【备战2014中考数学专题讲座】第36讲：概率问题探讨

福州五佳教育锦元数学工作室 编辑 从27讲开始，我们针对中考数学中的热门考点，从数学的基础知识方面分26个专题进行探讨。 统计和概率是初中数学中的重要内容，是近年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～20％。其中概率部分，要求学生在具体情境中体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率，体会概率对制定决策的重要作用，加强统计与概率之间的联系。 结合2013年全国各地中考的实例，我们从六方面进行概率问题的探讨： （1）随机事件问题； （2）概率的意义问题； （3）概率的直接应用问题； （4）几何概率问题； （5）用树形图法，列法计算概率问题； （6）游戏公平性问题。 一、随机事件问题： 在一定条件下一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件。在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，又叫不确定事件。 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 1.（2013年内蒙古包头3分）下列事件中是必然事件的是【 】 A．在一个等式两边同时除以同一个数，结果仍为等式 B．两个相似图形一定是位似图形 C．平移后的图形与原来图形对应线段相等 D．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面一定朝上 B、因为两个相似图形不一定是位似图形，事件是随机事件； C、因为平移后的图形与原来图形对应线段相等，事件是必然事件； D、因为随机抛出一枚质地均匀的硬币，落地后正面可能朝上，事件是随机事件。 故选C。 2.（2013年福建南平4分）以下事件中，必然发生的是【 】 A．打开电视机，正在播放体育节目 B．正五边形的外角和为180° C．通常情况下，水加热到100℃沸腾 D．掷一次骰子，向上一面是5点 3. （2013年广东茂名3分）下列事件中为必然事件的是【 】 A．打开电视机，正在播放茂名新闻 B．早晨的太阳从东方升起 C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上 D．下雨后，天空出现彩虹 　 4.（2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田3分）下列事件中，是必然事件的为【 】 A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 B．江汉平原7月份某一天的最低气温是﹣2℃ C．通常加热到100℃时，水沸腾 D．打开电视，正在播放节目《男生女生向前冲》 5. （2013年湖北武汉3分）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是【 】 A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球． B．摸出的三个球中至少有一个球是白球． C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球． D．摸出的三个球中至少有两个球是白球． 6. （2013年湖南衡阳3分）“a是实数，|a|≥0”这一事件是【 】 A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 7.（2013年湖南张家界3分）下列事件中是必然事件的为【 】 A．有两边及一角对应相等的三角形全等 B．方程x2﹣x+1=0有两个不等实根 C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比也是1：4 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】D。 8.（2013年辽宁沈阳3分）下列事件中，是不可能事件的是【 】 A．买一张电影票，座位号是奇数 B．射击运动员射击一次，命中9环 C．明天会下雨 D．度量三角形的内角和，结果是360° 　 9.（2013年山东聊城3分）下列事件： ①在足球赛中，弱队战胜强队． ②抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上． ③任取两个正整数，其和大于1 ④长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形． 其中确定事件有【 】 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A。 【考点】确定（必然）事件。 10.（2013年江西南昌6分）甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件． （1）下列事件是必然事件的是（ ）． A．乙抽到一件礼物 B．乙恰好抽到自己带来的礼物 C．乙没有抽到自己带来的礼物 D．只有乙抽到自己带来的礼物 （2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率． 二、概率的意义问题： 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事A发生的概率。必然事件发生的概率为1，不可能事件概率为0，随机事件发生的概率大于0小于1。 概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生。 利用频率估计概率：1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率。2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P。3．利用频率估计出的概率是近似值。 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 1.（2013年甘肃兰州4分）“兰州市明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是【 】 A．兰州市明天将有30%的地区降水 B．兰州市明天将有30%的时间降水 C．兰州市明天降水的可能性较小 D．兰州市明天肯定不降水 2.（2013年广东佛山3分）掷一枚有正反面的均匀硬币，正确的说法是【 】 A．正面一定朝上 B．反面一定朝上 C．正面比反面朝上的概率大 D．正面和反面朝上的概率都是0.5 3.（2013年湖北宜昌3分）2012﹣2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是【 】 A．科比罚球投篮2次，一定全部命中 B．科比罚球投篮2次，不一定全部命中 C．科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D．科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小 4.（2013年福州五佳教育3分）事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是【 】 A．P（C）＜P（A）=P（B） B．P（C）＜P（A）＜P（B） C．P（C）＜P（B）＜P（A） D．P（A）＜P（B）＜P（C） 　 5.（2013年江苏扬州3分）下列说法正确的是【 】 A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为 ”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖 D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在 附近 6.（2013年山东青岛3分）一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有【 】个 A、45 B、48 C、50 D、55 7.（2013年湖南长沙3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　 ▲ 　． 8.（2013年辽宁本溪3分）在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有 　 ▲ 　个． 　 9.（2013年山东淄博4分）请写出一个概率小于 的随机事件： ▲ ． 三、概率公式的直接应用问题： 概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 1.（2013年北京市4分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为【 】 A. B. C. D. 3.（2013年福建福州4分）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别，从袋中随机也取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是【 】 A．3个 B．不足3个 C．4个 D．5个 5个以上 4.（2013年福建厦门3分）掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上一面的点数为5的概率是【 】 A．1 B． C． D．0 5.（2013年广东湛江4分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为【 】 A. B. C. D.1 6.（ 2013年广西梧州3分）小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是【 】 A． B． C． D． ∵小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，∴偶数一共有4个。 ∴小李报到偶数的概率是： 。 故选B。　 7.（2013年贵州贵阳3分）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为 ，遇到绿灯的概率为 ，那么他遇到黄灯的概率为【 】 A． B． C． D． 9.（2013年贵州遵义3分）如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是【 】 A． B． C． D． 　 10.（2013年黑龙江牡丹江农垦3分）小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是【 】 A． B． C． D． 　 11.（2013年广西南宁3分）甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场只设1、2、3、4四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是【 】 A、1 B、 C、 D、 ∴甲抽到1号跑道的概率是： 。 故选D。　 12.（2013年辽宁抚顺3分）在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是 ，则随机摸出一个球是蓝球的概率是【 】 A． B． C． D． 13.（2013年安徽省4分）如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为【 】 A、 B、 C、 D、 ∴让两盏灯泡同时发光的概率为 。故选B。 14.（2013年河北省3分）如图，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是 ▲ ． 15.（2013年重庆市A4分）从3，0，－1，－2，－3这五个数中。随机抽取一个数，作为函数 和关于x的方程 中m的值，恰好使函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率是 ▲ 。 16.（2013年重庆市B4分）在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别为O（0，0），B（1，1）A（x，y）（ 均为整数），则所作△OAB为直角三角形的概率是 ▲ 。 17.（2013年青海西宁2分）张明想给单位打电话，可电话号码中的一个数字记不清楚了，只记得6352□87，张明在□的位置上随意选了一个数字补上，恰好是单位电话号码的概率是 ▲ . 　 19.（2013年福建厦门6分）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1～12这12个整数（每个面只有一个整数且互不相同）．投掷这个正12面体一次，记事件A为“向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，请你判断等式P（A）= +P（B）是否成立，并说明理由． 四、几何概率问题： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率为几何概率。 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 1.（2013年湖北恩施3分）如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为【 】 2. （2013年湖北咸宁3分）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为【 】 A． B． C． D． 3.（2013年广东茂名3分）如图，四条直径把两个同心圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在白色区域的概率是　 ▲ 　． 4.（2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭3分）小明“六•一”去公园玩儿投掷飞镖的游戏，投中图中阴影部分有奖（飞镖盘被平均分成8分），小明能获得奖品的概率是　 ▲ 　． 5.（2013年湖南湘西3分）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　 ▲ 　． 　 6.（2013年湖南岳阳4分）如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为　 ▲ 　． 7.（2013年江苏盐城3分）如图所示是一飞镖游戏板，大圆的直径把组同心圆分成四等份，假设击中圆面上每个点都等可能的，则落在黑色区域的概率 ▲ . ∴镖落在黑色区域的概率是 。 五、用树形图法，列表法计算概率问题： 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 1.（2013年福建龙岩4分）若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称为凸数，如：786，465．则由1，2，3这三个数字构成的，数字不重复的三位数是“凸数”的概率是【 】 A． B． C． D． 2.（ 2013年广西贵港3分）如图，直线a∥b，直线c与a、b都相交，从所标识的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 3.（2013年黑龙江哈尔滨3分）在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为【 】． (A) (B) (C) (D) ∴两次都摸到黑球的概率是 。故选C。 4.（2013年黑龙江牡丹江市区3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是【 】 A． B． C． D． 5.（2013年辽宁本溪3分）甲、乙两盒中各放入分别写有数字1，2，3的三张卡片，每张卡片除数字外其他完全相同．从甲盒中随机抽出一张卡片，再从乙盒中随机摸出一张卡片，摸出的两张卡片上的数字之和是3的概率是【 】 A． B． C． D． ∵所有等可能的情况数有9种，其中数字之和为3的有2种， ∴P数字之和为3= 。 故选B。　 6.（2013年山东德州3分）一项“过关游戏”：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于 n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是【 】 A． B． C． D． 7.（2013年山东临沂3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是【 】 A． B． C． D， 8.（2013年山东泰安3分）有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为【 】 A． B． C． D． ∵一共有6种等可能情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个， ∴点（a，b）在第二象限的概率为 。 故选B。 9.（2013年山东淄博4分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是【 】 A． B． C． D． 10. （2013年四川绵阳3分）“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是【 】 A． B． C． D． 【答案】D。 【考点】列表法或树状图法，概率。 【分析】根据题意画出树状图如下： 11.（2013年四川内江3分）同时抛掷A、B两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在抛物线 上的概率为【 】 A． B． C． D． 12.（2013年四川遂宁4分）一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是【 】 A． B． C． D．1 13.（2013年湖北黄石3分）甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任 选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n。若m、n满足 ，则称甲、乙两人“心有灵犀”。 则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 ▲ . 14.（2013年江苏连云港8分）甲、乙、丙三人之间互相传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次． （1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少？ （2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由． 15.（2013年江苏南京8分）（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同。求下列事件的概率： ①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球； ②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球； （2）某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的，如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是 (A) (B) (C) (D) ∴他6道选择题全部正确的概率是 。故选B。 六、游戏公平性问题： 判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平。 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 1.（2013年内蒙古包头8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘． （1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率； （2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由． 【分析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率。 （2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平。 2.（2013年内蒙古赤峰10分）甲、乙两位同学玩摸球游戏，准备了甲、乙两个口袋，其中甲口袋中放有标号为1，2，3，4，5的5个球，乙口袋中放有标号为1，2，3，4的4个球．游戏规则：甲从甲口袋摸一球，乙从乙口袋摸一球，摸出的两球所标数字之差（甲数字﹣乙数字）大于0时甲胜，小于0时乙胜，等于0时平局．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若不公平，请你对本游戏设计一个对双方都公平的游戏规则． 　 3.（2013年甘肃白银、平凉、酒泉、张掖、临夏8分）为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其它没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球（第一次摸后不放回）把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分，如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分，得分高的获得入场卷，如果得分相同，游戏重来． （1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率； （2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？ 4.（2013年福建三明10分）三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上． （1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为　 ▲ 　； （2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 5.（2013年广东湛江8分）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅均，再从中各随机抽取一张． （１）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率． （２）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】解：（１）从6张卡片分两组，从中各随机抽取一张，各种情况画树状图如下： 6.（2013年贵州毕节10分）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数 字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数 时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘． （1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率； （2）这个游戏对甲 、乙双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】解：（1）画树状图得： 7.（2013年贵州贵阳10分）现有两组相同的扑克牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是2和3，从每组牌中各随机摸出一张牌，称为一次试验． （1）小红与小明用一次试验做游戏，如果摸到的牌面数字相同小红获胜，否则小明获胜，请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ （2）小丽认为：“在一次试验中，两张牌的牌面数字和可能为4、5、6三种情况，所以出现‘和为 4’的概率是 ”，她的这种看法是否正确？说明理由． 　 8.（2013年湖北荆门10分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时： （1）求三辆车全部同向而行的概率； （2）求至少有两辆车向左转的概率； （3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 ．目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 9.（2013年湖北随州9分）在一个不透明的布袋中有2个红色和3个黑色小球，它们只有颜色上的区别． （1）从布袋中随机摸出一个小球，求摸出红色小球的概率． （2）现从袋中取出1个红色和1个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中，甲乙两人约定做如下游戏：两人分别从这两个布袋中各随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请用树状图（或列表）的方法表示游戏所有可能结果，并用概率知识说明这个游戏是否公平． 【考点】列表法或树状图法，概率，游戏公平性。 【分析】（1）根据概率公式直接求出摸出红色小球的概率即可； （2）利用树状图法或列表表示出所有可能，进而得出甲、乙获胜的概率进行比较即可。 10.（2013年湖南常德6分）某书店参加某校读书活动，并为每班准备了A，B两套名著，赠予各班甲、乙两名优秀读者，以资鼓励．某班决定采用游戏方式发放，其规则如下：将三张除了数字2，5，6不同外其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲获A名著；若牌面数字之和为奇数，则乙获得A名著，你认为此规则合理吗？为什么？ 11.（2013年江苏南通10分）在不透明的袋子中有四张标有数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏。 小明画出树形图如下： 小华列出如下： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） ① （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 回答下列问题： （1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是：随机抽出一张卡片后 ▲ （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片； （2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ▲ ； （3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为淮获胜的可能性大？为什么？ 12.（2013年辽宁鞍山6分）小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况． （2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由． 13.（2013年辽宁锦州10分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去． （1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平． 14.（2013年辽宁营口10分）小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛，游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球，上面分别标有数字2，3，4，5．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则小丽去参赛；否则小华去参赛． （1）用列表法或画树状图法，求小丽参赛的概率． （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】解：（1）根据题意画树状图如下： 15.（2013年山东青岛6分）小明和小刚做纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上，洗匀后从每组牌中各抽取一张，称为一次游戏。当两张牌的牌面数字之和为奇数，小明得2分，否则小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由 【答案】解：根据题意，画出树状图如下： 16.（2013年四川达州7分）某中学举行“中国梦·我的梦”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽。 这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明。 ∴班长去的概率 ，学习委员去的概率 。 ∴ 。∴这个游戏公平。 【考点】列表法或树状图法，概率，游戏公平性，整式的混合运算。 【分析】首先判断运算正确的卡片的数量，再利用树状图或列表表示出所有可能，然后利用概率的公式求解即可。 17.（2013年浙江杭州10分）某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号（从1号到50号）的卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片 （1）在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20只计一次），求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率； （2）若规定：取到的卡片上序号是k（k是满足1≤k≤50的整数），则序号是k的倍数或能整除k（不重复计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由； （3）请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的． 文章来源：福州五佳教育网www.wujiajiaoyu.com(中小学快速提分，就上福州五佳教育)