二次型及其标准形1

nullnullnullnull例2 设解nullnull（考虑为什么？）nullnull解则，已知，相对应的特征向量分别为得基础解系得基础解系思考 求A，C还有没有别的取法？null把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1. 由特征值、特征向量反求矩阵nullnullnull2. 求方阵的幂nullnullnullnull第六章二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵§6.2 化二次型为标准型§6.1 二次型及其矩阵示null§5.5 二次型其次标准形判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见下图nullnull称为n维(或n元)的二次型.关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！null例如：都是二次型。不是二次型。只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。为二次型的标准形。null则二次型可以表示为二次型用和号表示null注二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3、的系数的一半分给可保证null例如：二次型注：二次型 对称矩阵null写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。解null只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。null对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。null第六章二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵§6.2 化二次型为标准型§6.1 二次型及其矩阵表示null简记一、 非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。 当C 是可逆矩阵时, 称null对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。经过可逆线性变换使得为什么研究可逆 的变换？即经过可逆线性变换可化为null矩阵的：证明定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1) 反身性(2) 对称性(3) 传递性null回忆相似关系：比较合同和相似关系null二. 化二次型为标准形正交变换法（重点） 配目标：问题转化为：null回忆：此结论用于二次型所以，null(P191 定理6.2.1)定理：1. 正交变换法对二次型其中其中P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量。定理：null用正交变换化二次型为标准形的步骤例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解（1）写出二次型 f 的矩阵(2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量而它们所对应的标准正交的特征向量为而它们所对应的标准正交的特征向量为(3) 写出正交变换取正交矩阵则得所欲求的正交变换即（4） 写出（4） 写出的标准型。易知经上述正交变换后所得二次型的标准型null2.解 二次型的矩阵为null3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：null作正交变换 X=QY，则注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。null§5.6 用配方法化二次型成标准形配方法的步骤化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.2. 配方法2. 配方法⑴ 同时含有平方项与交叉项的情形。例2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：令令二次型的标准形为所求的可逆线性变换为即例3 用配方法化二次型例3 用配方法化二次型为标准形,并求出所作的可逆线性变换.解 令⑵ 只含交叉项的情形。令令即则二次型的标准形为所用的可逆线性变换为所用的可逆线性变换为null得标准形为下面做法对吗?null思考题：(1) 合同且相似；(2) 合同但不相似；(3) 不合同但相似；(4) 不合同且不相似；null以上说明：注意：2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.null定理 二次型必可化为规范形。证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:(思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？null(1) 二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？ (3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？ (4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？null解由题意nullA与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵null第六章二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵§6.2 化二次型为标准型§6.1 二次型及其矩阵表示null§6.3 正定二次型本节讨论二次型的分类问题. 重点是正定二次型. 在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy 可以互化，即则称这两个二次型等价。这相当于即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。 我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩 阵的合同等价类。null什么条件决定两个二次型等价？ 我们知道, 等价的二次型有相同的秩, 也就是标准形中平方项个数相等. 但秩相等的两个二次型不一定等价.因为不存在可逆矩阵 C 满足null( P196 定理6.3.1 ) 在二次型的标准形中，正项个数与负项个数 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数. 设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则 负惯性指为 r – p . f 的规范形为 惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩 和正惯性指数唯一确定。null 如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。 正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。 显然，如果 f 负定，则 – f 正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。null 二次型 f(x) = xTAx 正定的充要条件是对任意x≠0，都有 f(x) = xTAx >0. (注：书上以后者为定义)null( 霍尔维茨定理 ) 对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即null: 二次型 f(x) = xTAx 为正定二次型(A为正定矩阵)null判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.解null解判别二次型是否正定.即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值null判别二次型的正定性.解它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别 －Ａ 为正定.nullA特征值是两正一负。null是正定二次型？解 二次型的矩阵为A的顺序主子式为：所以当例5 问t 满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于0，此时 f 正定。null证明 ATA 为正定矩阵的充要条件是 A 为列满秩矩阵.nullnull解化为标准形。求A的特征值求二次型的矩阵补充题：null求A的规范正交的特征向量null求正交变换矩阵null写出二次型的标准形