恒定电流
12-1
第十二章 恒定电流
12-1 北京正负电子对撞机的储存环是周长为 240m的近似圆形轨道。求当环中电子电流强
度为 8mA时,在整个环中有多少电子在运行。已知电子的速率接近光速。
[解] 设储存环周长为 l,电子在储存环中运行一周所需时间
c
l
v
lt ≈=
在这段时间里,通过储存环任一截面的电量即等于整个环中电子的总电量,以 Q表示,则
c
lIItQ ==
故电子总数为
10
819
3
104
103106.1
240108 ×=×××
××=== ...
12-1
第十二章 恒定电流
12-1 北京正负电子对撞机的储存环是周长为 240m的近似圆形轨道。求当环中电子电流强
度为 8mA时,在整个环中有多少电子在运行。已知电子的速率接近光速。
[解] 设储存环周长为 l,电子在储存环中运行一周所需时间
c
l
v
lt ≈=
在这段时间里,通过储存环任一截面的电量即等于整个环中电子的总电量,以 Q
示,则
c
lIItQ ==
故电子总数为
10
819
3
104
103106.1
240108 ×=×××
××=== −
−
ec
Il
e
QN
12-2 表皮损坏后的人体,其最低电阻约为 800Ω 。若有 0.05A的电流通过人体,人就有生
命危险。求最低的危险电压(国家规定照明用电的安全电压为 36V)。
[解] V4080005.0 =×== IRU
12-3 一用电阻率为 ρ的物质制成的空心半球壳,其内半径为 1R 、外半径为 2R 。试计算其
两表面之间的电阻。
[解] ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=== ∫∫
21
2
11
44
2
1 RRr
drdRR
R
R π
ρ
πρ
12-4 一铜棒的横截面积为 20mm× 80mm,长为 2m,两端的电势差为 50mV。已知铜的
电导率为 mS. 71075 ×=σ ,铜内自由电子的电荷密度为 31010361 mC. × 。求:(1)它的电
阻;(2)电流; (3)电流密度;(4)棒内的电场强度;(5)所消耗的功率;(6)棒内电子的漂移速
度。
[解] (1) Ωσ
5
67 10221080201075
02 −
− ×=××××== ..
.
S
LR
(2) A.
.R
UI 35
3
1032
1022
1050 ×=×
×== −
−
12-2
(3) 2
3
41
8020
1032 mmA..
S
Ij =×
×==
(4) Ej σ= mV.
.
.jE 27
6
1052
1075
1041 −×=×
×== σ
(5) ( ) W...RIP 25232 102110221032 ×=×××== −
(6) ( ) J.J..RtIW 55232 1024360010221032 ×=××××== −
(7) scm.scm
..
.
ne
ju 41922
2
1001
10611058
1041 −
− ×=×××
×==
12-5 电缆的芯线是半径为 1r =0.5cm的铜线,在铜线外面包一层同轴的绝缘层,绝缘层的外
半径为 2r =2cm,电阻率 m⋅×= Ωρ 12101 。在绝缘层外面又用铜层保护起来(如图所示)。(1)
求长 L=1000m 的这种电缆沿径向的电阻;(2)当芯线与铅层的电势差为 100V 时,在这电缆
中沿径向的漏电流是多大?
[解] (1)在绝缘层内距轴线 r处作一半径为 r、厚度为 dr、长为 L的同轴圆柱形薄壳,此薄壳
沿径向的电阻
rL
drdR πρ 2=
电缆沿径向的电阻则为
1
2
22
2
1 r
r
ln
rLrL
drdRR
r
r π
ρ
π
ρ === ∫∫
ΩΩ 8
12
1022
50
2
10001432
101 ×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×××
×= .
.
ln
.
(2)电缆中的径向电流
A.A
.R
UI 78 10541022
100 −×=×==
12-6 一铁制水管,内、外直径分别为 2.0cm和 2.5cm,这水管常用来使电气设备接地。如
果从电气设备流入到水管中的电流是 20A,那么电流在管壁中和水中各占多少?假设水的电
阻率是 0.01 m⋅Ω ,铁的电阻率为 m. ⋅× − Ω81878 。
[解] 设水管内、外直径分别为 1d 、 2d ,铁管和管内水的截面积分别为
12-3
( )22211 4 ddS −= π 222 4 dS π=
水管内有电流时,管壁和管内的水构成并联电路,管壁内的电流 1I 、和水中电流 2I 之比为
110561
02
52
1078
0101 42
2
82
1
2
2
1
2
21
12
2
1
2
1 >>×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=== − ..
.
.
.
d
d
S
S
R
R
I
I
ρ
ρ
ρ
ρ
1I >> 2I ,因此 AI 201 ≈ , 02 ≈I 。
12-7 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。(1)地表面附近,晴天
时大气平均电场强度约为 120 mV ,大气中的平均电流密度约为 212104 mA× 。问:(1)大
气的电阻率是多大?(2)若电离层和地表面之间的电势差为 V5104× ,大气中的总电阻是多
大?
[解] (1) 大气电阻率 m
j
E ⋅×== Ωρ 3103
(2)总电阻 ( ) Ω2104103761434 104 1227
5
=
×××××
×== −..I
UR
12-8 球形电容器的内外半径分别为 a和 b,两极板间充满电阻率为 ρ的均匀物质,试计算
该电容器的漏电电阻。
[解] 在电容器内作一半径为 r、厚为 dr的同心球壳,此球壳的径向电阻为
22 r
drdR πρ=
球形电容器的漏电阻即为
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=== ∫∫ bardrdRR
b
a
11
42 2 π
ρ
π
ρ
12-9 一长度为 l,内外半径分别为 1R 和 2R 的导体管,电阻率为 ρ。求下列三种情况下管子
的电阻:(1)若电流沿长度方向流动;(2)电流沿径向流动;(3)如图所示,把管子切去一半,
电流沿图示方向流过。
12-4
[解] (1) 沿长度方向流动时, ( )2122 RRS −=π 。沿长度方向厚度为 dl的一层所具有的电阻为
( )dlRRSdldR 2122 −== π
ρρ
∴ ( ) ( )21220 2122 RR
ldl
RR
R
l
−=−= ∫ π ρπ ρ
(2) 径向流动时,故 rlS π2= 。沿径向厚度为 dr的一层所具有的电阻为
r
dr
lS
drdR π
ρρ
2
==
∴
a
bln
lr
dr
l
R
b
a π
ρ
π
ρ
22
== ∫
(3) 管子切去一半,设两边电压为 U,半径为 r处电场强度
r
UE π= 即 Ur
j =πσ
1
2
R
R
lnULLdr
r
UdjI π
σ
π
σ =⋅== ∫∫
所以
1
2
1
R
R
lnLI
UR ρπ==
12-10 一铜导线横截面积为 4 2mm ,20s 内有 80C 的电量通过该导线的某一横截面。已知
铜内自由电子的数密度为 3221058 −× m. ,每个电子的电量为 C. 191061 −× ,求电子的平均定
向速率。
[解] 26101 mA
S
Ij ×==
因为 nevj =
所以 sm.
ne
jv 510357 −×==
12-11 如图所示,一用电阻率为 ρ的
制成的圆台,其高为 l,两端面的半径为别为 1R 和
2R 。试计算此圆台两端面之间的电阻。
12-5
[解] 对于粗细不均匀导体的电阻,不能直接用
S
lR ρ= 计算。垂直于锥体轴线截取一半径为
r、厚为 dx 的微元,此微元电阻 2r
dxdR πρ= ,沿轴线对元电阻 dR积分,即得总电阻
∫= dRR 。
由
可得锥体两端面间的电阻 ∫= 2rdxR πρ (1)
由几何关系可得
21
2
RR
Rr
l
x
−
−=
则 dr
RR
ldx
21 −
= (2)
将式(2)代人式(1)得
( ) 21221
1
2 RR
l
r
dr
RR
lR
R
R π
ρ
π
ρ =−= ∫
12-12 一容器里盛着温度为 90℃、质量为 1.5kg 的水。由于热量的散失,水的温度每分钟
降 12℃。为了保持 90℃的水温,可用一根 50Ω 的电热丝浸在水里加热,问需要有多大的
电流通过该电热丝。
[解] 使水温升高 12℃所需热量为 TcmQ Δ=
电热丝每分钟发热量为 RtIQ 2=′
QQ =′
即 TcmRtI Δ=2
A...
Rt
TcmI 05
6050
125110184 2
1
32
1
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
×
×××=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= Δ
12-13 如图所示, 1ε = 2ε =2V,内阻 1r = 2r =0.1Ω , Ω51 =R , Ω842 .R = 。试求:(1)电路
中的电流;(2)电路中消耗的功率;(3)两电源的端电压。
12-6
[解] (1)由闭合电路的欧姆定律可得电路中的电流
(2)电路中消耗的功率为
( ) W.rrRRIN 6121212 =+++=
(3)电源的端电压分别为 V.IrU 961111 =−= ε
V.IrU 961222 =−= ε
12-14 如图所示的电路中, 1ε =6V,d, 2ε =2V, Ω11 =R , Ω22 =R , Ω33 =R , Ω44 =R 。
求:(1)通过各电阻的电流;(2)A、B两点的电势差 ABU 。
[解] (1)取电流和回路绕行方问如图所示,由闭合电路欧姆定律,得
总的电流为 A.
RR
RR
RR
I 850
7
1221
4
3
43
12
21 =
++
=
+++
−= εε
流过各电阻的电流分别为
A.III 85021 ===
A.I
RR
R
I 490
43
4
3 =+=
A.I
RR
R
III 360
43
3
34 =+=−=
(2)由一段含源电路的欧姆定律得
12-15 如图所示, 1ε =12V,d, 2ε =10V, 3ε =8V, 1r = 2r = 3r =1Ω , Ω21 =R , Ω32 =R 。
求;(1)a、b两点间的电势差;(2)c、d两点间的电势差。
[解] (1)回路电流为
12-7
A.I 40
221221
812 =+++++
−=
( ) V.Uab 102124012 =++−=
(2) 010 =−= VUU abcd
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