范里安-中级微观经济学2014版-28博弈论-东南大学曹乾

28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 570 曹乾曹乾曹乾曹乾●●●●经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列经济学译丛精品系列 Intermediate Microeconomics:Intermediate Microeconomics:Intermediate Microeconomics:Intermediate Microeconomics: A Modern ApproachA Modern ApproachA Modern ApproachA Modern Approach (8th Edition) Hal R. Varian 范里安范里安范里安范里安 中级微观经济学中级微观经济学中级微观经济学中级微观经济学：：：：现代方法现代方法现代方法现代方法（（（（第第第第 8888 版版版版）））） 完美中文翻译 2014 版 28.博弈论博弈论博弈论博弈论（（（（含全部习题详细解答含全部习题详细解答含全部习题详细解答含全部习题详细解答）））） 曹乾 译 （东南大学 caoqianseu@163.com） 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 571 28博弈博弈博弈博弈理理理理论论论论 我们在上一章阐述的寡头理论，是企业间策略性互动的经典经济理论解释。但这只是冰 山一角。经济行为人（agents）的策略性互动有多种方式，经济学家借助博弈理论（game theory） 这个工具已研究了很多种策略性互动的行为。博弈理论关注的是策略性互动的一般分析。人 们可使用博弈理论研究室内游戏（parlor games）、政治协商和经济行为（一）。在本章，我们将 简要分析这一迷人的学科，目的是让你感受一下它是如何运行的，以及让你初步知道如何使 用博弈理论分析寡头市场中的经济行为。 28.1博弈的收益矩阵博弈的收益矩阵博弈的收益矩阵博弈的收益矩阵 策略性互动可能涉及很多选手和很多策略，但是我们仅限于分析两个选手之间的博弈， 而且限于分析策略的数量有限的情形。这样做的好处是可以用收益矩阵（payoff matrix）描 述博弈。最好举例进行分析。 假设两人玩一种简单的游戏。选手 A在纸上写出“上”或“下”。与此同时，选手 B独 立地写出“左”或“右”。在两人写好后，经过分析，将他们的收益标记于 28.1中。若 A 选上且 B 选左，我们看矩阵的左上角的小方格。在该小方格中，A 的收益是第一个数，B 的收益是第二个数。类似地，如果 A选下 B选右，则 A得到收益为 1，B得到的收益为 0. 表表表表 28.1：一个博弈的收益矩阵 选手 A 有两个策略：上或下。这些策略可以代表类似“提高价格”或“降低价格”的 （一） 室内游戏（parlor games）是指一伙人在室内（indoors）参与的游戏。在维多利亚时代的英国和美国， 室内游戏在中上流阶级非常盛行。译者注。 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 572 经济选择。或者它们可以代表类似“宣战”或“不宣战”的政治选择。博弈的收益矩阵表明 了对于每个选定的策略组合，每个选手得到的收益。 这类博弈的结果是什么样的？表 28.1 表示的这种博弈，有一个很简单的解。从选手 A 的观点看，选择下总是比选择上更好，因为选择下的收益（2或 1）总是大于选择上的相应 收益（1或 0）。类似地，对于 B来说，选择左比总是比选择右更好，因为（2或 1）相应比 （1或 0）大。因此，我们可以预期均衡策略是：A选下，B选左。 这种情形下，我们得到了一个占优势的策略或者简称占优策略 ．．．． （dominant strategy）（一）。 每个选手只有唯一一个最优选择，不论对方怎么改变策略。例如，不论 B 怎么选择，若 A 选下，A的收益总是大于选择上的收益，因此 A自然会选择下。类似地，不论 A怎么选择， B选择左的收益更高。因此，这些选择比其他选择好，这样我们就得到了一个占优策略均衡 解。 如果在一个博弈中，每个选手都有一个占优策略，我们可以预测占优策略组合就是该 博弈的均衡结果。这是因为占优策略是指，不论对方如何选择，你选择的这个策略都是最优 的。在这个例子中，我们可以预期均衡结果为：A 选下（均衡收益为 2），B 选左（均衡收 益为 1）。 28.2纳什均衡纳什均衡纳什均衡纳什均衡 占优策略均衡很好分析，可惜占优策略均衡不是那么常见。例如，表 28.2 表示的博弈 不存在占优策略均衡解。在该博弈中，B选左时，A的收益为 2或 0。B选右时，A的收益 为 0或 1。这表示 B选左时，A会选上；B选右时，A会选下。因此 A的最优选择取决于他 认为 B会怎么选。 表表表表 28.1：一个纳什均衡 然而，也许占优策略均衡要求太苛刻，因为它要求对于 B 的所有所有所有所有 ．． 选择，A 的选择都是 最优的。现在我们不这么要求，我们只要求对于 B 的最优最优最优最优 ．． 选择来说，A 的选择是最优的即 可。因为如果 B是一个理性选手，他只会选择最优的策略。（当然，B的最优策略也取决于 A的选择！） （一） 有时也翻译为“优势策略”，在翻译过程中，这两种译法我都使用了。译者注。 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 573 如果给定 B的选择，A的选择为最优，而且给定 A的选择，B的选择也为最优，那么 我们将 A和 B此时选择的策略称为一个纳什均衡 ．．．． （Nash equilibrium）（一）。记住，当每个选 手在选择自己的策略时，都不知道对方选择哪一个策略。但是他可以猜测对方选择的策略。 一个纳什均衡可以看成一对预期选择，这样的选择要能使得一旦对方的选择展现后，选手都 不再改变自己的行为。 在表 28.2 代表的博弈中，策略（上，左）是一个纳什均衡。为了证明这一点，先分析 B 的行为。假设 A 选择上，那么 B 的最优选择是选择左，这是因为他选择左的收益为 1， 而选择右的收益为 0。再来分析 A的行为。如果 B选择左，那么 A的最优选择是选择上， 因为选择上的收益为 2，而选择下的收益为 0。 因此，如果 A选择上，B的最优选择是选择左；而如果 B选择左，那么 A的最优选择 是选择上。这样我们就得到了一个纳什均衡：给定对方的选择，每个选手都作出了最优选择。 纳什均衡是上一章介绍的古诺均衡的一般形式。在古诺均衡中，选择为产量水平，每 个企业在选择它的产量水平时，都假定对方的选择是既定的。每个企业在做选择时都假设对 方选择原来的产量，也就是说按照以前选择的策略进行生产，在这种情形下它选择的产量应 该使自己的利润最大化。给定对方的行为，每个企业的利润都实现了最大化，这就是一个古 诺均衡。按照纳什均衡的定义，显然古诺均衡是一种纳什均衡。 纳什均衡的概念有一定的内在逻辑。不幸地是，该均衡也存在一些问题。首先，一个 博弈可能有多个纳什均衡。事实上，在表 28.2 中，选择（下，右）也是一个纳什均衡。你 可以按照我们上面介绍的推理方法进行分析。当然下面这种证明方法也可行。注意到这个博 弈结构是对称的：B在一种结果的收益，等于 A在另一结果中的收益，因此我们证明了（上， 左）是一个纳什均衡，这也意味着我们也证明了（下，右）也是一个纳什均衡。 表表表表 28.3：不存在（纯策略）纳什均衡解的一个博弈 纳什均衡概念的第二个问题是有些博弈不存在我们上面描述的纳什均衡解。例如，考虑 （一） 约翰.纳什是一位美国数学家，他在 1951年提出了这个博弈理论中的基本概念。1994年他和另两外博 弈理论学者共同获得了诺贝尔经济学奖。2002电影《美丽心灵》大致以纳什的生活为蓝本，该电影获得奥 斯卡最佳电影奖。 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 574 表 28.3。该博弈不存在我们上面描述的那种纳什均衡解。如果 A选择上，则 B选择左。但 是若 B选择左，则 A选择下。类似地，若 A选择下，则 B选择右。但是若 B选择右，则 A 选择上。 28.3混合策略混合策略混合策略混合策略 然而，如果我们扩大策略的定义，我们可以为表 28.3 的博弈找到一个新类型的纳什均 衡解。我们在前面的思路其实是一直认为，每个选手在选择策略时能做到一劳永逸。也就是 说，每个选手作出选择后就坚持这个选择。这种情形下，每个选手的策略都为一个纯策略 ．．． （a pure strategy）。 另外一种思路是我们允许选手将他们的策略随机化随机化随机化随机化 ．．． ，也就是说对每个选择都赋予一个概 率值，而且按照这些概率选择策略。例如，A以概率 50%选择上、以概率 50%选择下，而 B 以概率 50%选择左、以概率 50%选择右。这种情形下，每个选手的策略都为一个混合策略 ．．．． （a mixed strategy）。 如果 A和 B都采用上述混合策略，即每个选手以相等的概率选择他的两个策略中的一 个，那么收益矩阵每个小方格中的收益，出现的概率都为 1/4。因此，A的平均收益为 0，B 的平均收益为 1/2。 混合策略中的纳什均衡是指，均衡时，给定对方选择策略的概率，每个选手选择的含有 概率的策略都是最优的。 可以证明对于本章分析的这类博弈，总是至少存在一个混合策略纳什均衡解。因为混合 策略的纳什均衡解总是存在的，也因为该概念具有一定的内在合理性，所以它成为分析博弈 行为的一个非常流行的工具。在表 28.3的例子中，可以证明，如果 A以 3/4的概率选择上、 以 1/4的概率选择下，而且 B以 1/2的概率选择左、以 1/2的概率选择右，那么这些策略就 构成了一个纳什均衡。 例子：剪刀、石头和布 我们对混合策略说得已经够多了。现在来看一个重要例子，这就是我们都知道的游戏 “剪刀石头和布。”在这个游戏中，每个选手同时选择出示拳头（石头）、手掌（布）或两个 手指（剪刀）。游戏的规则为：石头砸烂剪刀，剪刀剪破布，布包住石头。 在人类历史上，该游戏百玩不厌。甚至还有一个称为 RPS 协会的专业团体，专门推广 该游戏。它有自己的网站，它还提供了 2003年在加拿大多伦多举行的锦标赛的纪录片。 当然，博弈论专家认识到这个游戏中的均衡策略是随机选择这三个选项中的一种。但 是人类并不必然擅长选择完全随机的选项。如果你在某种程度上能预测到对手的选择，你在 选择策略时将占有一定的优势。 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 575 纽约时报记者詹妮弗 8.李，曾经半开玩笑地说道，心理学是至高无上的。在她的文章 中，她写道“大多数人在无防备的情况下，都有自己偏好的选择，这反映了他们的性格。“布” 代表着优雅甚至被动的选择，因此文学人士和记者在玩这个游戏时一般会选择“布”。” （一） 经济学家在玩这个游戏时喜欢出哪一项呢？也许是剪刀，因为我们希望剪出影响人们 行为的决定因素。经济学家出剪刀时，你是否应该出石头呢？也许，但是我并不总是出剪刀… 28.4囚犯的囚犯的囚犯的囚犯的两难问题两难问题两难问题两难问题 博弈纳什均衡解的另外一个问题是，它不必然导致帕累托有效率的结果。例如，考虑 表 28.4中的博弈。这个博弈称为囚犯的两难 ．．．．． 或囚犯的困境 ．．．．． （prisoner’s dilemma）。最初这 个模型是这样的：警察将合伙犯罪的两个人分别关押在单独的囚房内，分别审讯。每个罪犯 的选择为：可以选择认罪，从而供出来了他的合伙人；也可以选择不认罪。如果只有一个罪 犯认罪，那么他可以被释放，而另外一个罪犯会受到严惩——坐牢 6个月。如果两个罪犯都 不认罪，那么根据法律每人被监禁 1个月；如果两个人都认罪，那么每个人被监禁 3个月。 这个博弈的收益矩阵可用表 28.4 表示。每个小方格中的元素表示每个罪犯对各种结果的效 用评价。为简单起见，我们用负数表示他们的效用，这个效用取决于坐牢期限，时间越长， 效用越小。 图图图图 28.4：囚犯的两难问题 我们先来分析 A的选择。如果 B选择否认，那么 A最好的选择是认罪，因为这样 A就 会被释放。类似地，如果 B选择认罪，那么 A最好的选择也是认罪，因为这样 A会被监禁 3个月而不是 6个月。因此，不论不论不论不论 ．． B怎么选择，A最好的选择是认罪。 （一）Jennifer 8.Lee ,“Rock, Paper, Scissors: High Drama in the Tournament Ring", New York Times September 5, 2004.（以下为译者注）注意该记者的名字中含有数字“8”，据说她是个中国通，认为 8这个数字很吉利， 加 8在名字中让她的名字很特别。 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 576 B的选择可以类似推理，B的最优选择也是认罪。因此，该博弈的唯一纳什均衡是两个 罪犯都认罪。事实上，两个罪犯都认罪不仅是一个纳什均衡，而且是一个占优策略均衡，因 为每个罪犯的最优选择和对方的选择无关。 但是如果他们咬紧牙关拒不认罪，那么他们的状况会变好！如果这两个人相信对方不 会认罪，对方的确不会认罪，那么这种情形下，每个人的收益均为-1，这会使得每个人的状 况变得更好。策略（否认，否认）是帕累托有效率的，因为已不存在能使者两个人的状况都 变好的策略。策略（认罪，认罪）是帕累托无效率的。 问题在于这两个罪犯无法协调彼此的行为。如果他们彼此信任，则他们的状况都会变 得更好。 囚犯两难模型可应用于广泛的经济和政治现象。例如军备控制问题。我们可以将囚犯 困境中的策略“认罪”看为“使用新导弹”、将“不认罪”看成“不使用导弹”。注意该情形 下表 28.4 表示的收益仍然是合理的。如果我的对手使用导弹，我当然希望是使用导弹，尽 管我们双方最好的策略都是不使用导弹。但是，如果不能达成具有约束力的，我们双方 都会使用导弹，结果我们的状况变差了。 卡特尔成员欺骗问题也是一个好例子。现在将策略认罪看成“生产比你的份额更多的产 量”，将不认罪看成“坚持生产原来的份额”。如果你认为其他的企业将坚持它们各自的份额， 那么多生产对你是有利的。如果你认为其他企业会多生产，那么你可能也多生产！ 囚犯的难题问题让人们激烈辩论到底怎样进行博弈才是“正确的”，或者，更准确地说， 参与博弈的合理方式是什么。答案似乎取决于你参与的是一次博弈还是无限次的博弈。 如果博弈只进行一次，欺骗的策略（在囚犯两难中是指认罪的策略）将是合理的。毕竟， 不管其他人的策略如何，你选择这种策略都会让你的状况变好，而且你无法影响其他人的行 为。 28.5重复博弈重复博弈重复博弈重复博弈 在上一节，选手只相遇一次而且他们也只参与一次囚犯两难博弈。但是，如果这些选手 重复进行博弈，情形将会有所不同。在这种情形下，每个选手都可能想出新的策略。如果其 他选手在某一轮博弈中选择的测策略为背叛，那么你可以在下一轮选择背叛的策略。因此， 你的对手会因为“恶劣的”行为而“受到惩罚”。在一个重复博弈中，每个选手都有机会为 自己塑造合作的声望，因此鼓励其他选手也这么做。 这种策略是否可行，取决于博弈是进行既定既定既定既定 ．． 的次数（比如 10次）还是进行无限无限无限无限 ．． 次。 我们首先分析第一种情形，假设两个选手知道博弈将进行 10次。该博弈的结果是什么？ 我们从第 10轮开始分析。这是上述博弈的最后一轮。在这种情形下，似乎每个选手都会选 择占优策略即背叛。毕竟，最后一轮博弈和只进行一次的博弈米什么区别，所以我们可以预 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 577 期这两种博弈的结果是一样的。 现在分析第 9轮的结果。我们刚得出结论即每个选手都会在第 10轮选择背叛的策略。 既然这样，他们会在第 9轮合作吗？不会。如果你选择合作，但是对方可能会利用你善良的 天性，从而选择背叛。每个选手都可以同样推理，因此每个选手都会选择背叛。 现在考虑第 8轮。如果某个选手在第 9轮选择背叛…以此类推。如果选手都知道博弈进 行的具体次数，那么每个选手在每一轮都会选择背叛。如果无法强制选手在最后一轮合作， 自然也无法强制选手从第一轮直至最后一轮选择合作。 选手相互进行合作的原因，是希望将来进一步合作。但是这要求将来还有博弈的机会。 由于在最后一轮，选手们都知道将来不可能再进行博弈，没有人会选择合作。既然这样，他 们为什么在倒数第二轮合作吗?或者在倒数第三轮合作？以此类推——在囚犯困境博弈中， 若选手都知道博弈的具体次数，那么合作解从最后一轮博弈将象多米诺骨牌一样开始“倒 塌”，因此均衡解必然是选手都选择背叛。 但是如果博弈将重复无限次，那么你的确的确的确的确 ．． 可以找到影响对手行为的方法：如果对手这一 次不合作，那么下一次你可以拒绝合作。只要双方都非常看重将来的收益，将来不合作的这 种威胁足以让人们选择帕累托有效率的策略，即都选择合作。 罗伯特.阿克塞罗德（Robert Axelrod）在进行了一系列实验后令人信服地证明了上述结 论 （一） 。他恳请博弈论领域的几十位专家，向他提交他们认为的囚犯困境的最优策略，然后 他在计算机上开展了“锦标赛”，让这些策略互相进行比赛。在计算机上，每种策略都要和 其他每一种策略竞争，计算机实时记录博弈收益。 最终获胜的策略——收益最高的策略——竟然是一种最为简单的策略。这种策略叫做 “以牙还牙”（tit for tat），它的运行方式如下。在第一轮，你合作(即选择不认罪的策略)。 在以后的每一轮，如果你的对手在前一轮选择合作，你也选择合作。如果对方在上一轮选择 背叛，你也选择背叛。换句话说，每个人的策略是选择对方在上一轮的策略。 以牙还牙策略收益最高，因为它对背叛行为立即实施惩罚措施。这种策略也是一种宽 恕的策略：发现一次背叛，只惩罚一次。如果对方改邪归正开始合作，那么以牙还牙策略将 以合作回报对方。在囚犯困境博弈将进行无限次的情形下，以牙还牙策略似乎是实现有效率 结果的一种非常好的机制。 （一）Robert Axelrod is a political scientist from the University of Michigan. For an extended discussion, see his book The Evolution of Cooperation (New York: Basic Books, 1984). 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 578 28.6实施卡特尔实施卡特尔实施卡特尔实施卡特尔 在第 27章，我们分析了双头垄断制定价格的博弈行为。在那一章我们断言，如果每个 垄断企业能够选择价格，那么均衡结果将是竞争均衡。如果每个企业认为其他企业会保持价 格固定不变，那么每个企业都会发现降价是有利可图的。这个结论只有在下列情形下才不会 成立：每个企业的要价已是最低可能的价格，在 27章的那个例子中，这个最低价格为零， 因为我们假设边际成本为零。如果使用本章的术语表达，每个企业索要零价格是定价策略中 的一个纳什均衡——但在第 27章我们将其称为伯特兰均衡。 双头垄断的定价策略博弈，和囚犯的两难博弈具有同样的收益矩阵的结构。如果每个企 业索要高价，那么每个企业都能得到更大的利润。这种情形就是它们合谋成卡特尔，并且坚 持生产垄断产量。但是如果一个企业索要高价，另外一个企业稍微降低一点价格就是值得的， 因为这样做可以夺取其他企业的市场，因此得到更大的利润。但是，如果两个企业都降低讲 个，它们最终得到的利润都降低了。不论对方索要什么样的价格，你稍微降低一点价格总是 有利可图的，当然前提是价格仍大等于边际成本。纳什均衡发生在每个企业索要最低可能的 价格。 然而，如果博弈重复进行无限次，那么可能还有其它结果。假设你决定实施以牙还牙策 略。如果另外一个企业这周降价，你可以在下周降价。如果每个选手知道对方都会以牙还牙， 那么每个选手都不会降低价格，因为这样会引起价格大战，各个选手的利益都受损。因此， 以牙还牙的潜在威胁，能够使得所有企业维持高价。 现实生活中的卡特尔有时会使用以牙还牙策略。例如，联合执行委员会是一个有名的卡 特尔，它在 1800年代后期负责制定美国铁路货运的价格。这个卡特尔形成于美国反垄断法 规生效之前，当时它是完全合法的 （一） 。 这个卡特尔负责确定每个铁路公司货运的市场份额。每个企业独立制定自己的运费标 准，该卡特尔记录每个铁路公司的货运数量。然而，在 1881、1884和 1885年间，有些公司 认为其他成员公司偷偷降价来增加它们自身的市场份额，尽管所有公司事先约定不准降价。 在这个时期，经常发生价格大战。当一个公司试图欺骗，所有其他公司都会降低价格以“惩 罚”背叛者。这种以牙还牙策略显然能够保证卡特尔稳定运行一段时间。 例子：机票定价中的以牙还牙策略 机票定价为以牙还牙行为提供了一个有趣的例子。航空公司经常会提供这种或那种促 销价格；航空业中的很多研究者认为，这些促销价格是用来向竞争对手发送信号，警告它们 不要降低重要航线的机票价格。 美国某大型航空公司营销总监曾描述个一个案例：西北航空公司降低了从明尼阿波利 （一）For a detailed analysis, see Robert Porter, "A Study of Cartel Stability: the Joint Executive Committee, 1880-1886," The Bell Journal of Economics, 14, 2 (Autumn 1983), 301-25. 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 579 斯市（Minneapolis）到西海岸各个城市的夜间航班的价格，目的在于减少空座率。大陆航空 公司则认为这种做法是在抢夺它的市场份额，因此宣布降低所有从明尼阿波利斯市到西北各 城市的夜间航班价格。然而，大陆航空公司的降价只进行了一两天后就停止了。 西北航空将大陆航空这一行为解读为，大陆航空不想参与价格竞争，它的目的在于让 西北航空停止夜间航班降价。但是西北航空公司决定向大陆航空发送自己的信号：它对从休 斯顿到西海岸各个城市的航班都制定了一套便宜的价格，要知道休斯顿可是大陆航空的总部 所在地！西北航空传递的信号想表明，它的降价措施是正当合理的，而大陆航空的反应是不 恰当的。 所有这些降价活动持续时间都很短；这个特征似乎表明，降价行为的本意在于发出竞 争的信号而不是争夺更大的市场份额。正如这位总监解释的，航空公司并不想提供含有价格 适用期的机票，它们的目的是最终能使竞争活跃起来并且展开竞争。 双头垄断的航空市场上的潜规则似乎为：如果一家公司的机票价格高，我的机票价格 也高；但是如果对方降低价格，那么我就会以牙还牙，我也降低价格。换句话说，两个企业 都“遵守着一条重要原则”：以其人之道还治其人之身。这种报复措施使得机票价格高昂 （一） 。 28.7序贯博弈序贯博弈序贯博弈序贯博弈 到目前为止，我们分析的博弈都有一个共同特征：选手都是同时行动的。但在很多情形 下，其中一个选手可以率先行动，其他选手再做出反应。这样的博弈叫做序贯博弈 ．．．． （sequential game）。比如第 27章介绍的斯坦科尔伯格模型就是这样的例子，在该模型中一 个选手是领导者，另外一个选手是追随者。 下面我们分析这样的博弈。在第一轮，选手 A 率先进行选择，他可以选择上或下。选 手 B观察 A的选择，并相应作出选择左或右的决策。该博弈的收益矩阵如表 28.5所示。 注意，当这该博弈以表 28.5这种形式表示时，它有两个纳什均衡解：（上，左）和（下， 右）。然而，下面我们将证明其中一个均衡解是不合理的。收益矩阵隐藏了下列事实：一个 选手可以再观测另外一个选手选择之后，再进行选择。在这种情形下，我们有必要用另外一 种图形表示博弈的收益，这种图形能更好地反映该种类型博弈的非对称性质。 图 28.1 画出了这个博弈的展开形 ．．． （extensive form）。展开形是博弈的一种表示方法， 它能显示出选择的先后顺序。首先，A 必须选择上或下，然后 B 必须决定选择左还是右。 但是在 B做出决策时，他已经知道 A选择了哪个策略。 （一）Facts taken from A. Nomani, "Fare Warning: How Airlines Trade Price Plans," Wall Street Journal, October 9, 1990, B1. 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 580 表表表表 28.5：一个序贯博弈的收益矩阵 图图图图 28.1：博弈的展开形式博弈的展开形式博弈的展开形式博弈的展开形式。展开形能表示出博弈中选手行动的先后顺序。 这种博弈的分析方法是从后（树根）向前（树枝）追溯。假设 A 已近作出了选择，我 们处在该博弈树的一个分枝上。如果 A选择上，则不管 B怎么选择，A和 B的收益分别为 1和 9，即图中的（1,9）。如果 A选择下，则 B合理的选择是选择右，因此收益为（2,1）。 现在分析 A的初始选择。如果他选上，则结果为（1,9），因此他得到的收益为 1。但是， 如果他选择下，则他得到的收益为 2。因此他会选择下。所以，该博弈的均衡解为（下，右）， 因此 A的收益为 2，B的收益为 1。 策略（上，左）不是该序贯博弈的合理均衡解。也就是说，由于这两个选手的行动有 先后之分，这个策略集不是一个均衡。的确，如果 A选择上，则 B会选择左——但 A不会 傻到选择上！ 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 581 从 B的角度来看，他相当不幸，因为他最终得到的收益为 1而不是 9！他还有什么招数 可使吗？ B可以威胁威胁威胁威胁 ．． A，即若 A选下 B就选左。如果 A认为 B真会这么做，那么他可能选择上。 因为选择上他的收益为 1，而选择下——若 B实施威胁——的收益为 0。 但 A会相信 B的威胁吗？毕竟一旦 A做出了选择，就已无法反悔。B的收益只能为 0 或 1，他很可能得到 1。除非 B在某种程度上可以让 A相信，他一定会实施威胁计划，即使 自己利益受损也在所不惜，否则他只能得到较小的收益。 B的问题是一旦 A已经做出选择，A期望 B理性行事。如果 B承诺承诺承诺承诺 ．． 在 A选择下时 B会 选择左，B的状况会变好。 B做出承诺的一种方式是让别人为他做出选择决策。例如，B可以雇佣律师，让律师警 告 A如果 A选择下则 B必定选择左。如果 A认识到这种警告的严重性，从他的角度看，结 果将大不相同。如果他知道 B对律师的指示，那么他知道如果他选择下，他最终的收益为 0。 因此，他自然会选择上。在这种情形下，B限定限定限定限定 ．． 了自己的策略，从而状况变得更好。 28.8阻止阻止阻止阻止进入的博弈进入的博弈进入的博弈进入的博弈（a game of entry deterrence） 我们在分析双头垄断时假设行业中的企业数目是固定不变的。但在很多情形下，新企 业可能会进入该行业。当然，行业中原有的企业会想方设法阻止新企业进入。由于原有企业 已在行业中，他们可以先发制人，因此在阻止竞争对手进入的博弈中具有先行选择策略的优 势。 例如，假设某个垄断企业面对着另外一个企业进入行业的威胁。新企业（进入者）决 定是否进入市场，原有企业决定是否降低价格作为回应。如果新企业决定不进入，它得到的 收益为 1，原有企业得到的收益为 9。 如果新企业决定进入，那么它的收益取决于原有企业是否与它展开激烈竞争。如果企 业进行竞争，那么我们假设两个选手的最终收益都为 0。另一方面，如果原有企业不进行竞 争，我们假设进入者得到的收益为 2，原有企业得到的收益为 1。 注意，这正好是我们前面研究过的序贯博弈的结构，因此它的结构和图 28.1是相同的。 原有企业为 B，而潜在进入者为 A。策略上为不进入，策略下为进入。策略左为竞争，策略 右为不竞争。我们已经知道，在这个博弈中，均衡结果是潜在进入者进入、原有企业不竞争。 原有企业的问题是它不可能事先承诺若其他企业进入他就会进行竞争。如果其他企业进 入，损害已经造成，原有企业的理性行为是接受这一事实并且和平相处。然而如果潜在进入 者认识到这一点，他自然会认为 B的竞争威胁只是口号般的空话。 然而假设原有企业可以购买额外的生产能力，这样它就能以目前的边际成本生产更多的 产量。当然，如果它仍然是垄断者，他不希望实际增加产量，因为原有垄断产量已实现了利 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 582 润最大化。 但是，如果其他企业进入，原有企业现在就能生产非常多的产量，因此可以与新进入 者展开激烈的竞争。通过投资扩大额外产能，当其他企业试图进入时，它就可以降低成本打 击进入者。假设如果原有企业购买额外产能而且选择竞争的话，那么他的收益为 2。这样博 弈树 28.1就变为了博弈树 28.2。 图图图图 28.2：阻止进入的博弈模型阻止进入的博弈模型阻止进入的博弈模型阻止进入的博弈模型。该图与 28.1相比，收益发生了变化。 现在，由于增加了生产能力，竞争的威胁就是可信的。如果潜在进入者进入，若原有 企业竞争他得到的收益为 2，若不竞争他的收益为 1；因此原有企业自然会选择竞争。潜在 进入者如果进入得到的收益为 0，如果不进入得到的收益为 1，因此他自然会选择不进入。 但是，这意味着原有企业仍然是唯一的垄断者，它根本不会使用额外的生产能力！尽 管如此，垄断则投资扩大产能还是值得的，因为在新企业试图进入市场时，它能够做到让对 方相信它有能力对进入者进行打击。垄断者投资于“过剩”产能的目的，在于向潜在进入者 发送信号：胆敢进入，必遭痛击。 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 583 1.博弈的一种表示方法是，对选手的每个策略赋予相应收益。 2.一个占优策略均衡是指一组选择，这组选择具有下列特征：不论对方选择何种策略， 每个选手的选择的策略都是最优的。 3.一个纳什均衡是指一组选择，对于这组选择：给定其它选手的选择，每个选手的选择 都是最优的。 4.囚犯的两难是一种特殊的博弈，因为在该博弈中，选手选择的策略导致的是帕累托无 效率的结果，而不是帕累托有效率的结果。 5.在序贯博弈中，选手选择的先后顺序非常重要。在这类博弈中，如果某个选手向其它 选手事先承诺，他会沿着既定的路线进行博弈，那么它将处于有利地位。 1.在重复进行的囚犯两难博弈中，如果选手的策略都为以牙还牙。假设某个选手的本意 是合作却不慎犯错——他背叛了。如果在下面回合的博弈中，这两个选手仍然以牙还牙，那 么结果将如何？ 2.占优策略均衡一定是纳什均衡吗？纳什均衡一定是占优策略均衡吗？ 3.假设你的对手选择的不是他的纳什均衡策略，那么你还应该继续选择你的纳什均衡策 略吗？ 4.我们知道如果囚犯两难博弈只进行一次，那么它的结果是占优策略均衡，这一结果不 是帕累托有效率的。如果两个罪犯在刑期结束即被释放后会报复对方。这样的行为将影响到 该博弈的哪些方面？它能实现帕累托有效率的结果吗？ 5.如果两个选手都知道他们之间的囚犯两难博弈将进行 100万次，那么该博弈的占优纳 什均衡策略是什么？如果你真得找到两个选手进行这样的实验，而且实验 100万次，你能预 测出他们会使用什么策略吗？ 6.在教材图 28.1表示的序贯博弈中，如果选手 B而不是 A先进行选择，请画出该新博 弈的展开形。该博弈的均衡解是什么？选手 B更喜欢自己先选择还是更喜欢让 A先选择？ 复习题复习题复习题复习题 总结总结总结 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 584 1.在重复进行的囚犯两难博弈中在重复进行的囚犯两难博弈中在重复进行的囚犯两难博弈中在重复进行的囚犯两难博弈中，，，，如果选手的策略都为以牙还牙如果选手的策略都为以牙还牙如果选手的策略都为以牙还牙如果选手的策略都为以牙还牙。。。。假设某个选手的本意是合假设某个选手的本意是合假设某个选手的本意是合假设某个选手的本意是合 作却不慎犯错作却不慎犯错作却不慎犯错作却不慎犯错————————他背叛了他背叛了他背叛了他背叛了。。。。如果在下面回合的博弈中如果在下面回合的博弈中如果在下面回合的博弈中如果在下面回合的博弈中，，，，这两个选手仍然以牙还牙这两个选手仍然以牙还牙这两个选手仍然以牙还牙这两个选手仍然以牙还牙，，，，那么那么那么那么 结果将如何结果将如何结果将如何结果将如何？？？？ 【复习内容】囚犯的两难博弈；以牙还牙策略 以牙还牙（tit for tat）策略运行方式如下：在第一轮，你合作。在以后的每一轮，如果 你的对手在前一轮选择合作，你也选择合作。如果对方在上一轮选择背叛，你也选择背叛。 换句话说，每个人的策略是选择对方在上一轮的策略。 以牙还牙策略收益最高，因为它对背叛行为立即实施惩罚措施。这种策略也是一种宽恕 的策略：发现一次背叛，只惩罚一次。如果对方改邪归正开始合作，那么以牙还牙策略将以 合作回报对方。在囚犯困境博弈将进行无限次的情形下，以牙还牙策略似乎是实现有效率结 果的一种非常好的机制。 【参考答案】 在重复进行的囚犯两难博弈中，以牙还牙策略，简单地说是指，每个选手选择对方在上 一轮的策略。 由题目可知，如果某选手 A不慎背叛，即使不是出自其本意，但如果 B无法了解这些 信息，那么它会认为 A的行为是真正的背叛。 按照以牙还牙的逻辑，B 在第二轮中的策略，他应选择 A 在上一轮中的策略，即选择 背叛。这个信号会让 B在下一轮中也选择背叛，以此类推。选手 A和 B不断地以背叛策略 作为对对方背叛的反应。 这个例子说明，如果博弈中某个选手不慎犯错，他应该及时沟通，否则大家将一直背叛 到底，这样的结果显然不是帕累托有效率的，也就是说在这种情形下，以牙还牙不再是一个 很好的策略。 2.占优策略均衡占优策略均衡占优策略均衡占优策略均衡一定是纳什均衡吗一定是纳什均衡吗一定是纳什均衡吗一定是纳什均衡吗？？？？纳什均衡一定是占优策略均衡吗纳什均衡一定是占优策略均衡吗纳什均衡一定是占优策略均衡吗纳什均衡一定是占优策略均衡吗？？？？ 【复习内容】占优策略均衡和纳什均衡 占优策略是指，不管对方选择哪个策略，你的最优选择是唯一的。也就是我们通常所说 的“以不变应万变”，这里的“不变”的策略就是你的占优策略。如果均衡时每个对手选择 的都是占优策略，那么该均衡就是占优策略均衡。 纳什均衡，简单地说，你的选择根据对手的选择相应调整，在均衡时，双方都不会再改 复习题答案复习题答案复习题答案复习题答案 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 585 变策略。我们通常所说的“兵来将挡、水来土掩”就是纳什均衡的例子。 【参考答案】 占优策略均衡一定是纳什均衡占优策略均衡一定是纳什均衡占优策略均衡一定是纳什均衡占优策略均衡一定是纳什均衡，，，，纳什均衡未必是占优策略均衡纳什均衡未必是占优策略均衡纳什均衡未必是占优策略均衡纳什均衡未必是占优策略均衡。 占优策略均衡要求对于 B 的所有所有所有所有 ．． 选择，A 的选择都是最优的。而纳什均衡仅要求：对 于 B的最优最优最优最优 ．． 选择来说，A的选择是最优的即可。由于 A和 B的地位是对称的，你可以类似 推理 B的选择。由此可见，占优策略均衡是纳什均衡的一种。因为如果 A 选择的策略对 B 的所有所有所有所有 ．． 策略来说都是最优的，那么显然 A选择的策略对 B的最优最优最优最优 ．． 策略来说也是最优的。 纳什均衡未必是占优策略均衡，比如在“剪刀石头布”游戏中不存在占优策略均衡，但 存在纳什（混合策略）均衡。既然我们已经举出了一个博弈是纳什均衡但不是占优策略均衡 的例子，而且我们又知道占优策略均衡一定是纳什均衡，我们当然可以断言，纳什均衡未必 是占优策略均衡。 3.假设你的对手选择的不是他的纳什均衡策略假设你的对手选择的不是他的纳什均衡策略假设你的对手选择的不是他的纳什均衡策略假设你的对手选择的不是他的纳什均衡策略，，，，那么你还应该继续选择你的纳什均衡策略那么你还应该继续选择你的纳什均衡策略那么你还应该继续选择你的纳什均衡策略那么你还应该继续选择你的纳什均衡策略 吗吗吗吗？？？？ 【复习内容】纳什均衡策略 【参考答案】 你可能但一般不会继续选择纳什均衡策略。原因如下： 纳什均衡策略是指对方采用纳什均衡策略时，你选择的最优策略。典型的纳什均衡要求 双方的决策是相互依赖的，你必须根据对手的选择相应出招。如果两个选手都是理性的，那 么纳什均衡结果是“势均力敌的”，也就是说给定对方的最优选择，你的选择也是最优的。 比如足球比赛中你若是前锋，在与对方守门员的博弈中，若你和守门员都是理性的，那 么你们的策略显然是相互依赖的。比如你踢向球门左方，守门员的最优选择就是扑向左方。 我们假设不管什么原因，该守门员总是扑向左方，你自然会选择踢向右方。 这个例子说明，如果对方选择的不是纳什均衡策略，那么一般情形下你会有更好的选择， 也就是说你不会继续选择纳什均衡策略。 但是，需要注意，由于占优策略均衡是一种比较特殊的纳什均衡，在这种情形下，不管 对方怎么选择，你的策略都是不变的。因此，你会继续选择你的占优策略。 综合以上两种情形，可知答案为如果对方选择的不是纳什均衡策略，那么你可能但一般 不会继续选择纳什均衡策略。 4.我们知道如果囚犯两难博弈只进行一次我们知道如果囚犯两难博弈只进行一次我们知道如果囚犯两难博弈只进行一次我们知道如果囚犯两难博弈只进行一次，，，，那么它的结果是占优策略均衡那么它的结果是占优策略均衡那么它的结果是占优策略均衡那么它的结果是占优策略均衡，，，，这一结果不是帕这一结果不是帕这一结果不是帕这一结果不是帕 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 586 累托有效率的累托有效率的累托有效率的累托有效率的。。。。如果两个罪犯在刑期结束即被释放后会报复对方如果两个罪犯在刑期结束即被释放后会报复对方如果两个罪犯在刑期结束即被释放后会报复对方如果两个罪犯在刑期结束即被释放后会报复对方。。。。这样的行为将影响到该这样的行为将影响到该这样的行为将影响到该这样的行为将影响到该 博弈的哪些方面博弈的哪些方面博弈的哪些方面博弈的哪些方面？？？？它能实现帕累托有效率的结果吗它能实现帕累托有效率的结果吗它能实现帕累托有效率的结果吗它能实现帕累托有效率的结果吗？？？？ 【复习内容】囚犯两难博弈；重复博弈 在重复进行的囚犯两难博弈中，每个选手都可能想出新的策略。如果其他选手在某一轮 博弈中选择的测策略为背叛，那么你可以在下一轮选择背叛的策略。因此，你的对手会因为 “恶劣的”行为而“受到惩罚”。在一个重复博弈中，每个选手都有机会为自己塑造合作的 声望，因此鼓励其他选手也这么做。 因此，面临报复的威胁时，参与博弈的选手都会重新思考和进行选择，在这种情形下， 会改变博弈的收益，从而改变了博弈的结果。在该情形下，选手很可能选择合作，因此，产 生了帕累托有效率的结果。 但是如果这种威胁并不可信，那么选手就不会选择合作，博弈结果和只进行一次的博弈 结果是一样的，也就是说，每个选手都会背叛对方，从而结果不是帕累托有效率的。 5.如果两个选手都知道他们之间的囚犯两难博弈将进行如果两个选手都知道他们之间的囚犯两难博弈将进行如果两个选手都知道他们之间的囚犯两难博弈将进行如果两个选手都知道他们之间的囚犯两难博弈将进行 100万次万次万次万次，，，，那么该博弈的占优纳什均那么该博弈的占优纳什均那么该博弈的占优纳什均那么该博弈的占优纳什均 衡策略是什么衡策略是什么衡策略是什么衡策略是什么？？？？如果你真得找到两个选手进行这样的实验如果你真得找到两个选手进行这样的实验如果你真得找到两个选手进行这样的实验如果你真得找到两个选手进行这样的实验，，，，而且实验而且实验而且实验而且实验 100 万次万次万次万次，，，，你能预测你能预测你能预测你能预测 出他们会使用什么策略吗出他们会使用什么策略吗出他们会使用什么策略吗出他们会使用什么策略吗？？？？ 【复习内容】囚徒两难博弈；重复博弈；以牙还牙策略 【参考答案】 该例子中该例子中该例子中该例子中，，，，占优纳什均衡策略为两个选手在每一回合的博弈中都选择背叛占优纳什均衡策略为两个选手在每一回合的博弈中都选择背叛占优纳什均衡策略为两个选手在每一回合的博弈中都选择背叛占优纳什均衡策略为两个选手在每一回合的博弈中都选择背叛。。。。具体的分析思具体的分析思具体的分析思具体的分析思 路是从后向前进行归纳路是从后向前进行归纳路是从后向前进行归纳路是从后向前进行归纳。。。。 选手相互进行合作的原因，是希望将来进一步合作。但是这要求将来还有博弈的机会。 由于在最后一轮，选手们都知道将来不可能再进行博弈，没有人会选择合作。既然这样，他 们为什么在倒数第二轮合作吗？或者在倒数第三轮合作？以此类推——在囚犯困境博弈中， 若选手都知道博弈的具体次数为 100万次，那么合作解从最后一轮博弈将象多米诺骨牌一样 开始“倒塌”，因此均衡解必然是选手都选择背叛。 但在现实中，如果让选手博弈 100万次，几乎是不可能完成的任务，因此可以视为无限 次重复进行的博弈。这种情形下双方最好的选择都是以牙还牙。以牙还牙的威慑力可在很大 程度上保证选手之间的合作。 因此，如果在现实中进行这样的实验，很可能出现的结果是两个选手彼此合作，因此结 果为帕累托有效率的。 6.在教材图在教材图在教材图在教材图 28.1表示的序贯博弈中表示的序贯博弈中表示的序贯博弈中表示的序贯博弈中，，，，如果选手如果选手如果选手如果选手 B而不是而不是而不是而不是 A先进行选择先进行选择先进行选择先进行选择，，，，请画出该新博弈的请画出该新博弈的请画出该新博弈的请画出该新博弈的 28博弈理论 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 587 展开形展开形展开形展开形。。。。该博弈的均衡解是什么该博弈的均衡解是什么该博弈的均衡解是什么该博弈的均衡解是什么？？？？选手选手选手选手 B更喜欢自己先选择还是更喜欢让更喜欢自己先选择还是更喜欢让更喜欢自己先选择还是更喜欢让更喜欢自己先选择还是更喜欢让 A先选择先选择先选择先选择？？？？ 【复习内容】序贯博弈 序贯博弈是与同时博弈相对，是指选手行动有先后之分而不是同时决策。行动的先后顺 序会影响博弈收益，从而影响博弈的结果。 由于收益矩阵通常不容易展示序贯博弈的结构，也就是说收益矩阵通常会将决策先后顺 序信息隐藏起来，如果依据收益矩阵进行分析，非常容易出错。因此，在序贯博弈的情形下， 我们通常用展开形即博弈树来表示博弈。 【参考答案】该博弈的均衡解是该博弈的均衡解是该博弈的均衡解是该博弈的均衡解是（（（（左左左左，，，，上上上上）；）；）；）；选手选手选手选手 B更喜欢自己先选择更喜欢自己先选择更喜欢自己先选择更喜欢自己先选择。。。。 图：选手 B先行动时的博弈树（博弈展开形） 我们从博弈树的树根向树枝方向进行分析。如果 B选择左，则 A会选择上，此时收益为 （9,1）。 如果 B选择右，则 A会选择下，此时收益为（1,2）。对比这两种情形下 B的收益可知， B会选择左，在 B选择左的情形下，A会选择上，因此均衡策略解为（左，上），此时收益 为（9,1）。 对比教材中 A先行动时最终均衡结果中 B的收益（为 1）可知，B会选择率先选择。