π4)＋C)－csin\a\vs4\al\co1(\f(π4)＋B)＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．5． 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝3，且函数f(x)＝23sin2x＋2sinxcosx－3在x＝A处取得最大值．(1)求f(x)的值域及周期；(2)求△ABC的面积．