求二_三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀

周刊2011年第59期 =bx ay ，k=ay 2 0-bx 2 0，k＞0圯x=0时y＞0乙方胜； y0 x0 圯 圯 2 ＞ b a = rxpx rypy k＜0圯 甲方胜k=0圯平局。 通过对此模型的分析， 教师还可以启发学生自己举出身 边的一些例子，从而活跃课堂学习的气氛。 总之，让学生觉得 常微分方程并非深不可测，增强他们学习的自信心，逐渐适应 常微分方程的学习。 若能因材施教，善于总结经验，找到适合 学生特点的教学方法，使学生尽快适应常微分方程的教学，就 会取得良好效果。 五、加强教学技能训练，提高教学水平 教师是学习活动的组织者，在教学过程中处于主导地位。 要想上好每一节课，教师除了认真备课外，掌握一些教学技能 也是必需的，这样能起到事半功倍的效果，对于常微分方程的 知识，学生要经历由不知到知、由知到会、由会到能这一过程。 在这一过程中，教师的作用无疑是至关重要的。一个好的教师 不仅要具备渊博的知识，而且要具备良好的教学技能。教师只 有具备了良好的教学技能，才能使自己在教学中游刃有余，从 而淋漓尽致地将知识传授给学生。要具备良好的教学技能，必 须训练自己的语言技巧、提问技巧、导入技巧、板书技巧、讲授 和调控教学的技巧等，讲授时要层次分明，口齿清楚，思维清 晰。 问题要难易适中，太难会打击学生的积极性，容易让他们 失去信心；太容易又让他们骄傲自满，心生浮躁。 另外还要注 意提问的时机， 使学生的注意力集中起来。 板书要清楚有条 理。 总之，教师的教学基本功一定要扎实，在教学中形成自己 独特的教学风格。另外一定要把握住教学内容的主次与脉络， 思路清楚，重点分明。 所以，要想使自己的课学生爱听，乐学， 就必须训练自己的教学技能，增强语言达能力，使教学语言 生动形象；同时增强自己控制课堂的能力，使教学进程能按预 定的目标稳步进行。 六、重视教学方法和教学手段的多样化 由于常微分方程方程类型比较多，逻辑性比较强，因此很 多时候都是用单纯的讲授法教学，教学方法和形式比较单一， 也就是整本书采用的是一种教学方法。 这样会使学生听课时 产生疲劳，渐渐地失去兴趣，不利于教学效率的提高。因此，在 教学中要花心思，尽量使教学方法和教学手段多样化，虽然多 数还是以讲授法为主，但是要尽量求变，积极实践启发式、讨 论式、研究式等生动活泼的教学方法，从而增强常微分方程的 教学效果。 总之，常微分方程教学是一个复杂的过程，必须探讨教学 方法，在教学实践中完善教学手段，这样常微分方程的教学效 果就会越来越好。 参考文献： ［1］王高雄，周之铭.常微分方程［M］.北京：高等教育出版 社，2006. ［2］肖剑 ，盛立人 .常微分方程 ［M］.北京 ：科学教育出版 社，2008. ［3］朱思明 ，李尚廉 .数学模型 ［M］.广州 ：中山大学出版 社，1995. 摘 要： 本文通过研究二阶、三阶矩阵的逆矩阵，给出了 二阶、三阶逆矩阵的记忆口诀.通过这个口诀学生可以快速计 算出二阶、三阶矩阵的逆矩阵.这对准备考研的理科学生有很 大的参考价值. 关键词： 二阶矩阵 三阶矩阵 记忆口诀 逆矩阵 1.问题提出及准备知识 在各类理工科数学考试题目中均有求矩阵逆矩阵的题 目，这个题目虽然简单，但是要按照课本上给出的方法计算的 话，要费一些时间，更可怕的是，计算过程中难免有失误，容易 造成结果出错. 我们研究了一些考试试卷， 发现大部分求逆矩阵的题目 都是求二阶或者三阶矩阵的逆矩阵.针对此，我们给出了相应 的记忆口诀， 按照这记忆口诀学生可以快速计算出矩阵的逆 矩阵. 首先给出一些准备知识. 本文所用的其他概念和符号请 参考文献［1］. 定义1.1［1］ 对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使 AB=BA=E， 则称A是可逆的，并把方阵B称为A的逆矩阵，记为A -1 . 定义1.2［1］ 阶行列式|A|的各个元的代数余子式所构成的 如下矩阵 A*= A11 A21 … An1 A12 A22 … An2 … … … A1n A2n … Ann n n nn n n n nn n ， 称为矩阵A的伴随矩阵. 引理1.3［1］ 方阵A可逆的充分必要条件是 |A|≠0，且当A 可逆时，A -1 = 1 |A| A * ，其中A * 是A的伴随矩阵. 2.二阶矩阵的逆矩阵记忆口诀 按照引理1.3我们得到下列结论. 结论2.1 设A= a bc≠ ≠d ，a，b，c，d∈R， 且A可逆， 那么A * d -b -c≠ ≠a ，所以 A -1 = 1 |A| d -b -c≠ ≠a （2.1） 由以上结论我们可以得到记忆口诀 :主对调，次变号，除 行列. 具体含义是主对角线上的两个元素对换位置 ， 次对 角线上的每个元仅仅增加一个负号 ， 然后除以矩阵的行 列式 . 3.三阶矩阵的逆矩阵记忆口诀 对于三阶矩阵，按照引理1.3我们得到下列结论. 结论3.1 设A= a b c d e f g h ≠ ≠ i ，A∈R 3×3 ，且A可逆，那么： A -1 = 1 |A| ei-hf -（bi-hc） bf-ce fg-id -（cg-ia） cd-af dh-ge -（ah-gb） ae-b ≠ ≠ d （3.1） 先分析公式（3.1）中矩阵的第一列，研究如下表格. 求二 、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀 （重庆三峡学院 数学与统计学院，重庆 404000） 冯玉明 ○ 数学教学与研究 74 2011年第59期周刊 表3.1 可以看出公式（3.1）中包含的矩阵的第一列恰好是表3.1 中所有元素的组合，组合规律（称为231312规律）如下： （1）第一行的第二、三、一列分别乘以第二行的第三、一、 二列得到ei，fg，dh. （2）第二行的第二、三、一列分别乘以第一行的第三、一、 二列得到hf，id，ge. （3）由（1）中所得到的数据减去（2）中所对应的数据，就得 到公式（3.1）中矩阵所对应的第一列. 同样的道理，可以分析公式（3.1）中包含的矩阵的第二和 第三列. 由此，得到记忆口诀:除行列，别忘记，去一行，得一列，二 变号，余不变，二三一，三一二，二三一，三一二. 解释如下： 去一行，得一列的含义是去掉矩阵的某一行，能够得到矩 阵剩余的两行，由此可以列成表（3.1）的样子，从而得到公式 （3.1）中的某一列. 二变号，余不变的意思是公式（3.1）中包含的矩阵的第二 列是按照231312规律得到的数字后再加上一个负号得到的， 其余各列不需要加负号. 例题3.1 计算A= 3 7 -3 -2 -5 2 -4 -10 � � 3 的逆矩阵. 解：通过简单计算可以得到|A|=1. 按照231312规律得到： A -1 = 1 1 （-5）·3-（-10）·2 -［7.3-（-10）·（-3）］ 7·2-（-5）·（-3） 2·（-4）-3·（-2） -［（-3）·（-4）-3·3］ （-3）·（-2）-2·3 （-2）·（-10）-（-4）·（-5） -［3·（-10）-（-4）·7］ 3·（-5）-2· � � 7 = 5 9 -1 -2 -3 0 0 2 - � � 1 . 参考文献： ［1］吴传生主编.经济数学———线性代数（第二版）［M］.高 等教育出版社. 重庆三峡学院青年项目（编号：10QN-28），重庆市科委 项目（编号：CSTC，2010BB0314）。 书书书 列 行 １ ２ ３ １ ｄ ｅ ｆ ２ ｇ ｈ ｉ 摇摇 摘 要： 本文主要从四方面介绍了如何上好投入产出分 析这门应用数学课程，包括教学常识问题、数学基础问题、经 济基础问题和实际应用问题。 关键词：投入产出分析课 数学基础 经济含义 实际应用 作为应用数学的投入产出分析课，要上好它，我认为主要 应解决好四个方面的问题，分别是教学常识问题、数学基础问 题、经济基础问题和实际应用问题，这几个问题环环相扣，缺 一不可。 1.教学常识问题 教学中，教师是主导，学生是主体，要想学生这个主体学 得好，教师的主导很重要。 而要导好一节课，我认为主要应解 决以下方面的问题。 第一，要有完备的授课计划、教材、参考 书、备课笔记、等教学资料，还要有课后练习，以及相应的 测试题目，以测试教师的教的效果和学生学的效果。特别是要 有很好的授课计划，不谋全局者不谋局部，不设计好整个学期 乃至整个学生整体所需的知识结构的话， 也是不能很好地上 好一节课的。 具体来说，投入产出分析这节课，既涉及线性代 数知识，又涉及宏观经济学方面的知识，还涉及具体的生活应 用等。所以必须要分析好学生的已有知识结构，才能更好地备 好这节课。 第二，要有很好的教学设计，教学设计不仅体现在 以上的静的教学资料方面， 而且体现在动的整个教学过程的 把控上，以及具体的教学方法的选择上。 如何开头，如何介绍 数学基础知识，如何介绍经济含义，如何介绍日常应用问题， 如何小结；如何和学生互动；如何控制时间，分配一段时间让 学生来提问题等都要有很好的思考和布局。 要求学生对基本 概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必 须牢固掌握。 2.数学基础问题 在线性代数里面， 大家都知道矩阵这个工具可以求解线 性方程组， 而这个工具恰恰就是我们赖以分析投入产出分析 模型的基础。 国民经济按照其属性分为若干部门， 部门之间存在相互 的投入和需求关系， 各部门的总投入和同一部门的总需求相 等。 具体模型如下表。 表1 其中xij表示第i部门到第j部门的价值流量。 从表的每一行 来看， 某一生产部门分配给其他部门的生产性消耗加上该部 门最终产品的价值等于它的总产品；从表的每一列来看，每一 消耗部门消耗其他部门的生产性消耗加上该部门新创造的价 值。又由于总的中间投入等于总的中间需求，所以新创造价值 应该等与最终需求。 进一步，我们可以定义直接消耗系数aij= xij xj ，表示第j部门 如 何 上 好 投 入 产 出 分 析 课 （常州信息职业技术学院 基础社科部，江苏 常州 213164） 董仲超 书书书 产出 流量 投入 中间需求 最终需求 １２…ｎ 消费累计出口 合计 总产出 中 间 投 入 １ ２  ｎ ｘ１１ ｘ１２… ｘ１ｎ ｘ２１ ｘ２２… ｘ２ｎ     ｘｎ１ ｘｎ２… ｘｎｎ ｙ１ ｙ２  ｙｎ ｘ１ ｘ２  ｘｎ 新 创 价 值 工资 纯收入 合计 ｖ１ ｖ２… ｖｎ ｍ１ ｍ２… ｍｎ ｚ１ ｚ２… ｚｎ 总投入 ｘ１ ｘ２… ｘｎ 摇摇 消耗部门 煤矿 电厂 铁路 最终需求 总产出 生产 部门 煤矿 ０ ３６５０６ １５５８２ ５００００ １０２０８８ 电厂 ２５５２２ ２８０８ ２８３３ ２５０００ ５６１６３ 铁路 ２５５２２ ２８０８ ０ ０ ２８３３０ 新创造价值 ５１０４４ １４０４１ ９９１５ 总产出 １０２０８８ ５６１６３ ２８３３０ 产业Ⅰ 产业Ⅱ 最终需求 总产出 产业 ４０ ２５ ３５ Ｘ１ 产业 ２０ ２５ ５５ Ｘ２ 新创造价值 Ｗ１ Ｗ２ 总投入 Ｘ１ Ｘ２ ○ 数学教学与研究 75