数理统计课后习题答案—杨虎

习题一、基本概念 习题一、基本概念 1．解： 设 为总体的样本 1） 2） 3） 所以 4） 2.解： 由题意得： i 0 1 2 3 4 个数 6 7 3 2 2 fxi 0.3 0.35 0.15 0.1 0.1 因为 ，所以 3．解： 它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即 4．解： 因k较大 5．解： 6．解： 7.解： 查卡方分位数 c/4=18.31,c=73.24 8．解： 由已知条件得： 由 互相独立，知 也互相独立，所以 9.解: 1) 2) 3) 4) 10.解： 1) 2) 11.解： 12.解： 1) 2) 3) 13.解： 14．解： 1） 且 与 相互独立 2） 15.解： 设 ，即 16．解： 17.： 1） 2） 3） 18. 解： 19.解 20.解： 21. 解： 1)因为 ，从而 ，所以 2）因为 ， 所以 3)因为 ， 所以 ， 故 22.解： 由Th1.4.1 (2) 查表: 23.解： 由推论1.4.3(2) 24.解： 1) 2) 25. 解： 1) 2) 26.解： 1) 2) 3) 27．解： 28.解： 习题二、参数估计 解： 矩估计 所以 ， 2．解： 1） 无解，依定义： 2）矩法： 极大似然估计： 3． 1）解： 矩法估计： 最大似然估计： 2)解： 矩估计： 最大似然估计： 3）解： 矩估计： 联立方程： 极大似然估计：依照定义， 4) 解： 矩估计： ，不存在 ，无解；故，依照定义， 5)解： 矩法： 即 极大似然估计： 无解，依定义有： 7)解： 矩法： 极大似然估计： 8)解： 矩法： 极大似然估计： 4解： 记 则 ； 5.解： 6解： 因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为： 根据样本数据得到： 。 由此看到，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0 7.解： 由3.2)知 所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大。 8 1）解： 2）解： ， 9解： 由极大似然估计原理得到 10解： 应该满足： 结果取决于样本观测值 11.解： 无偏， 方差最小 所以： 12、1）解： 2） 13．解： 14证明： 15．1）解： 是的 无偏估计 2）解： 可以看出 最小。 16．解： 比较有效 17.解： 18.解： 是有效估计量， 19.解： 注意： T是有效估计量， 20．1）解： 2）T是有效估计量， 是相合估计量。 21.解： T是有效估计量 22.1）解： 2） 所以 是有效估计量 3） 所以，T也是相合估计量。 23.解： 24. 解： 所以（1） （2） 25.解： 所以 26．解： 27.解： 28.解： 服从 正态分布，按照正态分布均值 的区间估计，其置信区间为 ；由题意，从总体X中抽取的四个样本为： 其中， ，代入公式，得到置信区间为 2） ， ，得到置信区间为 29.解： 所以 30.解： 所以 31．解： 32．解： 所以 33．解： 设 ，先验分布密度 ， 当 时，样本的概率密度分布为 关于参数 的后验分部为 的后验分部为 ，关于 的Bayes估计量 34．解： 设 ，先验分布密度 当 时，样本的概率密度分布为 关于参数 的后验分部为 的后验分部为 ，关于 的Bayes估计量 35．解： 设 ， 先验分布密度 当 时，样本的概率密度分布为： 关于参数 的后验分部为 ,这是因为 的后验分部为 关于 的Bayes估计量 36．解： （1） 解出 ， （2）设 先验分布密度 当 时，样本的概率密度分布为 关于参数 的后验分部为 的后验分部为 ，关于 的Bayes估计量 （3）比较估计量 ,有： 当 时， 所以，T2优于T1 习题三、假设检验 1.解： 拒绝 ，总体的均值有显著性变化 拒绝 ，总体的方差有显著性变化 2.解： 拒绝 ，元件不合格 3.解： 接受 ，机器工作正常 4．解： 拒绝 ，当前的鸡蛋售价明显高于往年 5.解： 拒绝 ，明显变大 6.解： 接受 ，合格 接受 ，合格 7.解： 8.解： 9.解： 10.解： 11.解： 12解： 13. 解： 14解： 15解： 接受 ，认为甲比乙强度要高 16解： 接受 ，认为乙的精度高 17解:： 接受，认为无显著差别 18.解： 19.解： 20.解： 21.解： 22.解： 23.解： 24.解： 25．解： 26.解： 27.解： 28.解： 29.解： 30．解 由题意知， 代入式子 选用式子 计算求得 ，于是抽查方案是：抽查66件产品，如果抽得的不合格产品 ，则接受这批产品，否则拒绝这批产品。 31.解： （1）解方程组 得 （2）若 未知，用 估计 ，从而得出公式 习题四 回归 1解：利用最小二乘法得到正规方程： 其中 代入样本数据得到： 用R分析可以直接得到 Call: lm(formula = y ~ 1 + x) Residuals: 1 2 3 4 5 6 -2.28571 1.82857 0.94286 0.05714 1.17143 -1.71429 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 24.628571 2.554415 9.642 0.000647 *** x 0.058857 0.004435 13.270 0.000186 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.855 on 4 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.9778, Adjusted R-squared: 0.9722 F-statistic: 176.1 on 1 and 4 DF, p-value: 0.0001864 所以：样本线性回归方程为： 2证明： 1） 由于 ，所以 ， 。 ， ， ， 命题得证。 2）同理得证。 3解：利用最小二乘法得到正规方程： 其中 代入样本数据得到： 用R分析得： Call: lm(formula = y ~ 1 + x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.049553 -0.025164 0.002805 0.023843 0.051012 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.314464 0.027074 11.615 2.45e-05 *** x -0.047172 0.009839 -4.795 0.00302 ** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.03746 on 6 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.793, Adjusted R-squared: 0.7585 F-statistic: 22.99 on 1 and 6 DF, p-value: 0.003017 所以：样本线性回归方程为： 拒绝域形式为： ，所以是显著。 4解： 1）利用最小二乘法得到正规方程： 其中 用R分析得 Call: lm(formula = y ~ 1 + x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.074323 -0.025719 -0.002468 0.025209 0.083125 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 3.03318 0.03871 78.35 <2e-16 *** x -2.06979 0.05288 -39.14 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.04454 on 15 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.9903, Adjusted R-squared: 0.9897 F-statistic: 1532 on 1 and 15 DF, p-value: < 2.2e-16 所以：样本线性回归方程为： ， 2）第二题已证： 的置信区间为 ，所以代入值计算得到： ， 的置信区间为 ，代入数值计算得到： 。 （3） 。 （4） 5)解方程： 5证明： 若要 ，那么 。 6解： 1）最小化残差平方和： 2）证明： 3） ， 同理，易得 7解：1）令 ，根据最小二乘法得到，正规方程： ，最后得到 所以：样本线性回归方程为： ， 2）令 ，得到 所以：样本线性回归方程为： ， 3）令 ，得到 所以：样本线性回归方程为： ， 综上， 相关最大 8解： 9解： 由多元线性模型得： 代入数值得到： 用R分析得 Call: lm(formula = y ~ x1 + x2, data = weight) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.7400 -1.1550 -0.1893 0.8862 3.9542 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -15.93836 3.85644 -4.133 0.00166 ** x1 0.52227 0.08532 6.121 7.51e-05 *** x2 0.47383 0.12243 3.870 0.00261 ** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.81 on 11 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.9905, Adjusted R-squared: 0.9887 F-statistic: 570.5 on 2 and 11 DF, p-value: 7.757e-12 同样得到： 10解： 用R分析得 Call: lm(formula = y ~ x1 + x2, data = demand) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -8.4750 -5.3674 -0.4031 4.1193 9.9523 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 111.69182 23.53081 4.747 0.00209 ** x1 0.01430 0.01113 1.284 0.24000 x2 -7.18824 2.55533 -2.813 0.02603 * --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 7.213 on 7 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.8944, Adjusted R-squared: 0.8643 F-statistic: 29.65 on 2 and 7 DF, p-value: 0.0003823 得到回归方程： 11解： 2） 12解：1)令 ， 用R分析得： Call: lm(formula = y ~ x1 + x2, data = demand) Residuals: 1 2 3 4 5 6 7 8 1.18333 -1.55238 -0.80714 0.61905 0.92619 0.01429 -0.21667 -0.16667 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 3.41667 0.90471 3.777 0.01294 * x1 2.72619 0.60377 4.515 0.00631 ** x2 -0.39048 0.08293 -4.708 0.00530 ** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.075 on 5 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.816, Adjusted R-squared: 0.7424 F-statistic: 11.08 on 2 and 5 DF, p-value: 0.01453 求得回归方程为： 2) 拒绝域形式为： ，所以是显著。 3)将 代入回归方程，得到 13 解 ，得到 习题五 方差分析与试验 1.解： ①用R单因素方差分析表如下： Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) A 4 227680 56920 3.9496 0.02199 * Residuals 15 216175 14412 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 方差来源 自由度 平方和 均方 F值 P值 因素A 误差 4 15 227680 216175 56920 14412 3.9496 0.02199 * 因为p=0.02199<0.05,所以认为不同日期生产的质量有显著差异。 ②用SPSS分析得： ANOVA 质量 Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups 227680.000 4 56920.000 3.950 .022 Within Groups 216175.000 15 14411.667 Total 443855.000 19 因为p=0.022<0.05,所以认为不同日期生产的质量有显著差异。 ２.解： ①用R单因素方差分析表如下： Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) A 3 0.0083467 0.0027822 2.4264 0.1089 Residuals 14 0.0160533 0.0011467 方差来源 自由度 平方和 均方 F值 P值 因素A 误差 3 14 0.0083467 0.0160533 0.0027822 0.0011467 2.4264 0.1089 因为p=0.1089>0.05,所以认为不同日期生产的质量无显著差异。 ②用SPSS分析得： ANOVA 得率 Sum of Squares df Mean Square F Sig. Between Groups .008 3 .003 2.426 .109 Within Groups .016 14 .001 Total .024 17 因为p=0.109>0.05,所以认为不同催化剂下平均得率无显著差异。 3. 解： 用SPSS双因素方差分析表如下： Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable:冲击值 Source Type I Sum of Squares df Mean Square F Sig. Model 1127.938a 6 187.990 213.962 .000 X 1067.157 4 266.789 303.649 .000 Y 60.782 2 30.391 34.590 .001 Error 5.272 6 .879 Total 1133.210 12 a. R Squared = .995 (Adjusted R Squared = .991) 因为0.000<0.05,0.001<0.05，所以认为含铜量和试验温度会对钢的冲击值产生显著差异。 4.解： 用R方差分析如下： Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) M 3 2.750 0.917 0.5323 0.6645282 B 2 27.167 13.583 7.8871 0.0023298 ** M:B 6 73.500 12.250 7.1129 0.0001922 *** Residuals 24 41.333 1.722 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 方差来源 自由度 平方和 均方 F值 P值 因素M 因素B 相互效应A*B 误差 3 2 6 24 2.750 27.167 73.5 41.333 0.917 13.583 12.250 1.722 0.5323 7.8871 7.1129 0.6645 0.00233 0.00192 因为 所以操作工之间的差异显著；机器之间的差异不显著；它们的交互作用显著。 5.解： 根据题意选择正交表 来安排试验，随机生成正交试验表如下： A B C D 硬度合格率（%） 1 2 3 4 1 1 2 1 2 100 2 2 1 2 1 45 3 1 1 2 2 85 4 2 2 1 1 70 由此可见第三号试验条件为：上升温度800℃、保温时间6h、出炉温度500℃。 A B C D 硬度合格率（%） 1 2 3 4 1 1 2 1 2 100 2 2 1 2 1 45 3 1 1 2 2 85 4 2 2 1 1 70 185 130 170 115 K=300 P=22500 Q=24150 =3250 115 170 130 185 23725 22900 22900 23725 1225 400 400 1225 方差分析表： 方差来源 平方和 自由度 均方差 F值 A 1225 1 1225 1 B 400 1 400 0.33 C 400 1 400 0.33 误差 1225 1 1225 总和 3250 4 所以认为三个因素对结果影响都显著。 由方差分析表看出：本例较好的水平搭配是： 即最佳搭配为：上升温度820℃、保温时间6h、出炉温度400℃. 6.解： 根据题意选择正交表 来安排试验 随机生成正交试验表如下： A 1 B 2 C 3 实验结果 产量（kg/m2%） 1 1 1 1 62.925 2 1 2 2 57.075 3 1 3 3 51.6 4 2 1 2 55.05 5 2 2 3 58.05 6 2 3 1 56.55 7 3 1 3 63.225 8 3 2 1 50.7 9 3 3 2 54.45 第8号实验的条件：品种（A3）珍珠矮11号，插值密度（B2）3.75棵/100m2 ，施肥量（C1）0.75kg/100m2纯氨； 对正交实验进行方差分析，直接用R软件求解 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) A 2 1.759 0.879 0.0223 0.9782 B 2 65.861 32.931 0.8361 0.5446 C 2 6.660 3.330 0.0845 0.9220 Residuals 2 78.776 39.388 ，所以认为三个因素对结果影响都不显著。 由方差分析表看出：本例较好的水平搭配是： 7*.解 根据题意选择均匀设计表 来安排试验 第7号实验的条件为：原配料比2.6，吡啶量16ml，反应时间0.5h