带电粒子在圆磁场中的运动

带电粒子在圆形磁场中的运动结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出例1电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？例2：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域，如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的最大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速率范围是多大？O1O2O3O4“让圆动起来”结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆心角都越小，运动时间越短。例3在真空中，半径r＝3×10－2m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B＝0.2T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷q/m＝1×108C/kg，不计粒子重力．(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．(1)R＝5×10－2m.(2)37o74o结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长越长对应时间越长。(直径对应的弧最长)例4、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）解2:设P(x，y)为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与x轴夹角为，则由图可知：x=rsin，y=r－rcos，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的圆弧应是磁场区域的下边界。磁场上边界如图线1所示。1两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：所有电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圆周上，如图所示。电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速圆周运动解1:即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何关系得由图可知，a、b、c、d等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程x2+(r－y)2=r2。结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对应时间越长。结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆心角都越小，运动时间越短。结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,“磁会聚”与“磁扩散”磁聚焦概括：平行会聚于一点一点发散成平行区域半径R与运动半径r相等迁移与逆向、对称的物理思想！例、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。已知重力加速度大小为g。（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。（3）在这束带电磁微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。【】（1）；方向垂直于纸面向外（2）见解析（3）与x同相交的区域范围是x>0.【解析】略【关键】图示例3　可控热核聚变反应堆产生能的方式和太阳类似，因此，它被俗称为“人造太阳”．热核反应的发生，需要几千万度以上的高温，然而反应中的大量带电粒子没有通常意义上的容器可装．人类正在积极探索各种约束装置，磁约束托卡马克装置就是其中一种．如图15所示为该装置的简化模型．有一个圆环形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知其截面内半径为R1＝1.0m，磁感应强度为B＝1.0T，被约束粒子的比荷为q/m＝4.0×107C/kg，该带电粒子从中空区域与磁场交界面的P点以速度v0＝4.0×107m/s沿环的半径方向射入磁场(不计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)．(1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R2(2)若改变该粒子的入射速度v，使v＝v0，求该粒子从P点进入磁场开始到第一次回到P点所需要的时间t.答案　(1)2.41m　(2)5.74×10－7s甲乙解析　(1)设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为R.则qv0B＝mveq\o\al(2,0)/RR＝eq\f(mv0,Bq)＝1.0m如图甲所示，由几何关系得eq\r(R\o\al(2,1)＋R2)＝R2－RR2＝(1＋eq\r(2))m＝2.41m(2)设粒子此时在磁场中做圆周运动的半径为r.则r＝eq\f(mv,Bq)＝eq\f(\r(3)mv0,3Bq)＝eq\f(\r(3),3)m如图乙所示，由几何关系得θ＝arctaneq\f(\r(3),3)＝30°，∠POP′＝60°故带电粒子进入磁场绕圆心O′转过360°－(180°－60°)＝240°又回到中空部分，粒子的运动轨迹如图所示，故粒子从P点进入磁场到第一次回到P点时，粒子在磁场中运动时间为t1＝3×eq\f(2T,3)＝2TT＝eq\f(2πm,Bq)粒子在中空部分运动时间为t2＝eq\f(6R1,v)，粒子运动的总时间为t＝t1＋t2＝eq\f(4πm,Bq)＋eq\f(6R1,v)＝5.74×10－7sA．带电粒子在磁场中飞行的时间不可能相同B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场D．从N点射入的带电粒子可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场解析：　画轨迹草图如右图所示，容易得出粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故B正确．答案：　B3．如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中，A、C、D选项中曲线均为半径是L的1/4圆弧，B选项中曲线为半径是L/2的圆)(　　)A五、正方形磁场 如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场。现将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是A在b、n之间某点B.在n、a之间某点C在a点D.在a、m之间某点cA．带电粒子在磁场中飞行的时间不可能相同B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场D．从N点射入的带电粒子可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场解析：　画轨迹草图如右图所示，容易得出粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故B正确．答案：　B五、正方形磁场 如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场。现将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是A在b、n之间某点B.在n、a之间某点C在a点D.在a、m之间某点cA．带电粒子在磁场中飞行的时间不可能相同B．从M点射入的带电粒子可能先飞出磁场C．从N点射入的带电粒子可能先飞出磁场D．从N点射入的带电粒子可能比M点射入的带电粒子先飞出磁场解析：　画轨迹草图如右图所示，容易得出粒子在圆形磁场中的轨迹长度(或轨迹对应的圆心角)不会大于在正方形磁场中的，故B正确．答案：　B3．如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中B0＝eq\f(mv0,qL)，A、C、D选项中曲线均为半径是L的eq\f(1,4)圆弧，B选项中曲线为半径是eq\f(L,2)的圆)(　　)解析：　带电粒子进入磁场中做圆周运动，圆周运动的半径R＝eq\f(mv0,Bq)，A、B、C对应的半径R＝L，D图对应的半径为eq\f(L,2).粒子的初速度都相同，相当于以初速度的方向为切线，以粒子进入磁场的点为切点来画半径已知的圆，圆弧和磁场边界的交点为出射点，由数学知识可以证明A图的粒子的出射点恒为两个圆弧右下方的交点，故A正确．B、C、D对应的粒子的出射点都不相同．答案：　A磁会聚平行飞入，定点会聚磁扩聚定点发射，平行飞出例：（09年浙江，25）如图6所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0<y<2R的区间内。已知重力加速度大小为g。（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。（3）若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。当速度变为2V的带电粒子，不具备“磁会聚”的条件，因此不会都通过O点。但此题可采用极端分析法，带电微粒在磁场中经过一段半径为r’=2R的圆弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图7所示。靠近M点发射出来的带电微粒在突出磁场后会射向x同正方向的无穷远处；靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。所以，这束带电微粒与x同相交的区域范围是x>0.MN3）圆形磁场区域【例】在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图4所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出.（1）请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷.（2）若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B′,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角,求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？变式：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域，如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的最大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速率范围是多大？结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆心角都越小，运动时间越短。变：（06年全国II）如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？ 题型一　　带电粒子在匀强磁场中的运动 [例1]　如图4所示，在真空中半径r＝3.0×10－2m的圆形区域内，有磁感应强度B＝0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v0＝1.0×106m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q/m＝1.0×108C/kg，不计粒子重力．图4 求： (1)粒子的轨迹半径； (2)粒子在磁场中运动的最长时间； (3)若射入磁场的速度改为v0＝3.0×105m/s，其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)[解析]　(1)由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径．qv0B＝meq\f(v02,R)，R＝eq\f(mv0,qB)＝5.0×10－2m.图5(2)由于R＞r，要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从图5甲中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆周，粒子运动时间最长，T＝eq\f(2πm,qB)，运动时间tm＝eq\f(2α,2π)×T＝eq\f(2α·m,qB)，又sinα＝eq\f(r,R)＝eq\f(3,5)，∴tm＝6.4×10－8s. [答案]　(1)5.0×10－2m　(2)6.4×10－8s　(3)略(3)R′＝eq\f(mv0′,qB)＝1.5×10－2m，粒子在磁场中可能出现的区域如图5乙所示(以aO为直径的半圆加上以a为圆心，aO为半径所作圆与磁场相交的部分)．VVV例2.一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，如图1所示，粒子的重力不计，试求：圆形匀强磁场区域的最小面积；vyxm+qbO·v30°·求圆形磁场最小半径:关键在于:找到射入点和射出点,并画出运动轨迹。