近十年江苏省专转本高等数学试题分类整理

江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学专转本高数试卷结构知识分类与历年真函数、极限和连续一元函数微分学一元函数积分学向量代数与空间解析几何多元函数微积分无穷级数常微分方程时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案2005年高等数学真题参考答案2006年高等数学真题参考答案2007年高等数学真题参考答案2008年高等数学真题参考答案2009年高等数学真题参考答案2010年高等数学真题参考答案2011年高等数学真题参考答案2012年高等数学真题参考答案2013年高等数学真题参考答案江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学试卷结构全卷满分150分一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）五、题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）知识分类与历年真题一、函数、极限和连续（一）函数3xx3,0（0401）f(x)是（）x3x0,2A.有界函数B.奇函数C.偶函数D.周期函数（0801）设函数f(x)在(,)上有定义，下列函数中必为奇函数的是（）34A.yf(x)B.yxf(x)C.yf(x)D.yf(x)f(x)（二）极限2（0402）当x0时，xsinx是关于x的（）A.高阶无穷小B.同阶无穷小C.低阶无穷小D.等价无穷小x2x（0407）设f(x)，则limf(x)．3xxxf21x（0601）若lim，则lim（）x0x2x0xf311A.B.2C.3D.23（0607）已知x0时，a(1cosx)与xsinx是等价无穷小，则a．3x1（0613)计算lim．x1x1f(2x)1（0701）若lim2，则limxf（）x0xx2x11A.B.C.2D.44222nn（0702）已知当x0时，xln(1x)是sinx的高阶无穷小，而sinx又是1cosx的高阶无穷小，则正整数n（）A.1B.2C.3D.43xx2（0813）求极限：lim．xx2xaxb（0901）已知lim3，则常数a,b的取值分别为（）x2x2A.a1,b2B.a2,b0C.a1,b0D.a2,b1xx（0907）已知lim2，则常数C．xxCn（1001）设当x0时，f(x)xsinx与g(x)ax是等价无穷小，则常数a,n的值为()1111A.a,n3B.a,n3C.a,n4D.a,n463126xx1（1007）lim．xx1x2（1101）当x0时，函数f(x)ex1是函数g(x)x的()A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小kxx2（1107）已知lime2，则k_________．xx1sin3x（1201）极限lim2xsin（）xxxA.0B.2C.3D.52（1301）当x0时，函数f(x)ln(1x)x是函数g(x)x的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小1axx（1310）设lime，则常数a．x0ax（三）连续x（0413）求函数f(x)的间断点，并判断其类型．sinx1（0501）x0是f(x)xsin的（）xA.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点f(x)2sinxx0（0513）设F(x)x在R内连续，并满足f(0)0，f(0)6，求a．ax01x2sinx0（0602）函数f(x)x在x0处（）0x0A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续也不可导D.可导但不连续（0608）若limf(x)A，且f(x)在xx0处有定义，则当A时，f(x)在xx0处xx0连续．1x（0707）设函数f(x)(1kx)x0，在点x0处连续，则常数k．2x0x21（0807）设函数f(x)，则其第一类间断点为．x(x1)axx0（0808）设函数f(x)tan3x在点x0处连续，则a＝．x0x2x3x2（0902）已知函数f(x)2，则x2为f(x)的（）x4A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.震荡间断点eaxx2ax1x0xarctanx（1123）设f(x)1x0，问常数为何值时：axe1x0sin2x（1）x0是函数f(x)的连续点？（2）x0是函数f(x)的可去间断点？（3）x0是函数f(x)的跳跃间断点？(x2)sinx（1202）设f(x)，则函数f(x)的第一类间断点的个数为（）xx24A.0B.1C.2D.31（1207）要使函数f(x)12xx在点x0处连续，则需补充定义f(0)_________．sin2xx0x（1303）设f(x)，这点x0是函数f(x)的（）xx01x1A.跳跃间断点B.可去间断点C.无穷间断点D.连续点1xsinx0（1307）设f(x)x在点x0处连续，则常数a．ax0二、一元函数微分学（一）导数与微分x（0403）直线L与x轴平行且与曲线yxe相切，则切点的坐标是（）A.1,1B.1,1C.0,1D.0,1'（0409）设f(x)x(x1)(x2)(xn)，nN，则f(0)．2ydy（0415）设函数yy(x)由方程1的值．yxe所确定，求2dxx01（0502）若x2是函数yxlnax的可导极值点，则常数a（）211A.1B.C.D.122xcostdyd2y（0514）设函数yy(x)由方程所确定，求、．ysinttcostdxdx222xln(1t)dydy（0614）若函数yy(x)是由方程所确定，求、．ytarctantdxdx22（0708）若直线y5xm是曲线yx3x2的一条切线，则常数m．2xydydy（0714）设函数yy(x)由方程eexy、．确定，求2dxx0dxx0（0802）设函数f(x)可导，则下列式子中正确的是（）f(0)f(x)f(x02x)f(x)A.limf(0)B.limf(x0)x0xx0xf(x0x)f(x0x)f(x0x)f(x0x)C.limf(x0)D.lim2f(x0)x0xx0xxtsintdyd2y（0814）设函数yy(x)由参数方程（t2n，nZ）所决定，求、．y1costdxdx20x0（0903）设函数f(x)1在点x0处可导，则常数的取值范围为（）xsinx0xA.01B.01C.1D.1xln(1t)dyd2y（0914）设函数yy(x)由参数方程所确定，、．yt22t3dxdx2exx0（0923）已知函数f(x)，证明函数f(x)在点x0处连续但不可导．1xx0f(x)f(x)（1008）.若f(0)1，则lim．x0x2xydydy（1014）设函数yy(x)由方程ye2x所确定，求、．dxdx2(x)x0（1022）设f(x)x，其中函数(x)在x0处具有二阶连续导数，且(0)0，1x0(0)1，证明：函数f(x)在x0处连续且可导．f(x0h)f(x0h)（1102）设函数f(x)在点x0处可导，且lim4，则f(x0)()h0hA.4B.2C.2D.4（1110）设函数yarctanx，则dyx1_____________．2xttdy（1114）设函数yy(x)由参数方程所确定，求．eyyt2dx222x(7)（1208）设函数yxx2x1e，则y(0)________．x（1209）设yx（x0），则函数y的微分dy___________．1xtdyd2y（1214）设函数yy(x)由参数方程所确定，求、．t22dxdxyt2lnt21dy（1304）设yf，其中f具有二阶导数，则（）xdx211211121A.ffB.ffx2xx3xx2xx3x11211121C.2f3fD.2f3fxxxxxxxxf(x)1（1306）已知函数f(x)在点x1处连续，且lim，则曲线f(x)在点1,f(x)处切线方x1x212程为（）A.yx1B.y2x2C.y3x3D.y4x422xt1dy（1309）设函数由参数方程所确定，则22．yt1dxt1（二）中值定理及导数的应用（0423）甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元．问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？exex2x（0507）lim．x0xsinx（0508）函数f(x)lnx在区间1,e上满足拉格郎日中值定理的．3（0521）证明方程：x3x10在1,1上有且仅有一根．（0603）下列函数在1,1上满足罗尔定理条件的是（）x21A.yeB.y1xC.y1xD.y1x3（0621）证明：当x2时，3xx2．（0703）设函数f(x)x(x1)(x2)(x3)，则方程f(x)0的实根个数为（）A.1B.2C.3D.4exx1（0713）求极限lim．x0xtanx32（0722）设函数f(x)axbxcx9具有如下性质：（1）在点x1的左侧临近单调减少；（2）在点x1的右侧临近单调增加；（3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变．试确定a，b，c的值．22（0724）求证：当x0时，(x1)lnx(x1)．32（0809）已知曲线y2x3x4x5，则其拐点为．1（0821）求曲线y（x0）的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值．x（0823）设函数f(x)在闭区间0,2a（a0）上连续，且f(0)f(2a)f(a)，证明：在开区间(0,a)上至少存在一点，使得f()f(a)．x（0824）对任意实数x，证明不等式：(1x)e1．2x1（0904）曲线y2的渐近线的条数为（）(x1)A.1B.2C.3D.43x（0913）求极限lim．x0xsinx3（0921）已知函数f(x)x3x1，试求：（1）函数f(x)的单调区间与极值；（2）曲线yf(x)的凹凸区间与拐点；（3）函数f(x)在闭区间[2,3]上的最大值与最小值．2（0924）证明：当1x2时，4xlnxx2x3．2x3x4（1002）曲线y的渐近线共有()x25x6A.1条B.2条C.3条D.4条3（1006）设f(x)x3x，则在区间(0,1)内()A.函数f(x)单调增加且其图形是凹的B.函数f(x)单调增加且其图形是凸的C.函数f(x)单调减少且其图形是凹的D.函数f(x)单调减少且其图形是凸的11（1013）求极限lim2．|x0xtanxxx1121（1021）证明：当x1时，ex．2232（1103）若点(1,2)是曲线yaxbx的拐点，则（）A.a1,b3B.a3,b1C.a1,b3D.a4,b62exex（1113）求极限lim．x0ln1x22（1121）证明：方程xln1x2有且仅有一个小于2的正实根．2011（1122）证明：当x0时，x20102011x．13（1203）设f(x)2x25x2，则函数f(x)()A.只有一个最大值B.只有一个极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值x22cosx2（1213）求极限lim．x0x3ln1x13（1223）证明：当0x1时，arcsinxxx．62x2x（1302）曲线y2的渐近线共有（）x3x2A.1条B.2条C.3条D.4条ex1（1313）求极限lim．x0ln(1x)x2（1323）证明：当x1时，(1lnx)2x1．三、一元函数积分学（一）不定积分arcsin3x（0410）求不定积分dx．21xxe（0416）设f(x)的一个原函数为，计算xf(2x)dx．x（0503）若f(x)dxF(x)C，则sinxf(cosx)dx（）A.F(sinx)CB.F(sinx)CC.F(cos)CD.F(cosx)C3（0515）计算tanxsecxdx．（0522）设函数yf(x)的图形上有一拐点P(2,4)，在拐点处的切线斜率为3，又知该函数的二阶导数y6xa，求f(x)．（0604）已知f(x)dxe2xC，则f(x)dx（）2x12x2x12xA.2eCB.eCC.2eCD.eC221lnx（0615）计算dx．x（0622）已知曲线yf(x)过原点且在点(x,y)处的切线斜率等于2xy，求此曲线方程．（0704）设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则f(2x)dx（）1A.cos4xCB.cos4xCC.2cos4xCD.sin4xC2（0715）求不定积分x2exdx．1（0810）设函数f(x)的导数为cosx，且f(0)，则不定积分f(x)dx．23x（0815）求不定积分dx．x1（0905）设F(x)ln(3x1)是函数f(x)的一个原函数，则f(2x1)dx（）1313A.CB.CC.CD.C6x46x412x812x8（0915）求不定积分sin2x1dx．（1015）求不定积分xarctanxdx．f(x)（1115）设f(x)的一个原函数为x2sinx，求不定积分dx．x（1215）求不定积分xsin2xdx．（1315）求不定积分xsin2xdx．（二）定积分22R22222（0404）xy8R设所围的面积为S，则8Rxdx的值为（）0SSA.SB.C.D.2S42sinx（0421）证明：xf(sinx)dxf(sinx)dx，并利用此式求xdx．02001cos2x1x1（0509）dx．11x21（0516）计算arctanxdx．011（0609）设f(x)在0,1上有连续的导数且f(1)2，f(x)dx3，则xf(x)dx．002（0616）计算2xcosxdx．02（0709）定积分4x21xcos3xdx的值为．2211x（0716）计算定积分22dx．2x12sinx（0811）定积分2dx的值为．11x1（0816）求定积分exdx．01x2dx（0916）求定积分：．202x31x1（1009）定积分2dx的值为．1x14x3（1016）计算定积分dx．02x1（1111）定积分2x31sin2xdx的值为____________．2　3xdx（1116）计算定积分．　01x12dx（1216）计算定积分．1x2x12dx（1316）计算定积分．024x2abb（1324）设函数f(x)在[a,b]上连续，证明：f(x)dx2f(x)f(abx)dx．aa（三）变限积分与广义积分dx（0417）计算广义积分．2xx1x（0422）设函数f(x)可导，且满足方程tf(t)dtx21f(x)，求f(x)．0x22（0705）设f(x)sintdt，则f(x)（）14224A.sinxB.2xsinxC.2xcosxD.2xsinx12（0803）设函数f(x)tsintdt，则f(x)等于（）2x2222A.4xsin2xB.8xsin2xC.4xsin2xD.8xsin2x2x（0908）设函数(x)tetdt，则(x)＝．02（1003）设函数(x)etcostdt，则函数(x)的导数(x)等于()x2222x2x2xx2A.2xecosxB.2xecosxC.2xecosxD.ecosxx2（1108）设函数(x)ln(1t)dt，则(1)____________．　0x1（1211）设反常积分edx，则常数a______．a2x（1222）已知定义在,上的可导函数f(x)满足方程xf(x)4f(t)dtx33，试求：1（1）函数f(x)的达式；（2）函数f(x)的单调区间与极值；（3）曲线yf(x)的凹凸区间与拐点．xg(t)dtx0g(x)（1224）设f(x)0，其中函数g(x)在(,)上连续，且lim3．证x0g(0)x01cosx1明：函数f(x)在x0处可导，且f(0)．251x2（1322）已知F(x)9t35t2dt是f(x)的一个原函数，求曲线yf(x)的凹凸区间、拐点．0（四）定积分的几何应用2（0523）已知曲边三角形由y2x、x0、y1所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）曲边三角形绕x轴旋转一周的旋转体体积．22（0623）已知一平面图形由抛物线yx、yx8围成．（1）求此平面图形的面积；（2）求此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积．2（0721）设平面图形由曲线y1x（x0）及两坐标轴围成．（1）求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a的值，使直线ya将该平面图形分成面积相等的两部分．22（0822）设平面图形由曲线yx，y2x与直线x1所围成．（1）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积；（2）求常数a，使直线xa将该平面图形分成面积相等的两部分．2（0922）设D1是由抛物线y2x和直线xa，y0所围成的平面封闭区域，D2是由抛物线2y2x和直线xa，x2及y0所围成的平面封闭区域，其中0a2．试求：（1）D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2；（2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等．22（1023）设由抛物线yx（x0），直线ya（0a1）与y轴所围成的平面图形绕x轴旋22转一周所形成的旋转体的体积记为V1(a)，由抛物线yx（x0），直线ya（0a1）与直线x1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V2(a)，另V(a)V1(a)V2(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值．'xf(x)（1024）设函数f(x)满足方程f(x)f(x)2e，且f(0)2，记由曲线y与直线y1，f(x)xt（t0）及y轴所围平面图形的面积为A(t)，试求limA(t)．t（1124）设函数f(x)满足微分方程xf(x)2f(x)(a1)x（其中a为正常数），且f(1)1，2由曲线yf(x)（x1）与直线x1，y0所围成的平面图形记为D．已知D的面积为．3（1）求函数f(x)的表达式；（2）求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vx；（3）求平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vy．2（1221）在抛物线yx（x0）上求一点P，使该抛物线与其在点P处的切线及x轴所围成的2平面图形的面积为，并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．3（1321）设平面图形D是由曲线x2y，yx与直线y1所围成，试求：（1）平面图形D的面积；（2）平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（0510）设向量a3,4,2、b2,1,k；a、b互相垂直，则k．（0610）设a1，ab，则aab．1（0710）已知a、b均为单位向量，且ab，则以a、b为邻边的平行四边形面积为．2（0804）设向量a(1,2,3)，b(3,2,4)，则ab等于（）A.(2,5,4)B.(2,5,4)C.(2,5,4)D.(2,5,4)（0909）已知向量a1,0,1，b1,2,1，则ab与a的夹角为．（1010）设a1,2,3，b2,5,k，若a与b垂直，则常数k．（1109）若a1，b4，ab2，则ab____________．（1210）设向量a、b互相垂直，且a3，b2，则a2b________．（1308）已知空间三点A(1,1,1)，B(2,3,4)，C(3,4,5)，则ABC的面积为．（二）平面与直线x4y3z（0518）求过点A(3,1,2)且通过直线L：的平面方程．521（0619）求过点M(3,1,2)且与二平面xyz70、4x3yz60都平行的直线方程．xyz20（0719）求过点(1,2,3)且垂直于直线的平面方程．2xyz10（0817）设平面经过点A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,5)，求经过点P(1,2,1)且与平面垂直的直线方程．xy1z2（0917）求通过直线且垂直于平面xyz20的平面方程．321x2t（1017）求通过点(1,1,1)，且与直线y32t垂直，又与平面2xz50平行的直线的方程．z53txyz（1117）求通过x轴与直线的平面方程．231（1217）已知平面通过M(1,2,3)与x轴，求通过N(1,1,1)且与平面平行，又与x轴垂直的直线方程．x23txyz10（1318）已知直线在平面上，又知直线y1t与平面平行，求平面x3yz30z32t的方程．五、多元函数微积分（一）多元函数微分学2zz（0418）设zf(xy,xy)，且具有二阶连续的偏导数，求、．xxyx22（0505）设u(x,y)arctan，v(x,y)lnxy，则下列等式成立的是（）yuvuvuvuvA.B.C.D.xyxxyxyy22zz（0517）已知函数zf(sinx,y)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求、．xxyxyu（0611）设uesinx，．x22zz（0620）设zxf(x,xy)其中f(u,v)的二阶偏导数存在，求、．yyxx（0711）设z，则全微分dz．y2z（0717）设zf(2x3y,xy)其中f具有二阶连续偏导数，求．xyy（0805）函数zln在点(2,2)处的全微分dz为（）x11111111A.dxdyB.dxdyC.dxdyD.dxdy22222222y2z（0818）设函数zfxy,，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求．xxy2z（0910）设函数zz(x,y)由方程xzyz1所确定，则＝．x2z（0919）设函数zf(sinx,xy)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求．xy2（1011）设函数zlnx4y，则dzx1．y022xz（1018）设zyfxy,e，其中函数f具有二阶连续偏导数，求．xy3z（1104）设zf(x,y)为由方程z3yz3x8所确定的函数，则x0（）yy011A.B.C.2D.2222yz（1118）设zxf(，y)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求．xxy3（1204）设zln2x在点1,1处的全微分为()y11A.dx3dyB.dx3dyC.dx3dyD.dx3dy2222（1218）设函数zf(x,xy)(xy)，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数(x)具有二2z阶连续导数，求．xy23z（1314）设函数zz(x,y)由方程z3xy3z1所确定，求dz及2．x222x3yz（1317）设zfx,e，其中函数f具有二阶连续偏导数，求．yx（二）二重积分12x（0411）交换二次积分的次序dxf(x,y)dy．0x2siny（0419）计算二重积分dxdy，其中D由曲线yx及y2x所围成．Dy（0504）设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(1,1)、C(1,1)为顶点的三角形区域，区域D1是D在第一象限的部分，则(xycosxsiny)dxdy（）DA.2(cosxsiny)dxdyB.2xydxdyD1D1C.4(xycosxsiny)dxdyD.0D101x2（0511）交换二次积分的次序dxf(x,y)dy；1x1uu（0524）设f(x)为连续函数，且f(2)1，F(u)dyf(x)dx（u1）．1y（1）交换F(u)的积分次序；（2）求F(2)．22（0606）设对一切x有f(x,y)f(x,y)，D{(x,y)|xy1,y0}，22D1{(x,y)|xy1,x0,y0}，则f(x,y)dxdy（）DA.0B.f(x,y)dxdyC.2f(x,y)dxdyD.4f(x,y)dxdyD1D1D1（0612）D为以点O(0,0)、A(1,0)、B(0,2)为顶点的三角形区域，dxdy．D1f(x)dxdyt0（0624）设g(t)t，其中Dt是由xt、yt以及坐标轴围成的正方形区Dtat0域，函数f(x)连续．'（1）求a的值使得g(t)连续；（2）求g(t)．2222（0720）计算二重积分xydxdy，其中D(x,y)|xy2x,y0．Dbbb2xy3x2xa（0723）设ba0，证明：dyf(x)edxeef(x)dx．aya21（0819）计算二重积分xdxdy，其中D是由曲线y，直线yx，x2及y0所围成Dx的平面区域．22（0918）计算二重积分yd，其中D{(x,y)0x2,xy2,xy2}．D1y1（1005）二次积分dyf(x,y)dx交换积分次序后得()011x12x1A.dxf(x,y)dyB.dxf(x,y)dy01102x121C.dxf(x,y)dyD.dxf(x,y)dy111x12（1019）计算xdxdy，其中D是由曲线x1y，直线yx及x轴所围成的闭区域．D1　　2（1105）若f(x,y)dxdy可转化为二次积分dyf(x,y)dx，则积分域D可表示为（）　0y1DA.(x,y)0x1,x1y1B.(x,y)1x2,x1y1C.(x,y)0x1,x1y0D.(x,y)1x2,0yx12（1119）计算二重积分ydxdy，其中D是由曲线y2x，直线yx及y轴所围成的平D面闭区域．　1　1（1205）二次积分dyf(x,y)dx在极坐标系下可化为（）　0y　　sec　　secA.4df(cos,sin)dB.4df(cos,sin)d　00　00　　sec　　sec22C.df(cos,sin)dD.df(cos,sin)d　0　044x（1220）计算二重积分ydxdy，其中D是由曲线yx1，直线y及x轴所围成的平面D2闭区域．2（1320）计算二重积分xdxdy，其中D是由曲线y4x（x0）与三条直线yx，x3，Dy0所围成的平面闭区域．六、无穷级数（一）数项级数3（0506）正项级数（1）un、（2）un，则下列说法正确的是（）n1n1A.若（1）发散、则（2）必发散B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不确定D.（1）、（2）敛散性相同（0605）设un为正项级数，如下说法正确的是（）n1un1A.若limun0，则un必收敛B.若liml(0l)，则un必收敛n0nn1unn12nC.若un收敛，则un必定收敛D.若(1)un收敛，则un必定收敛n1n1n1n1（0706）下列级数收敛的是（）2nn1(1)n(1)nA.2B.C.D.n1nn1n1n1nn1nn（0906）设为非零常数，则数项级数（）2n1nA.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性与有关（1004）下列级数收敛的是（）n2n2n11(1)nA.B.2C.D.nn1n1n1nnn1nn12（1206）下列级数中条件收敛的是（）nnnnnn3(1)(1)A.(1)B.(1)C.2D.n12n1n12n1nn1n（1305）下列级数中收敛的是（）nn1nn!nA.2B.C.nD.nn1nn1n1n12n13（二）幂级数(x1)n（0412）幂级数的收敛区间为．nn121（0420）把函数f(x)展开为x2的幂级数，并写出它的收敛区间．x2n（0512）幂级数(2n1)x的收敛区间为．n12x（0519）把函数f(x)2展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间．2xx（0618）将函数f(x)xln(1x)展开为x的幂函数（指出收敛区间）．xn（0812）幂函数的收敛域为．nn1n2na1（0911）若幂函数n（）的收敛半径为，则常数a．2xa0n1n2(1)n（1012）幂级数xn的收敛域为．n0n1n（1106）若f(x)的幂级数展开式为f(x)anx（2x2），则系数an()2xn0nn11(1)(1)A.B.C.nD.n12n2n122xn（1112）幂级数的收敛域为___________．n0n1n(1)（1212）幂级数n的收敛域为____________．n(x3)n1n32n（1312）幂级数xn的收敛域为．n1n七、常微分方程（一）一阶微分方程'x（0520）求微分方程0xyye满足yx1e的特解．22（0617）求微分方程xyxyy的通解．2（0718）求微分方程xyy2007x满足初始条件yx12008的特解．2（0820）求微分方程xy2yx的通解．2（0912）微分方程(1x)ydx(2y)xdy0的通解为．dyxy（1311）微分方程的通解为．dxx（二）二阶线性微分方程2x（0406）微分方程y3y2yxe的特解y的形式应为（）2x2x22x2xA.AxeB.(AxB)eC.AxeD.x(AxB)e2x3x（0712）设yC1eC2e为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为．（0806）微分方程y3y2y1的通解为（）x2xx2x1A.yc1ec2e1B.yc1ec2e2x2xx2x1C.yc1ec2e1D.yc1ec2e2（0920）求微分方程yyx的通解．x2x（1020）已知函数ye和ye是二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的两个解，试x确定常数p、q的值，并求微分方程ypyqye的通解．x（1120）已知函数y(x1)e是一阶线性微分方程y2yf(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y3y2yf(x)的通解．x（1219）已知函数f(x)的一个原函数为xe，求微分方程y4y4yf(x)的通解．dy（1319）已知函数yf(x)是一阶微分方程y满足初始条件y(0)1的特解，求二阶常系数dx非齐次线性微分方程y3y2yf(x)的通解．时间排序与参考答案2004年高等数学真题参考答案1、A．2、B．3、C．4、B．5、A．6、D．1x1yz2147、e．8、．9、n!．10、arcsinxC．42341y22y11、dyf(x,y)dxdyf(x,y)dx．12、1,3．0010x13、解：间断点为xk（kZ），当x0时，limf(x)lim1，为可去间断点；x0x0sinxx当xk（k0，kZ）时，lim，为第二类间断点．x0sinxx(tantsint)dt0tanxsinx14、解：原式lim4lim3x03xx012x1xx2tanx(1cosx)21lim3lim3．x012xx012x24yy15、解：x0代入原方程得y(0)1，对原方程求导得y'exey'0，对上式求导并将x0、2y1代入，解得：y''2e．xx'xee(x1)e16、解：因为f(x)的一个原函数为，所以f(x)，xxx21111原式xf(2x)d(2x)xdf(2x)xf(2x)f(2x)dx22222x2x11x(2x1)eex12xxf(2x)f(2x)d(2x)2CeC．248x8x4xtx12tdtdt17、解：原式22arctant．1t(t21)1t2112z18、解：f1f2y；x2zf11(1)f12xf2yf21(1)f22xf11(xy)f12xyf22f2．xysiny1ysiny119、解：原式dxdydy2dx(1y)sinydy0y0Dyy11(y1)cosycosydy1sin1．00n1111n(x2)20、解：f(x)(1)(2x6)．x2n4x2414n044tx021、证：Ixf(sinx)dx(t)f[sin(t)]dt(t)f(sint)dt00f(sinx)dxxf(sinx)dxf(sinx)dxI000解得：Ixf(sinx)dxf(sinx)dx，原命题证毕．020sinxsinx2xdxdxarctan(cosx)．02021cosx21cosx20422、解：等式两边求导得xf(x)2xf(x)，即f(x)xf(x)2x，且x2(x)dxf(0)1，px，q2x，而ee2，x2x2x2由公式求得通解：f(x)e22xq2dxC2Ce2，x2将初始条件f(0)1代入通解，解得：C3，故f(x)23e2．23、解：设污水厂建在河岸离甲城x公里处，则22M(x)500x70040(50x)（0x50），12(x50)500由M5007000解得：x50（公里），2402(50x)26唯一驻点，即为所求．2005年高等数学真题参考答案1、A．2、C．3、D．4、A．5、A．6、C．7、2．8、e1．9、．10、5．21y111、dyf(x,y)dx．12、(1,1)．01y213、解：因为F(x)在x0处连续，所以limF(x)F(0)，x0f(x)2sinxf(x)f(0)'limF(x)limlim2f(0)28，x0x0xx0x解得：F(0)a，故a8．dy2dydtcostcosttsintdy(t)14、解：t，csct．dxdxsintdx2(cost)dt2积进去215、解：原式tanxtanxsecxdx(secx1)d(secx)1sec2xd(secx)d(secx)sec3xsecxC．3211xdx积进去11d(1x)16、解：原式xarctanx00201x421x2111ln1x2ln2．420422zz17、解：cosxf1，cosxf122y2ycosxf12．xxy18、解：直线L的方向向量s5,2,1，过点B4,3,0，AB1,4,2；ijk所求平面的法向量nsAB5218,9,22，点法式为1428(x3)9(y1)22(z2)0，即8x9y22z59．2222nx11x1x1x(1)n19、解：f(x)n11x，32x1x6x31x3n0212收敛域为：1x1．xx11e1edx120、解：yy，即p，q，而ex；xxxxx1exexC故通解为yxdxC．xxxex把初始条件ye解得：C0；故所求特解为：y．x1x321、证：令f(x)x3x1，x1,1，且f(1)30，f(1)10，f(1)f(1)0；由连续函数零点定理知：f(x)在(1,1)内至少有一实根；22对于x1,1恒有f(x)3x33x10，即f(x)在(1,1)内单调递减，3故方程x3x10在1,1上有且仅有一根；原命题获证．22、解：设所求函数为yf(x)，则有f(2)4，f(2)3，f(2)0；由f(x)6xa和f(2)0解得：a12，即f(x)6x12，2故f(x)3x12xC1，由f(2)3解得：C19，32故yx6x9xC2，由f(2)4解得：C22；32所求函数为：yx6x9x2．y11y2x1213123、解：（1）Sydyy；（如图1所示）102660S112222（2）Vx12xdxxx．004O1x24、解：积分区域D为：1yu，yxu；图1uxu（1）F(u)f(x)ddxf(x)dy(x1)f(x)dx；111D（2）F(u)(u1)f(u)，F(2)(21)f(2)f(2)1．2006年高等数学真题参考答案1、C．2、B．3、C．4、C．5、C．6、A．xy7、2．8、f(x0)．9、1．10、1．11、e(ysinxcosx)．12、1．41x33213、解：原式lim1．x113x221dy11222dxdyyt1ttdy21t14、解：，2．dxxt2t2dxxt2t4t21t21t3215、解：原式1lnxd(1lnx)(1lnx)2C．3积进去22216、解：原式2xd(sinx)xsinx222sinxdx0002导出来积进去x2sinx222xsinxdx22xd(cosx)0040222xcosx222cosxdx2．40042yydyy17、解：方程变形为y，即得到了形如f齐次方程；xxdxxydydudu11令2u，则ux，代入得：xu，分离变量得：2dudx；xdxdxdxux111x两边积分，得：dudx，lnxC，故y．u2xulnxC1nn18、解：令g(x)ln(1x)，则g(0)0；由于g(x)(1)x（x1,1），1xn0xn(1)n1所以g(x)g(t)dtx（x1,1），故0n0n1n(1)n2f(x)x，收敛域为：1x1．n0n119、解：由题意知：n11,1,1，n24,3,1；ijksn1n23112i3jk2,3,1，431x3y1z2故所求直线方程的对称式方程为：．2312z2z'2'''''3''2''20、解：xf2，2xf2x(f212xf22y)2xf22xf21xyf22．xyx3221、证：令f(x)3xx，x2,2，由f(x)33x0解得驻点：x1，比较以下函数值的大小：f(1)2，f(1)2，f(2)2，f(2)2；3所以fmin2，fmax2，故2f(x)2，即3xx2，原命题获证．x22、解：y(0)0，y2xy，通解为：y(2x2)Ce；x将y(0)0代入通解解得：C2，故所求特解为：y2x22e．2226423、解：（1）S8xxdx；234282（2）Vyydy8ydy16．04ttttf(x)dxt024、解：f(x)dxdydxf(x)dytf(x)dx，g(t)0；000Dtat0t（1）limg(t)limf(x)dx0，由g(t)的连续性可知：t0t00ag(0)limg(t)0；t0（2）当t0时，g(t)f(t)，hf(x)dxg(h)g(0)0当t0时，g(0)limlimlimf(h)f(0)；h0hh0hh0综上，g(t)f(t)．2007年高等数学真题参考答案1、B．2、C．3、C．4、A．5、D．6、D．31x7、ln2．8、1．9、2．10、．11、dx2dy．12、y''5y'6y0．2yyexx1exx1ex1ex1．13、解：limlim2limlimx0xtanxx0xx02xx02214、解：当x0时，y0；xxyxydyey在方程eexy两边对x求导得：eey'yxy'，故y'；dxeyxdy将x0，y0代入解得：yx01．dxx0xyxy2y在方程eey'yxy'两边再次对x求导得：eey'ey2yxy2dy将x0，y0，yx01代入解得：2yx02．dxx0积进去2x2xx215、解：原式xdexeedx导出来x2ex2xexdx积进去2xx2xxxxe2xdexe2xe2eC．216、解：令xsint，则dxcostdt；当x时，t；当x1时，t；2422换元cost原式222222．2dtcottdtcsct1dtcottt14sint4444z''17、解：2f1yf2，x2z''''''''''''''''2f113f12xf2yf213f22x6f11(2x3y)f12xyf22f2．xy1118、解：原方程可转化为：yy2007x，相应的齐次方程yy0的通解为：yCx；xx设原方程的通解为：yC(x)x，将其代入方程得：C(x)xC(x)C(x)2007x，所以C(x)2007，从而C(x)2007xC，故原方程的通解为y(2007xC)x；又y(1)2008，所以C1，于是所求特解为：y(2007x1)x．19、解：由题意知：s11,1,1，s22,1,1；所求平面的法向量为：ijkns1s21112,1,3，211故所求平面方程为2(x1)(y2)3(x3)0，即2xy3z50．2cos2222831620、解：xydxdyrdrd2drdr2cosd.000DD39122821、解：（1）Vx1xdx；01511a1（2）由题意知：(1y)2dy(1y)2dy，即0a13313(1a)21(1a)2，解得：a1．4222、解：f(x)3ax2bxc，f(x)6ax2b；由题意得f(1)0、f(1)0、f(1)2，即得方程组：3a2bc06a2b0，解得：a1、b3、c9．abc92aybaxb23、证：积分区域D：，又可表示成D：；yxbayx2xybx2xyb2xx2y左边f(x)edxdydxf(x)edyf(x)edxedyaaaaDbbf(x)e2xexeadxe3xe2xaf(x)dx右边，原命题获证．aax124、证：令F(x)lnx，显然，F(x)在0,上连续；x1x21由于F(x)20，故F(x)在0,上单调递增，于是x(x1)x12当0x1时：F(x)F(1)0，即lnx，又x10，x122故(x1)lnx(x1)；x12当x1时：F(x)F(1)0，即lnx，又x10，x122故(x1)lnx(x1)；22综上所述，当x0时，总有(x1)lnx(x1)，原命题获证．2008年高等数学真题参考答案1、B．2、A．3、D．4、C．5、A．6、B．17、0．8、3．9、（2，17）．10、cosxxc．11、．12、2,2．23x2(2)36113、解：原式lim1ee．xxe6dyy(t)sintd2yy(t)x(t)y(t)x(t)114、解：；232．dxx(t)1costdxx(t)(1cost)3x1d(x1)215、解：原式dxxx1dxlnx1x1x132xxxlnx1C．32令xt1ttt116、解：原式e2tdt2tee2．0017、解：由题意知：AB2，，30，AC2,0,5，则法向量为：ijknABAC23015,10,6，即知sn15,10,6；205x1y2z1所求直线的对称式方程为：．15106zy18、解：f12f2；xx2z1y111yyf11＋f12－2f21f22f11f12－2f22f213f22．xy2xxxxxx1121x21242223xx719、解：原式dxxdydxxxdyxdxxdx．001001402142dx2dy2x220、解：将原方程xy2yx化简为：yx，而ex；dxx212根据公式得到原方程的通解：yxx2dxCx(lnxC)．x1121、解：令F(x,y)y，那么x和y的偏导分别为Fx(x0,y0)2，Fy(x0,y0)1，xx0xx0yy0所以过曲线上任一点(x0,y0)的切线方程为：20；x011当x0时，y轴上的纵截距为：by0，x02当y0时，x轴上的横截距为：ax0y0x0；12111两截距之和：aby0x0y0x0x0x02x0x0x0x0x02112x024，（当且仅当x0=0时等号成立）x0x0故在点1,1处的切线在两坐标轴上的截距之和最小，其最小值为4．151443x322、解：（1）V4xxdx；x0505a1（2）由题意得到等式：2x2x2dx2x2x2dx，0a311解得：a，即a．23223、证：令g(x)f(xa)f(x)，那么g(a)f(2a)f(a)，g(0)f(a)f(0)；由于g(a)g(0)0，并且g(x)在0，a上连续，故存在(0，a)，使得g()0，即f()f(a)，原命题获证．xx11224、证：将e用泰勒公式展开得到：e1xx（x）1!2!11代入不等式左边：(1x)ex1x1xx21!2!12131xx1，原命题获证．232009年高等数学真题参考答案1、A．2、B．3、C．4、B．5、D．6、C．22xz7、ln2．8、4xe．9、．10、．11、2．32xzy1212、lnxx2lnyyC．2322x3x3x13、解：limlimlim26．x0xsinxx01cosxx0x2dtdy(2t2)dt214、解：dx，dy(2t2)dt，2(t1)，1tdxdt1tdy2ddydx4(t1)dt224(t1)．dxdxdt1t2x1t积进去15、解：原式sinttdttd(cost)tcostcostdttcostsintC还原2x1cos2x1sin2x1C．16、解：令x2sint，则dx2costdt；当x0，t0；当x1，t；42换元2sint141原式42costdt4(1cos2t)dttsin2t．002cost204217、解：已知直线的方向向量为s3,2,1，平面的法向量为n01,1,1；根据题意知：点(0,1,2)在所求平面上，该平面的法向量为：ijknsn03211,2,1；111故所求平面方程为(x1)(2)(y1)(z2)0，即x2yz0．2cos2218、解：ydrsindrd2sindrdr2DD421212(8csc22sin)d8cot22cos2．34342zz19、解：f1cosxf2y；f2xcosxf12xyf22．xxy2dx2dy2yx220、解：原方程xy2yx可化简为x，而ex；dxx212根据公式求得通解：yxx2dxCxlnxC．x221、解：（1）函数f(x)的定义域为R，f(x)3x3，由f(x)0解得驻点：x1；函数f(x)的单调递增区间为(,1)和(1,)，单调递减区间为(1,1)；极大值为f(1)3，极小值为f(1)1．（2）f(x)6x，由f(x)0解得：x0，曲线yf(x)在(,0)上是凸的，在(0,)上是凹的，拐点坐标为(0,1)．（3）计算函数值：f(1)3，f(1)1，f(3)19，通过比较知：函数f(x)在闭区间[2,3]上有ymaxf(3)19，yminf(1)f(2)1．22a22222424522、解：（1）V1a2axdya；V22xdy32a．0a5a22232233（2）A12xdxa，A22xdx8a，由A1A2解得：a4．03a3x23、证：（1）因为limf(x)lime1，limf(x)lim(x1)1，且f(0)1，所以x0x0x0x0函数f(x)在x0处连续．xf(x)f(0)e1f(x)f(0)x11（2）limlim1，limlim1，x0x0x0xx0x0x0x即f(0)f(0)，所以函数f(x)在x0处不可导．原命题获证．2442x24、证：令f(x)4xlnxx2x3，则f(x)4lnx2x2，f(x)2，xx当1x2时，f(x)0，f(x)在(1,2)内单调递增，当1x2时，f(x)f(1)0，f(x)在(1,2)上单调增加；2当1x2时，f(x)f(1)0，即4xlnxx2x3；原命题获证．2010年高等数学真题参考答案1、A．2、C．3、B．4、D．5、D．6、C．27、e．8、2．9、．10、4．11、dx2dy．12、(1,1]．2xtanxxtanx1sec2xtan2x113、解：原式lim2lim3lim2lim2．x0xtanxx0xx03xx03x3xyxyxy2e9e14、解：ye(1y)2，y；y．xyxy31e1e222积进去xxx15、解：原式arctanxdarctanxdarctanx2222222导出来x1xx11x1arctanx2dxarctanx2dx221x221x1211xarctanxxarctanxC．222t21333322x1t2t51352816、解：原式tdtdttt．11t22621317、解：由题意知：s11,2,3，n2,0,1，所求直线过点1,1,1且方向向量为：ijkss1n1232,7,4；201x1y1z1故所求直线方程为：．2742z2xz2x32x18、解：yyf1ef2；3yf1＋2eyf2xyf22xyef12．xxy21y2219、解：xdxdy0dyxdx．0yD62x2x20、解：对应的特征方程为rr20，特征根为r11,r22，则yC1eC2e；x由于p1，q2；1是特征方程的单根，可设特解为：yxb0e，xxxx1yb0eb0xe，y2b0eb0xe，代入原方程解得：b0；3x2x1故原微分方程的通解为：yC1eC2ex．3x112121、证：设f(x)ex，则22x1x1f(x)ex，f(x)e10，f(x)在(1,)内单调递增，f(x)f(1)0，f(x)也在(1,)内单调递增；x1121f(x)f(1)0，即ex；原命题获证．22(x)(x)(0)'22、证：limf(x)limlim(0)1f(0)，则f(x)在x0处连续；x0x0xx0x0(x)1f(x)f(0)(x)x(x)1f(0)limlimxlimlimx0x0x0xx0x2x02x1(x)(0)1lim(0)，则f(x)在x0处可导；原命题获证．2x0x02a22224523、解：V1(a)axdxa，05122221445V2(a)xadxaa；a551485V(a)V1(a)V2(a)aa．55431由V(a)8a4a0解得：a，唯一驻点，即为所求；2113故当a时，V(a)取得最小值为：VminV．2216dxxxxxxx24、解：由于ee，所以求得通解：f(x)e2eedxCeCe；xx又f(0)2代入通解得：C1，即得特解：f(x)ee；xx2xxxf(x)eee12f(x)ee，y1，f(x)exexe2x1e2x1t2t2dxA(t)11dx0e2x10e2x12x2x2xte1eted(2x)1d(2x)0e2x10e2x1t12x2t2t2xd(e1)2tlne1ln20e12t2t2telnelne