四川省成都市龙泉中学温江中学等五校联考高一(上)期中数学试卷(解析)

2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）．设集合{∈|＜≤}，{，，，}，{，，}，则（∁）（）1U=xN0x8S=1245T=357S∩UT=A．{1，2，4}B．{1，2，3，4，5，7}C．{1，2}D．{1，2，4，5，6，8}2．可作为函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．3．若函数y=f（x）为奇函数，则它的图象必经过点（）A．（﹣a，﹣f（a））B．（0，0）C．（a，f（﹣a））D．（﹣a，﹣f（﹣a））4．下列各组函数是同一函数的是（）①f（x）=与g（x）=x；②f（x）=|x|与g（x）=；③f（x）=x0与g（x）=；④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④5．f（x）=则f[f（）]=（）A．﹣2B．﹣3C．9D．．设函数3与（）x﹣2的图象的交点为（，），则所在的区间是（）6y=xy=x0y0x0A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）．已知（）是定义在上的偶函数，且在（﹣，]上是增函数，设（），7fxR∞0a=flog47b=f（），（0.6），则，，的大小关系是（）log23c=f0.2abcA．c＜b＜aB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．a＜b＜c8．已知，则f（2x﹣1）的定义域为（）A．B．C．D．9．已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为同族函数．那么，函数的解析式为y=x2，值域为{4，9}的同族函数共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个11．设函数f（x）=，若f（﹣4）=f（0），则函数y=f（x）﹣ln（x+2）的零点个数有（）A．6B．4C．5D．712．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围（）A．[，1]B．[，+∞）C．[1，+∞）D．[0，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知M={（x，y）|y=x2+1，x∈R}，N={（x，y）|y=x+1，x∈R}，则M∩N=．14．已知f（x+1）=x+2x2，求f（x）=．15．已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．16．若二次函数的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；②若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；若＜，则必存存在实数，使[（）]＞；③a0x0ffx0x0④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数都成立；⑤函数的图象与直线y=﹣x也一定没有交点．其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号）．三、解答题（共6小题，满分70分）．（）设全集为，{|＜＜}，{|＜＜}，求∁（∪）及（∁）．171RA=x3x7B=x4x10RABRA∩B（2）C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．18．计算：（1）﹣（﹣）﹣2+﹣3﹣1+（﹣1）0（）++﹣．2log2.56.25lg0.01ln19．如图，某渠道的截面是一个等腰梯形，上底AD长为一腰和下底长之和，且两腰AB，CD与上底AD之和为8米，试问：等腰梯形的腰与上、下底长各为多少时，截面面积最大？并求出截面面积S的最大值．20．已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的的集合记为，求∁（为全集）．aBA∩RBR21．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=﹣1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．．已知幂函数（）（2﹣﹣）﹣5m﹣3在（，+）上是增函数，又（）22fx=mm1x0∞gx=loga（a＞1）．（1）求函数g（x）的解析式；（2）当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高一（上）期中数学试卷参考与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）．设集合{∈|＜≤}，{，，，}，{，，}，则（∁）（）1U=xN0x8S=1245T=357S∩UT=A．{1，2，4}B．{1，2，3，4，5，7}C．{1，2}D．{1，2，4，5，6，8}【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【分析】根据集合补集和交集的运算规则直接求解．【解答】解：因为{，，，，，，，}，{，，，，}，U=12345678CUT=12468所以（）{，，}，S∩CUT=124故选A2．可作为函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．【考点】函数的表示方法．【分析】由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f（x）有唯一确定的实数值与之对应，即可判断出．【解答】解：由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f（x）有唯一确定的实数值与之对应，只有D符合．故正确答案为D．故选D．3．若函数y=f（x）为奇函数，则它的图象必经过点（）A．（﹣a，﹣f（a））B．（0，0）C．（a，f（﹣a））D．（﹣a，﹣f（﹣a））【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，可得函数y=f（x）必过（a，f（a））点和（﹣a，﹣f（a））点，进而得到答案．【解答】解：函数y=f（x）必过（a，f（a））点，又由函数y=f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可得函数y=f（x）必过（﹣a，﹣f（a））点，故选：A．4．下列各组函数是同一函数的是（）①f（x）=与g（x）=x；②f（x）=|x|与g（x）=；③f（x）=x0与g（x）=；④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】利用函数的三要素即可判断出．【解答】解：①f（x）=，g（x）=x，解析式不同，∴f（x）与g（x）不是同一函数；②∵f（x）=|x|，g（x）==|x|，故是同一函数；③f（x）=x0=1（x≠0），，解析式与定义域、值域相同，故是同一函数．④f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1对应法则和定义域相同，故是同一函数．综上可知：②③④．故选C．5．f（x）=则f[f（）]=（）A．﹣2B．﹣3C．9D．【考点】对数的运算性质．【分析】利用分段函数的意义求出，即可得出．【解答】解：∵f（x）=，∴==﹣2．∴f[f（）]=f（﹣2）==9．故选：C．．设函数3与（）x﹣2的图象的交点为（，），则所在的区间是（）6y=xy=x0y0x0A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3﹣22﹣x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3﹣22﹣x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【解答】解：∵y=（）x﹣2=22﹣x令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选B．．已知（）是定义在上的偶函数，且在（﹣，]上是增函数，设（），7fxR∞0a=flog47b=f（），（0.6），则，，的大小关系是（）log23c=f0.2abcA．c＜b＜aB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．a＜b＜c【考点】奇偶性与单调性的综合；对数值大小的比较．【分析】由f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，可得出自变量的绝对值越小，函数值越大，由此问题转化为比较自变量的大小，问题即可解决．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，要得函数在（0，+∞）上是减函数，图象越靠近y轴，图象越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于＜0.6＜＜＜，00.21log47log49=log23可得b＜a＜c，故选C．8．已知，则f（2x﹣1）的定义域为（）A．B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】通过换元先求出函数f（t）的定义域，进而把2x﹣1看作一个整体相当于f（t）中的t，即可求出答案．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）==，∵﹣t2+2t≥0，解之得0≤t≤2．∴函数f（t）=的定义域为[0，2]．令0≤2x﹣1≤2，解得，∴函数f（2x﹣1）的定义域为[，]．故选D．9．已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间．【分析】函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，a＞1，并且f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，可得a的范围，而且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，求得结果．【解答】解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1，又f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，∴a＞2，并且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，即a﹣3≤0，所以2＜a≤3故选C10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为同族函数．那么，函数的解析式为y=x2，值域为{4，9}的同族函数共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义域和值域的关系，结合函数的定义进行求解即可．【解答】解：由x2=4，则x=2或x=﹣2，由x2=9，则x=3或x=﹣3，即定义域内﹣2和2至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C11．设函数f（x）=，若f（﹣4）=f（0），则函数y=f（x）﹣ln（x+2）的零点个数有（）A．6B．4C．5D．7【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】先求出b，再画出f（x）与y=ln（x+2）的图象，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=，f（﹣4）=f（0），∴b=4，∴f（x）=，f（x）=与y=ln（x+2）的图象如图所示，∴函数y=f（x）﹣ln（x+2）的零点个数有4个，故选：B．12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围（）A．[，1]B．[，+∞）C．[1，+∞）D．[0，1]【考点】函数的值．【分析】由已知得f（a）≥1，当a≥1时，f（a）=2a≥1，当a＜1时，f（a）=3a﹣1≥1，由此能求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，f（f（a））=2f（a），∴f（a）≥1，当a≥1时，f（a）=2a≥1，解得a≥0，∴a≥1；当a＜1时，f（a）=3a﹣1≥1，解得a，∴．∴a的取值范围是[，+∞）．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知M={（x，y）|y=x2+1，x∈R}，N={（x，y）|y=x+1，x∈R}，则M∩N={（0，1），（1，2）}．【考点】交集及其运算．【分析】联立方程组，求出方程组的解，从而求出集合的交集即可．【解答】解：∵M={（x，y）|y=x2+1，x∈R}，N={（x，y）|y=x+1，x∈R}∴，解得：或，则M∩N={（0，1），（1，2）}，故答案为：{（0，1），（1，2）}．14．已知f（x+1）=x+2x2，求f（x）=2x2﹣3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用换元法，令t=x+1，则x=t﹣1，带入化简可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意：f（x+1）=x+2x2，令t=x+1，则x=t﹣1，那么：f（x+1）=x+2x2转化为g（t）=t﹣1+2（t﹣1）2化简得：g（t）=2t2﹣3t+1，即f（x）=2x2﹣3x+1故答案为：2x2﹣3x+1．15．已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是﹣4＜a≤4．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=logt在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得﹣4＜a≤4，故答案为：﹣4＜a≤4．16．若二次函数的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；②若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；若＜，则必存存在实数，使[（）]＞；③a0x0ffx0x0④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数都成立；⑤函数的图象与直线y=﹣x也一定没有交点．其中正确的结论是①②④⑤（写出所有正确结论的编号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．进而逐一由此判断①～⑤的真假即可得到答案．【解答】解：因为函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．因为f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x没有实数根；故①正确；若a＞0，则不等式f[f（x）]＞f（x）＞x对一切实数x都成立；故②正确；若＜，则不等式[（）]＜对一切实数都成立，所以不存在，使[（）]＞；a0ffxxxx0ffx0x0故③错误；若a+b+c=0，则f（1）=0＜1，可得a＜0，因此不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立；故④正确；易见函数g（x）=f（﹣x），与f（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）和直线y=﹣x也一定没有交点．故⑤正确；故答案为：①②④⑤三、解答题（共6小题，满分70分）．（）设全集为，{|＜＜}，{|＜＜}，求∁（∪）及（∁）．171RA=x3x7B=x4x10RABRA∩B（2）C={x|a﹣4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（）由题意和并集、补集的运算先求出∪、，再分别求出∁（∪）及（∁1ABCRARAB）；RA∩B（2）由A∩C=A得A⊆C，根据子集的定义列出关于a的不等式组，求出a的范围．【解答】解：（1）因为A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，所以∪{|＜＜}，{|≤或≥}，AB=x3x10CRA=xx4x10则（∪）{|≤或≥}，CRAB=xx3x10…（）{|≤＜}，CRA∩B=x7x10…（2）由A∩C=A得，A⊆C，所以，解得3≤a≤7…18．计算：（1）﹣（﹣）﹣2+﹣3﹣1+（﹣1）0（）++﹣．2log2.56.25lg0.01ln【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】（1）利用分数指数幂的性质和运算法则求解．（2）利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：（1）﹣（﹣）﹣2+﹣3﹣1+（﹣1）0=﹣49+64﹣+1=19．（）++﹣2log2.56.25lg0.01ln=2﹣2+﹣2×3=﹣．19．如图，某渠道的截面是一个等腰梯形，上底AD长为一腰和下底长之和，且两腰AB，CD与上底AD之和为8米，试问：等腰梯形的腰与上、下底长各为多少时，截面面积最大？并求出截面面积S的最大值．【考点】函数最值的应用．【分析】先表示梯形的面积，再利用配方法，即可得出结论．【解答】解：设腰AB=CD=x米，则上底AD为8﹣2x，下底BC为8﹣3x，所以梯形的高为．由x＞0，8﹣2x＞0，8﹣3x＞0，可得．…∵=═，…∴时，．此时，上底AD=米，下底BC=米，最大截面面积最大为平方米．…20．已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的的集合记为，求∁（为全集）．aBA∩RBR【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）令x=﹣1，y=1，由条件，结合f（1）=0，即可得到f（0）；（2）令y=0，结合f（0），即可求出f（x）的解析式；（3）化简不等式f（x）+3＜2x+a，得到x2﹣x+1＜a，求出左边的范围，由恒成立得到a的范围；由二次函数的单调性，即可得到集合，从而求出∁．BA∩RB【解答】解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1×（﹣1+2+1）∵f（1）=0，∴f（0）=﹣2；（2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又∵f（0）=﹣2，∴f（x）=x2+x﹣2；（3）不等式f（x）+3＜2x+a，即x2+x﹣2+3＜2x+a即x2﹣x+1＜a，当时，，又恒成立，故A={a|a≥1}，g（x）=x2+x﹣2﹣ax=x2+（1﹣a）x﹣2又g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，故有，∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，∴{|≤＜}．A∩CRB=a1a521．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=﹣1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）利用条件①②③，可确定解析式中的参数，从而可得函数f（x）的解析式；（2）y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．【解答】解：（1）∵f（x）的对称轴为x=﹣1，∴=﹣1，即b=2a…又f（1）=1，即a+b+c=1…由条件③知：a＞0，且，即b2=4ac…由上可求得…∴…（2）由（1）知：，图象开口向上．而y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．…∴1，m应该是y=f（x+t）与y=x的交点横坐标，…即1，m是的两根，…由1是的一个根，得（t+2）2=4，解得t=0，或t=﹣4…把代入原方程得（这与＞矛盾）t=0x1=x2=1m1…把﹣代入原方程得2﹣+，解得，∴t=4x10x9=0x1=1x2=9m=9…综上知：m的最大值为9．…．已知幂函数（）（2﹣﹣）﹣5m﹣3在（，+）上是增函数，又（）22fx=mm1x0∞gx=loga（a＞1）．（1）求函数g（x）的解析式；（2）当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】（1）利用幂函数的单调性以及性质，列出关系式，求出m，即可求解函数g（x）的解析式；（）求出（）的定义域．结合＞，∈（，），可得≥，设，∈（，+），2gxa1xtat1x1x21∞判断g（x）在（1，+∞）上是减函数，通过g（x）的值域列出方程，即可求解a的值．【解答】解：（1）∵f（x）是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，∴解得m=﹣1，∴．…（2）由＞0可解得x＜﹣1，或x＞1，∴g（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．…又a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，设，∈（，+），且＜，于是﹣＞，﹣＞，﹣＞，x1x21∞x1x2x2x10x110x210∴＞0，∴．由a＞1，有，即g（x）在（1，+∞）上是减函数．…又g（x）的值域是（1，+∞），∴得，可化为，解得，∵a＞1，∴，综上，．…2016年12月9日