理论力学_陈立群_第3章_平衡问题_解答

第三章 平衡问题：矢量方法 习题解答 3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。 解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。 （2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。 （3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。 （4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。 （5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。 平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。 （6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。 除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。 3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？ 解：以送料机为研究对象，受力图如图示。满载时不致翻倒的临界状态是 。列平衡方程： ， ， 解得 所以，当 时，才能使料斗在满载时不致翻倒。 3-3梁AB用三根杆支承，如图示。已知 ， ， ， EMBED Equation.3 。试求三杆的约束力。 (a) 解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程 ， ， , . , . （b）解：以AB以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程 ， ， 解得： ； ， 解得： 。 3-4试求图示多跨梁的支座反力。已知（a） ， ；（b） ， 。 (a) 解：（1）先取BC梁为对象，画受力图，列平衡方程 ， ， ； ， ， （2）再取AB梁为对象，画受力图，列平衡方程 ， ， ， ; , , . (b) 解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程: , , ; , ， （2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程: , , . . , . 3-5梁的支承及载荷如图示。已知： ， 。试求支座的约束力。 （a）解：（1）先取CD梁为对象，画受力图，列平衡方程: ， ， 。 ， 。 。 2）再取AC梁为对象，画受力图，列平衡方程: ， ， 。 ， ， 。 ， 。 （b）解：（1）取BC梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B点处的载荷集度为q/2。列平衡方程: EMBED Equation.3 ， ， ， 。 ， （2）取AB梁为对象，画受力图。列平衡方程: ， ， . ， , . ， . 3-6 图示构架中，重物W重1200 N，由细绳跨过滑轮E而水平地系于墙上，尺寸为：AD=BD=2 m，CD=DE=1.5 m。不计滑轮和杆的自重，求支座A和B处的约束力，以及杆BC的内力。 解：（1）以整体为研究对象，显然 。 列平衡方程： ， ， 。 ， ， ， 。 （2）以AB杆为研究对象。列平衡方程： ， ， 其中 。解得 。 3-7一凳子由杆AB、BC和AD铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力 如图示。求铰链E处的约束力。 解：（1）取整体为研究对象。 ， ， ； （2）取AB杆为研究对象。 ， ， （3）取AD杆为研究对象。 ， 。 ， ， . 3-8 图示构架由杆AB、CD、EF和滑轮以及绳索组成，H、G和E处为铰链，固结在杆EF上的销钉K放在杆CD的光滑槽内。已知物块M重P和水平力Q，尺寸如图示。若不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座A和C以及杆EF上销钉K的约束力。 解：（1）取整体为研究对象， ， ， ； ， ； 。 （2）取EF杆连同轮为研究对象，显然 。 ， ， . （3）取CD杆为研究对象， ， ， ； 代入上面（1）中第3式，解得： 。 3-9 滑轮B与折杆AB和BC用铰链连接，如图示。设滑轮上绳的拉力P=500 N，不计各构件的自重，求各构件给销钉的力。 解：（1）取轮（不包括销钉）为对象， ， ， ； ， ； ， ； 轮对销钉的作用力是 的反作用力。 （2）取轮连同销钉为对象，折杆 AB和BC都是二力杆，列平衡方程： ， ， ， ， 其中， 。解得 。 将数据代入，得： 。 3-10 由杆组成的结构如图示。A、B、C、E、G均为光滑铰链。已知F=20 kN, q=10kN/m,M=20 kN-m,a=2 m, 不计自重，求A和G处的约束力以及杆BE和CE的内力。 解：（1）取整体为研究对象， ， ， ， ， ； ， 。 （2）取GE杆为研究对象， ， ， ， ， ； 将此代入（1）中第3式，得 。 ， ， 3-11构架由杆AB、AC和DF铰接而成，如图示。在杆DEF上作用一力偶矩为M的力偶。不计各杆的重量，求杆 AB上铰链A、D和B所受的力。 解：（1）取整体为研究对象，支座反力 必组成力偶。 ， ， ； （2）取DF杆为研究对象， ， ， ； （3）取AB杆为研究对象， ， ， ， ， ， ， 。 3-12构架由杆AB、AC和DF组成，如图示。杆DF上的销子E可在杆AC的光滑槽内滑动。在水平杆DF的一端作用铅直力F，不计各杆的重量，求杆 AB上铰链A、D和B所受的力。 解：（1）取整体为研究对象， ， ， ； （2）取DF杆为研究对象， ， ， ； ， ， ； ， ， ； （3）取AB杆为研究对象， ， ， ； ， ， ； ， ， 。 3-13不计图示结构中各杆的重量，力F=40kN 。求铰链A、B和C处所受的力。 解：（1）取DF杆为研究对象， ， ， ， （a） （2）取CA杆为研究对象， ， ， （b） 由式（a）和（b）联立解得： ， ； ， ， 。 ， ， 代入数据，得： ， ， ， 。 3-14在图示构架中，A、C、D和E处均为铰链连接，杆BD上的销子B置于AC杆的光滑槽内，力F=200 N ，力偶矩M=100N-m ，不计结构中各杆的重量，求A、B和C处所受的力。 解：（1）取整体为研究对象， ， ， 。 （2）取BD杆为研究对象， ， ， ； （3）取AC杆为研究对象， ， ， ； ， ， ； ， ， 。 3-15用图示三角架ABCD和绞车E从矿井中吊起重G=30kN的重物，△ABC为等边三角形，三角架的三只脚和绳索DE均与水平面成60°角，不计三角架的重量，求当重物被匀速吊起时各脚所受的力。 解：取滑轮和重物连同杆的一部分为研究对象，受力图及其在水平面的投影如图示，显然有： ， ， ， 。因三角架的三只脚和绳索DE均与水平面成60°角，有 ， ， ； （a） ， ； （b） ， ， EMBED Equation.3 ； （c） 由式（a）、（b）和（c）解得： . 3-16 重物M放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM和BM拉住。已知物重W=1000 N, 斜面的倾角 ，绳与铅垂面的夹角分别为 和 。如果物体的尺寸忽略不计，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。 解：取重物M为研究对象，画受力图，建立M-xyz直角坐标系，其中xy沿斜面，z轴与斜面垂直。 ， ， ； ， ， ， ， 解得： , , 将数据代入，得 ， ， 。 3-17 图示一空间桁架，由六根杆组成。一力P=10 kN ，作用于节点A，此力在ABNDC铅垂面内，且与铅垂线CA成45°角。△EAK和△FBM相等，皆为铅垂等腰直角三角形，并与ABNDC直交，其余见图示。求各杆的内力。 解：（1）取节点A为研究对象， ， ， ； ， ， ； ， ， 。 （2）取节点B为研究对象， ， ， ； ， ， ； ， ， 。 代入数据得： ， ， ， 。 3-18三脚圆桌的半径r=50 cm，重为G=600 N，圆桌的三脚A、B和C形成一等边三角形。如在中线CO上距圆心为 的点M处作用一铅垂力P=1500 N，求使圆桌不致翻倒的最大距离 。 解：取三脚圆桌为研究对象， ， ， 圆桌不致翻倒的条件： ， ， 代入数据，得使圆桌不致翻倒的最大距离为 。 3-19 手摇钻由支点B、钻头A和一个弯曲的手柄组成。当支点B处加压力 和 ，以及手柄上加力 后，即可带动钻头绕轴AB转动而钻空。已知： ， ，求：（1）钻头受到的阻抗力偶矩M；（2）材料对钻头的约束力 的值；（3）力 的值。 解:取手摇钻为研究对象, 钻头在A点受到阻碍其移动的约束力和阻碍其绕z轴转动的约束力偶作用,受力图如图示. , , ; , , ; , , . , , . , , . , , 3-20 图示水平轴AB作匀速转动，其上装有齿轮C及带轮D，齿轮直径为240mm。已知胶带紧边的拉力为200 N，松边的拉力为100 N，尺寸如图示。求啮合力F及轴承A和B处的约束力。 解: 取水平轴连同齿轮及带轮为研究对象, , ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ， ， 。 3-21一端有绳子拉住的重100 N的物体A置于重200 N的物体B上如图示，B置于水平面上并作用一水平力F。若各接触面的静摩擦因数均为0.35,试求B即将向右运动时力F的大小。 解：根据题意，设物体系统处于临界平衡状态，此时各接触面间的摩擦力均达到最大值。 （1） 取物体A为研究对象， ， ， ， ， 补充方程： 。 解得： ， 。 （2）取物体B为研究对象， ， ， ； ， ， 补充方程： 。 解得： 。 代入数据得， 。 3-22 重物A与B用一不计重量的连杆铰接后放置如图示。已知B重1 kN ，A与水平面、B与斜面间的摩擦角均为15°。不计铰链中的摩擦力，求平衡时A的最小重量。 解：根据题意，此时物体系统处于临界平衡状态，各接触面间的摩擦力均达到最大值。 （1） 取重物B为研究对象， ， ， ， ， 补充方程： ， 其中 . 解得： 。 代入数据得： 。 （2） 取重物A为研究对象， ， ， ， ， 补充方程： ， 解得： 。将数据代入，得： 。 3-23利用劈尖原理升高重物的装置如图示。设重物重20 kN ，各接触面间的摩擦角均为12°，不计劈尖的重量，计算图示情况升高重物所需的最小水平力F。 解：当重物有上升趋势时，劈尖B有向右运动趋势。各接触面间的摩擦力都达到最大值。 （1） 取重物连同劈尖A为研究对象， ， ， ， ， 解得： ， 即 。 （2）取劈尖B为研究对象， ， ， ， ， 解得： 。 代入数据，得： 。 3-24起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。已知制动轮半径R=50cm，鼓轮半径r=30 cm，制动轮与制动块间的摩擦因数 ，被提升的重物重G=1000 N ，手柄长 ，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需。 解：当力F为最小值时，制动轮有逆时针转动趋势，触面间的摩擦力达到最大值。 （1）取制动轮为研究对象， , , , 摩擦定律： 。 (2) 取手柄连同制动块为研究对象， ， ， 代入数据，得： 。 3-25砖夹的宽度为250 mm，曲杆AGB与GCED在G点铰接，尺寸如图所示。设砖重P=120 N，提起砖的力F作用在砖夹的中线上，砖夹与砖间的摩擦因数 。求距离d为多大时才能把砖夹起。 解：当距离d取最大值时，系统处于临界平衡状态，此时，全反力与正压力之间的夹角为摩擦角。 （1）折杆GCED为研究对象，此折杆为二力构件，其约束力一定沿着GD连线。因此，平衡条件为： ，即， ， . (2)取图示折杆AGB连同折杆GCED为研究对象，由三力平衡汇交定理知，A处全反力必与D处全反力对称地交于一点。因此，当D处不滑动时A处必也不滑动。 3-26图示重100 N、高H=20 cm、底面直径d=10 cm的正圆锥体放在斜面上。静摩擦因数 ，质心C的位置h=H/4。求锥体在斜面上保持静止时作用于圆锥顶点的水平力 的大小。 解：取圆锥体为研究对象。 （1）设力 较小，圆锥体有下滑或逆时针翻倒趋势。 ， ， ； ， ， 解得： ； 其中 为斜面倾角。最大静滑动摩擦力 。 不滑动条件： 。 解得： ，其中 为摩擦角。 ， ， . 代入数据，得： ，所以，圆锥在滑动临界状态时不会翻倒。 的下限要求 。 （2）设力 较大，圆锥体有上滑或顺时针翻倒趋势。 ， ， ， ， ， ； 最大静滑动摩擦力 。不滑动条件： 。 解得： 。 ， ， . 代入数据，得： 。因此，在没有达到滑动临界状态时，圆锥已经。不翻倒的条件是 ，即 由此得， ，代入数据，得 。 综上分析， 的取值范围为 。 3-27攀登电线杆的脚套钩如图示。设电线杆的直径d=300 mm，A和B之间的的垂直距离b=-100 mm。若套钩与电线杆之间的摩擦因数 。求工人操作时，为了安全，站在套钩上的最最小距离 应为多大。 解：取套钩为研究对象，在平衡状态下，A和B点处的全反力作用线的交点只可能落在图示阴影区域内，按三力平衡汇交定理，第三个力的作用线必须穿过这个阴影区域，最最小距离 是过C点。由几何关系得 ， 解得 。实际时，考虑到安全因素，须 ，代入数据，得 。 3-28不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数为 ，门高为h。若在门上2 h /3处用水平力F拉门而不致被卡住，求门宽b的最小值。问门的自重对不被卡住的门宽最小值有否影响？ 解：取门为研究对象，当门太窄时，在水平力作用下门有顺时针的角位移，使门的A和E点与门的上下滑道接触，设门处于滑动的临界平衡状态，受力图如图示， ， ， ， ， ， ， 补充方程： ， 。 以上5个方程联立，解得： 。 由于门被卡住时平衡已与力 的大小无关，令 ，导出门不被卡住时的门宽b的最小值 ，此时与门重无关。 3-29一半径为R、重为P1的轮静止在水平面上，如图示。在轮上半径为r的轴上绕有细绳，此绳跨过滑轮A，在端部系一重为P2的物体。绳的AB部分与铅直线成 角。求轮与水平面接触点C处的滚阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反力。 解：取轮为研究对象， 。列平衡方程： ， ， 滑动摩擦力： ； ， ， 法向反力： ； ， ， 滚阻力偶矩： 。 3-30钢管车间的钢管运转台架，钢管依靠自重缓慢无滑动地滚下，钢管直径50mm。设钢管与台架间的滚阻系数 。试决定台架的最小倾角 的大小。 解：取钢管为研究对象，设钢管重为G，且钢管处于临界滚动状态， ， ， ； ， 在临界滚动状态，滚动摩阻力偶达到最大值 。其中， 。将 代入，得 ，代入数据， 。 3-31汽车P=15 KN， 车轮的直径为600 mm，轮自重不计。问发动机应给予后轮多大的力偶矩，方能使前轮越过高为80 mm的阻碍物？并问此时后轮与地面的静摩擦因数应为多大才不致打滑？ 解：（1）取汽车为研究对象。设汽车处于将要翻过阻碍物的临界平衡状态，此时，前轮恰好与地面脱离，后轮的滑动摩擦力取最大值。 ， 其中 ， 。 （2）取车身为研究对象，设 为驱动力偶。 ， 。 （b） （3）取车轮B为研究对象， ， ， （c） ， ， （d） 补充方程： ， （e） 将方程（a）~（e）联立，解得： 。即，发动机应给予后轮的力偶矩为 ，此时后轮与地面的静摩擦因数须 。 3-32试指出图示桁架中的零杆。 解：对节点进行受力分析，可以判断出零杆， 研究对象 零杆号 研究对象 零杆号 节点A 1、4 节点D 13 节点B 7 整体 14 节点C 9 节点E 11 3-33计算图示桁架中标号的各杆的内力。各垂直载荷的大小均为F，已知： ， ， 。 解：（1）取整体为研究对象， ， ， 。 （2） 取图示截面为研究对象， ， ， 。 ， ， 。 ， ， 。 其中， 。代入数据，得： 。 3-34试指出图示桁架中的零杆，并求出AB杆的内力。 解：（1）由节点的受力分析知，零杆为1、2、3、4号杆。 （2）取整体为研究对象， ， ， ； （3） 取桁架的左半部（去掉零杆）为对象， ， ， ； （a） （4） 取节点G为对象， ， ； （b） （5）取三角形BHI为对象， ， ， （c） 联立方程（a）~（c），解得 。 3-35平面悬臂桁架受力如图示。求杆1、2和3的内力。 解：(1)取Ⅰ截面右半部分为研究对象， ， ， ；（拉） （2）取Ⅱ截面右半部分为研究对象， ， ， ； （3） 取节点E为研究对象， ， ， 其中， 。解得 3-36平面桁架受力如图示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力。 解：（1）取整体为研究对象， ， ， ； （2） 取三角形ADE为研究对象， ， ， ； （3） 取节点C为研究对象， ， ， ； ， ， 解得： 。 � EMBED PBrush ��� 题3.1图 � EMBED PBrush ���题3-3图 � EMBED PBrush ���� EMBED PBrush ��� 题3．2图 � EMBED PBrush ��� 题3-3图 � EMBED PBrush ���题3-4图 � EMBED PBrush ��� 题3-5图 � EMBED PBrush ��� 题3-6图 � EMBED PBrush ���题3-4图 � EMBED PBrush ���题3-5图 � EMBED PBrush ���题3-7图 � EMBED PBrush ��� AB杆受力图 AD杆受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-8图 受力图（1） � EMBED PBrush ��� 受力图（2） 受力图（3） � EMBED PBrush ��� 题3-9图 受力图（1） � EMBED PBrush ���受力图（2） � EMBED PBrush ��� 题3-10图 受力图（1） � EMBED PBrush ���受力图（2） � EMBED PBrush ���题3-11图和杆件受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-12图和杆件受力图 � EMBED PBrush ���题3-13图和杆件受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-14受力图 受力图（1） � EMBED PBrush ��� 受力图(2) 受力图（3） � EMBED PBrush ���题3-15图及其构件的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-16图 重物的受力图 � 节点的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-18图 圆桌受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-19图 摇钻受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-20图 水平轴连同齿轮及 带轮受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-21图 物体A和B的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-22图 物体A和B的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-23图 物体A和B的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-24图 制动轮和手柄的受力图 �EMBED PBrush��� 题3-25图 受力图（1） 受力图（2） � EMBED PBrush ��� 题3-26图 受力图（1） 受力图（2） � EMBED PBrush ���题3-27图 套购的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-28图 门的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-29图 轮的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-30图 钢管的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-31图和汽车的受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-32图 节点A、B、C � EMBED PBrush ��� 题3-33图和整体和截面的受力图 �EMBED PBrush��� 题3-34图和受力图 � EMBED PBrush ��� 题3-35图和截面受力图 � EMBED PBrush ���题3-34图和截面受力图 � 题3-17图 PAGE 7 _1184838412.unknown _1184923895.unknown _1184960387.unknown _1185137380.unknown _1199950342.unknown _1220978915.unknown _1268305345.unknown _1268305347.unknown _1268305348.unknown _1268305346.unknown _1267541281.unknown _1268305344.unknown _1253638176.unknown _1253638187.unknown _1253638192.unknown _1253638182.unknown _1253638167.unknown _1199953034.unknown _1199953668.unknown _1199954644.unknown _1199958310.unknown _1199960973.unknown _1220978914.unknown _1199960611.unknown 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