(-∞,0)∪(0+∞)是一个区间吗
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华南师范大学数学科学学院 吴有昌
中学数学教师都要深人理解 中学数学概念 ,这是
提高教学质量的基础.否则,便会产生许多不良的影
响和后果.区间是 中学数学 中的重要概念 ,不 少数学
教师对 区间的定义不注意理解 ,导致忽视了区间 的概
念 ,造成了一些不必要又影响重大的误解 ,从 而导致
了学生对相关问题的理解存在障碍.
1 一个问题的错解
(一。。,0)U(0,4-。。)是一个 区间吗?让我们先
从一个问题谈起.在学习函数 的单调性一节 内容时 ,
1
学生 通 常会 问这...
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华南师范大学数学科学学院 吴有昌
中学数学教师都要深人理解 中学数学概念 ,这是
提高教学质量的基础.否则,便会产生许多不良的影
响和后果.区间是 中学数学 中的重要概念 ,不 少数学
教师对 区间的定义不注意理解 ,导致忽视了区间 的概
念 ,造成了一些不必要又影响重大的误解 ,从 而导致
了学生对相关问题的理解存在障碍.
1 一个问题的错解
(一。。,0)U(0,4-。。)是一个 区间吗?让我们先
从一个问题谈起.在学习函数 的单调性一节
时 ,
1
学生 通 常会 问这 样 一 个 问题 :函数 f(z)一 在
.上
(一。。,0)U(0,4-。。)上是减函数吗?
1
答 :函数 厂(z)一 在 (一。。,0)U(0,4-。。)上不
Z
是减函数.因为 ,取 z E(一。。,0),z E(0,4-。。),例
如 z1一一1,z2—1,则有 厂(z1)< 厂(,2-2).所 以,函数
1
厂(z)一 在(一。。,0)U(0,4-。。)上不是减 函数.(*)
Z
这个解法是笔者 2007年在指导教育实习中发现
的,起 因是一位高 中生来问某 位实习教师 ,这位 实习
教师在黑板上 给学 生如此讲解 ,碰巧笔者在旁听 到.
刚开始笔者就觉得这位实习教师的讲解存在问题 ,但
问题具体在哪里 当时没有想到 ,第二天笔者才发现了
问题的所在.当笔者 向这位实习教师了解情况时 ,得
知是他实习所在班的数学科任教师如此指导他.这引
起 了笔者的极大重视.据笔者了解,至少 80 以上的
中学数学教师都是如此做的,也是这样教给学生的.
为了更好地了解具体情况,结合 2007年广东省数学骨
干教师的培训、2007级 中学数学教育硕士的教学以及
2005级数学系本科生 的教学等工作 的开展 ,对相关的
教学对象开展了调查,调查对象及调查结果如下表 :
调查 对象 样本 赞 同(*)
容量 解法的人数
(其中,部分骨干教师和教育硕士生是来 自全国
各师范大学 的历届本科毕业生 )
然而 ,这个 解法是错误 的!因为,函数 的单调性
是针对 函数定 义域 中某一 区 间而 言的 ,而 (一。。,0)
U(0,4-。。)根本不是一个 区间.笔者对 调查结果感到
非常惊讶 ,这么简单的一个问题居然有如此之多的数
学教师做错 ,这似乎是不可思议 的.然而 ,这毕竟是一
个事实 1
2 区间的相关知识回顾
为了更清楚 地认识 区 间,让 我们 回顾 相关 的知
识.对于 区间,中学教材均有严格 的定义 :设 n,b是两
个实数 ,而且 n
n,z≤b,z<6的实数 z的集合 分别表示为
[n,+∞),(n,+∞),(一∞,6],(一∞,6).[ ]
定理:实直线R上至少含有两点的一个集E为连
通集 ,当且仅当 E是一个区间.1_2
从区间的定义及定理可以知道 ,区间必须是连通
的.根据 这一性质 ,我们可 以清楚地知道 ,(一oo,0)
U(0,4-oo)不是一个 区间 ,因为它不包含 0这 个点,
所以不是一个连通 的集合 ,只能说它是一个 开集,而
(一oo,0)和(0,4-oo)分别是这个开集的构成 区间.当
前高中数学必修教材对区间的连通性强调不够,导致
部分师生产生了误解.
3 错解原因探析
为什么一个 由学生提出来 的问题会有这 么多教
师错解而又看似正确的呢?原因主要有以下两点.
3.1 问题的前提不真
函数的单调性 是针对 区间而言 的,而 (一oo,0)
U(0,4-oo)不是一个区间.因此,该问题的前提不真.
关于这一点,人教 A版的同步导学上也明确指出,一
(下转第 57页)
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个“路线图”较好地符合了高中生的知识结构和认知
规律 ,并且较好地吻合 了高 中的课时限制.两者在知
识点深度的把握上也是“英雄所见略同”.
6.3 计分原则
IB与 AP都采用分值转换制,也就是,通过一定
的转换把考生卷面的原始分值转换成各 自的 7
分制(IB)和 5分制(AP).
IB一卷、二卷满分 均为 120分 ,三卷 满分 为 6O
分,内部评估满分为 4O分,按 3O,3O,2O,2O的比例折
算成百分制 ,然后 根据 IB主考 (chief examiner)团队
综合各种 因素而商定 的划分界 限(cutout boundary)
把考生的分数划为 7档,1分到 7分,7分为最高.
AP考试的原始分根据 AP主考 (chief reader)商定
的划分界限被转换成 5档,1分到 5分 ,5分为最高.
7 两种考试结果的解释
根据国际文凭组织 的官方解释,IB成绩应有如下
评价:
7分 6分 5分 4分 3分 2分 1分
杰 出 很好 好 满意 普通 糟糕 非常糟糕
根据美国大学委员会的官方解释,AP成绩有如
下解释:
2007年 5月的考试结果显示,IB(高水平)考试,
7603名考生中 8 的学生获得满分 7分 ,世界平均分
是 4.43;AP微 积 分 (BC)考 试 ,64311名 考 生 中
43.5 的考生获得 5分 ,平均分是 3.71.
8 结语
其实 IB也好,AP也罢,总的指导思想都是让一
些优秀高中毕业生在打好基础知识之后,接触一些大
学内容,而不是像国内一样继续在基础知识上挖下
去.大学也不会把 IB或 AP的分数当成唯一的录取标
准,事实上还有很多学生虽然没有参加过 IB或 AP考
试,也能通过 自己的努力和其 他方面的突出成绩得 到
著名大学 的青 睐.一些 学者嘲笑 国外 的数学课程是
“
一 英里宽,一英寸深”,还形容国外的数学课程严谨
不够 ,讽刺为“模 糊数学 ”.事实究竟 怎样?两种方式
的数学教育究竟孰好孰 坏?两种方式应该如何相互
借鉴才能建立更好的有利于学生健康发展的课程体
系?笔者认为 ,把 IB和 AP考试作为切入口来更好地
了解国外的教育理念,以期对国内的课程改革提供一
点有益的资讯 ,是一条可行 的探索之路.
参考 文献
1 Guide for Mathematics HL(First Examinations 2008),prin—
ted in the United Kingdom by Antony Rowe Ltd,Chippen—
ham,W ihshire,International Bacalaureate Organization
2 Calculus Course Description(Calculus AB,Calculus BC),
M ay 2008,College Board
3 The IB Diploma Programme Statistical Bulletin(May 2007
Examination Session),published in November 2007,Inter—
national Bacalaureate Organization
4 Student Grade Distributions(AP Examinations—May 2007),
College Board
(上接第 53页)
般来说 ,函数 的单调性是针对某个具体 区间而 言的,
1
而不是针对整个定义域,例如我们不能说“函数 一
上
1
是减函数 ,”只能说“函数 一 分别在(一。。,O)和(O,
上
+oo)上是减 函数”_3]这种解释强调 了函数 的单调 性
是针对区间而言的,但笔者认为,它会令人容易产生
1
误解 ,没有指出为什么不能说“函数 Y一二是减函数”
1
的真正 原 因,其 真 正 原 因是 函数 Y一 的定 义 域
(一CxD,0)U(O,+CxD)不是一个区间!事实上,若某个
函数 的整个定义域可以看成一个 区间 ,则函数 的单调
性毫无疑问是可以针对整个定义域而言 的.例 如,函
数 一2x在其整个定义域(一CxD,+。。)上是增函数.
3.2 解题过程出错
错解看似非常正确,实则不然,其表面原因是 、
。 的取值不符合定义.先 回顾增 (减 )函数 的定义 :一
般地 ,设函数 厂( )的定义域为 I:如果对定义域 I内
的某一区间 D上的任意两个 自变量 、 z,当 .22 < z
时,都有f(x。)<厂( z)(或f(x。)>厂( z)),则称函数
厂( )在 区间 D上是增 (减)函数 ].再来 回顾 (*)的
做法 ,(*)中取 1∈(一c,o,O), 2∈(O,+。。),这是不
符合定义的!根据定义 ,z。、 必须同属某一区间,错
误的本质是把(一。。,0)U(O,+。。)误看做一个区间.
笔者在本科课程 与教育硕 士课 程教学 中提出 了
这个,与学生一起探讨.开始时,学生(员)们大都
认为(*)解法正确 ,没有任何 问题.经过笔者的细致
分析 ,明确指 出(一。。,0)U(0,+。。)不 是一个 区间
时,他们都恍然大悟,深刻认识到了错误的原因,对区
间的连通性有了更深刻的理解 ,从而对 函数 的单调性
有了更进一步的认 识.这个案例给我们启示 ,数 学教
师对数学中的概念要认真分析、加深理解,这将会促
进我们开展有效的数学教学.
参考文献
1 钱佩玲主编.普通高中课程实验教科书——数学必修
1(A版)[M].北京 :人民教育出版社,2004
2 S.李普舒茨.一般拓扑学[M].上海:华东师范大学出版
社 ,1982
3 麦羲主编.普通高中课程标准实验教科书导学从书——数
学同步导学(配人教 A版,必修 1)[M].北京:教育科学出
版社 ,2005
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