(完整版)数值分析复习题及答案

数值分析复习题3.通过点乂0，%Xi,yi的拉格朗日插值基函数10X,hX满足(、选择题1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.A.4和3B.3和2C.3和4D.4和42121fxdx1f1Af()f(2)2.已知求积公式636，则A=()1112A.6B.3c.2D.3A.1oXo=0,11X-!0B.1。X。=0,11X1C.1oXo=1,11为1D.10X0=111X11fx4.设求方程0的根的牛顿法收敛，则它具有（)敛速。A.超线性B.平方C.线性D.三次x-!2x2x05.用列主元消元法解线性方程组X2X322x12x23x3x3x222x21.5x33.5作第一次消元后得到的第3个方程（C.2x2X33DX20.5X31.5二、填空1.设x2.3149541...,取5位有效数字，则所得的近似值x=2•设一阶差商X1，X2fX2fN14x2x121X2，X3X3X2则二阶差商Xl,X2,X3则二阶差商Xl,X2,X33.设X(2,3,1)T,则I|X||2||XII4.2求方程X1-250的近似根，用迭代公式x「X1-25，取初始值沧1，那么X15.解初始值问题y'f(x,y)yX)yo近似解的梯形公式是Yk16、，贝UA的谱半径7、设f(X)3x25,xkkh,k0,1,2,…，，则fXn,Xn1,Xn29、xn，Xi1,xn2,Xn3若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都解常微分方程初值问题的欧拉(Euler)方法的局部截断误差为y10—10、为了使计算X123(xJ?(x的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写11.设X(2,3,4)t，则IIXI1I|X||212•—阶均差fX),X113.已知n3时，科茨系数3C。13C183C238，那么C3314.因为方程2X0在区间1,2上满足，所以X0在区间内有根。15.取步长h0-1，用欧拉法解初值问题的16•设X2-40315是真值x2-40194的近似值,位有效数字。17.对f(x)X3X1,差商f[0,1,2,3]()。18•设X(2,3,7)T,则||X|119•牛顿一柯特斯求积公式的系数和nCkn)k020.若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有()位有效数字21.Io(x),l1(x),,ln(x)是以0,1,nili(x)-n为插值节点的Lagrange插值基函数，则i。().22.设f(x)可微，则求方程xf(x)的牛顿迭代格式是().23.迭代公式x(k°BX(k)f收敛的充要条件是v(k1)24.解线性方程组Ax=b(其中A非奇异，b不为0)的迭代格式x9x1x28组x15x24，解此方程组的雅可比迭代格式为(Bx(k))°f中的B称为().给定方程0,1,2Ln)；25、数值计算中主要研究的误差有和26、设lj(x)(j0,1,2Ln)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则lj(xi)(i，jnlj(x)j027、设lj(x)(j0,1,2Ln)是区间[a，b]上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为nA，AjTOC\o"1-5"\h\z型求积公式中求积系数j；且j0°28、辛普生求积公式具有—次代数精度，其余项表达式为°229、f(x)x1,则f[1,2,3],f[123,4]°设x*=1.234是真值x=1.23445的近似值，则x*有位有效数字。31设f(x)X3x1,则差商(均差)f[0,1,2,3],f[0,1,2,3,4]32•求方程Xf(X)根的牛顿迭代格式是。A33.已知1234则A¥。34.方程求根的二分法的局限性是三、计算题f(x)1•设32x,X0j1,x2试求fX在44上的三次Hermite插值多项式x使满足H(Xj)f(Xj),jO,1,2，...H'(X1)f*),x以升幕形式给出。写出余项R(x)f(x)H(x)的表达式2.已知工二呦的创㈤满足杖⑴-31<],试问如何利用0°)构造一个收敛的简单迭代函数0,1…收敛?3.推导常微分方程的初值问题y'f(x,y)yd。)y°的数值解公式:'''yn1yn1-(yn14yn『n1)(提示：利用Simpson求积公式。)x12x23x3142x15x22x3184.利用矩阵的1012y1x2的一组数据：10.5C.2LU分解法解方程组3X1X25X3205.已知函数的近似值.求分段线性插值函数，并计算f1.5⑵写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解yi，y2,保留两位小数。6.已知线性方程组X010X-IXiXiHYPERLINK\l"bookmark6"x22x37.210x22x38.3x25x34.2(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；(2)于初始值0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯—塞德尔迭代公式分别计算1X(保留小数点后五位数字)7.用牛顿法求方程X’3x10在1,2之间的近似根(1)请指出为什么初值应取2?(2)请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.8.写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分1丄dx01X9•用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin0.34的值。插值节点和相应的函数值是(0,0),(0.30,0.2955),(0.40,0.3894)。10.用二分法求方程f(x)x0在[1.0,1.5]区间内的一个根，误差限102。11.用高斯-塞德尔方法解方程组4x12x2X311X14x22X3182x1X25x322v(0)，取X(0,0,0)T,迭代三次(要求按五位有效数字计算).。12求系数人，人2和A,使求积公式f(x)dxA1f(1)1—1)Af(牛)对于次数2的一切多项式都精确成立13.14.数精度.3x12x210x31510x14x2X352X110X24X38试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由11f(x)dxAf(0.5)Bf(xJ()的待定参数，使其代数精度尽量高,y3x2y对方程组确定求积公式并确定其代.(1)写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式;15.设初值问题y(o)1X116.取节点X。°，Xi0.5,X21，求函数yex在区间［0,1］上的二次插值多项式p2（x），并估计误差。17、已知函数yf（X）的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式F3（X），并计算吩）的近似值。yyx1,18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h°-1，y（0）1.X(0,0.6)。19.确定求积公式hhf(x)dxAf(h)Af(0)AJ(h)o301230123n13927中待定参数A的值（i°」,2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度20、已知一组试验数据如下兀12345X445688.52x-i3x24X36,3x-i5x22x35,求它的拟合曲线（直线）。用列主元消去法解线性方程组4为3x230x332.22.已知0-I245-2457（1）用拉格朗日插法求f（x）的三次插值多项式；（2）求X,使f（x）0确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度f才㈤dw期（-h）+琢気）211.41.8222.60.3310,4730.2?70.2240.16S下:计算三次，保留五位小数。29、已知数据如用牛顿(切线)法求、3的近似值。取xo=1.7.1+4Za'I号=824、用Gauss消去法求解下列方程组11f(x)—[f(.试求x1'x2使求积公式131)2f(xJ3仏)]的代数精度尽量高，并求其代数精度。.取步长h=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题2x5yy(i)1y'(1x2)12x118%3x23x2.用列主元消去法求解方程组儿X2X33x3153x3615并求出系数矩阵A的行列式detA的值.1求形如yabx拟合函数。30、用二次拉格朗日插值多项式L2(x)计算sin°.34。插值节点和相应的函数值如下表。000.300.40X=0.0029550.389431、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长h0.2yyx,y(0)1.x(0,0.8)o32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其TOC\o"1-5"\h\z302HYPERLINK\l"bookmark142"A021212简述题：叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么?数值分析复习题答案、选择题1.A2.D3.D4.C5.BfN,X2,X3fX2,X3fX1,X2二、填空1、2.31502、X3X1hyk2fXk,ykXk1,yk16、(A).67、Xn,Xn1,Xn1014.21.22.26.1,i0,i4；31、110、15.2(x1)(x1)11.1123,f3、6和yky。yk1.10.120.1k,k0,1,2L16、3；17、Xn1XnXnf(Xn)1f(Xn).23.(B)1；24、.迭代矩阵,J,1；27.至少是balk(x)dxa，b-a；28.30；32、Xn1f(Xn)f'(Xn)33、■144、1.5Xn,Xn1,Xn2,Xn3fX0fX112.8、X0X118、7;19、13.820.3;kX1kX2i(8i(4x2k))X(k));25.相对误差绝对误差ba(b180(T4f(4)(),(a,b)；29.10；30、7,6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。二、计算题1.解：(1)Rx(2)丄4!1652(X14322526322331xx450450251294)(x1)2(x丁),19(x)(-,7)442.解：由X(X)，可得X3Xx(x)3x1-((x)3x)(x)2'1'因(x)-((x)3)，故'(X)1(X)-3-1222数值积分方法构造该数值解公式：对方程f(x)在区间人1,Xn1上积分,Xn1y(Xn1)得y(Xnl)Xn1f(x,y(x))dx，记步长为h,对积分沧1f(x,y(x))dx冷1用Simpson求积公式得Xn1f(x,y(x))dxXn12h石f(Xn1)4f(Xn)f(Xni)h'3(yn14ynyn1)所以得数值解公式:yn1ynh''1-(yn14ynym)4•解ALU424令Lyb得y(14,10,72)t,Uxy得x(1,2,3)t.5.解X0,1%XX00.51010.5xx1,2%X0.50.20.3x0.8所以分段线性插值函数为%X10.5xx0,10.80.3xx1,2%1.50.80.31.50.356.解：原方程组同解变形为X0.1x20.2X30.72X20.1x10.2x30.83X30.2x10.2x20.84雅可比迭代公式为m1X0.1x2m0.2x3m0.72m1X20.1x1m0.2x3m0.83m1mmX30.2x10.2x2咼斯—塞德尔迭代法公式0.84(m0,1...)m1X0.1x2m0.2x3m0.72m1X20.1x1m10.2x3m0.83m1X30.2x1m10.2x2m10.84(m0,1...)111]4251111]4251用雅可比迭代公式得0.72000,0.83000,0.84000用高斯-塞德尔迭代公式得1X0.72000,0.90200,1.164407.解：fX3xfx3x212x240，故取X2作初始值迭代公式为XnXn1Xn1Xn3Xn1Xn13xn12~3Xn1X12xn\13Xn11)n1,2,…X023332211.8888921.888893:1.888892X3方程的根1.879450.009440.00011.87945311.8794521.87939X3X20.000060.00011.879398.解梯形公式dx应用梯形公式得011dXX112[10dX辛卜生公式为应用辛卜生公式得0「dX0.75116[10111]363!(xn)(xX2)f(xx°)(xX2)f0L2(x)(X0N)(X0=0.333336X2)f1(X1X°)(X1X2)(X2(XXo)(XXi)f2X0)(X2X1)10.用二分法求方程f(x)x3X10在[1.0,1.5]区间内的一个根，误差限10217oXi1.25X4X21.34375x51.3751.328125x31.3125x61.320312511.解迭代公式X1(k1)^(1142x2k)x3k))x2k1)1(184x；k1}2x3k))x3k1)扣22x1k1}x2kA19A2A3解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x14x2x352x110x24x383x12x210x315故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为)5k盘'000012,753.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59573.183912.解:4x2k)x3k)5)4x3k)8)x3k1)丄(3才°2x2k1)15)10取x(°)(0,0,0)T,经7步迭代可得：x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T4.解假设公式对f(x)1,x,x2,x3精确成立则有ABC20.5ABx10.5C00.25ABx20.25C230.125ABx；0.125C0TOC\o"1-5"\h\z2解此方程组得ACB-HYPERLINK\l"bookmark45"33求积公式为11f(x)dx[4f(0.5)2f(0)4f(0.5)],当f(x)x4时，HYPERLINK\l"bookmark140"13左边2右边1左边右边代数精度为3o615.解(1)yn1yn0.1(3Xn2yn)0.3Xn1.2yn⑵yn1yn=ynyn120.1(6x,32yn0.2(3Xn2yn)3(xn0.2)2yn迭达得n3严322yn2yn13403_401.575,y20.6)63400.23402.585解:P2(x)e0.50.51-(x00)0.5ee0.510.51+2(e1)x2(e12e0.5xMmaxx0,11,e10.511)x(x0.5)xP2(X)严』(x0)(x。5)fQx(x0.5)(x1)3!P2(x)1|x(x0.5)(x1)17、解：差商表2%/［心也］产［亦和1，无+?］f.心丙士1，坯+2•画+匸.a01113222D6233278d斗73由牛顿插值公式：43P3(x)N3(x)-x32x28-x1,33p3()2413()332122(2)813(2)1218、解:f(x,y)yx1,y。1,h0.1,yn1yn0.1(Xn1yn),(n0,1,2,3,L)yo1,yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;1.056100;1.090490;1.131441.TOC\o"1-5"\h\z14仃\42A'—h,A_h19.解：分别将f(X)1,x,x，代入求积公式，可得33令f(x)x?时求积公式成立，而f(x)x4时公式不成立，从而精度为3。5a15b3120、解:设yabx则可得15a55b105.5于是a2.45,b1.25即y2.451.25x。解：234643303243303235253525352543303223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/114330324x13x230x332,x13,011823811x282x338,X28,0012即X32.X32.22解.用反插值得TOC\o"1-5"\h\zXfi(y)(y4)(y5)(y7)2(y2)(y5)(y7)4(y2)(y4)(y7))(24)(25)(27)(42)(45)(47)(52)(54)(57)(y2)(y4)(y5)5(72)(74)(75)令y0得xf1(0)832解令f(x)1,x,x代入公式精确成立，得AB2hTOC\o"1-5"\h\zhABx10HYPERLINK\l"bookmark146"2223h2ABx：-h33；解得x1h,B331h,Ah22，得求积公式f(x)dxh)13f(3h)]30对f(x)x；hf(x)dx£[(h)33f13(1h)]4h故求积公式具有2次代数精确度。2捲3x212x：3迂124、解：本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。111—X1X2X3945611X2X34604513X315415故X3154153177.69x260(4丄45x3)476.9211X14(9X3X2)227.0865•解：由等式对f(x)hX'X'精确成立得:解此方程组得X1x216532、615又当f(x)x时左边右边此公式的代数精度为2.解：梯形法为yn1y0.2[(2Xn5yn)(2Xn15yn1)]迭代得y10.62667,y2y40.64840,y50.55566,ya0.58519,0.72280•解：先选列主元—183—1-151831150-15123315,717310-—1116消兀L6136J-183-1-15-183-1_15.71731n717310—6186IST722弘0-1-500—L3一;消兀L77J2行与1行交换得3行与2行交换2i1回代得解X33X22,X11;行列式得detA187_162266解:-3是f（x）X20的正根,f'(x)2x，牛顿迭代公式为Xn1Xn£32Xn取xo=1.7,n1231732351732051.73205即f(n0,1,2,...)XnXn1—已知数据如11.42.22.60.9310.4730.2970.2240.168列表如下:29、下:1abX拟合函数。解:a2.0535b3.02651—abx,令z1,则zyy555Xi9,x2i17.8,i1i1i1解此方程组得59917.8拟合曲线为abx5z16.971,zixi35.902iia16.971b35.390212.05353.0265x30、解：过点（x0,f0）,（x」1），区恙）的二次拉格朗日插值多项式为L2(x)-(x-xj(xx2)f(x10x°)(xX2)ff1(XX))(xx1)f(x0儿）（沧x2）(X1X°)(X1X2)(X2X0XX2X1)代值并计算得sin0.34L2(0.34)0.33：336031、解：Yn1ynh(ynxn),yn1ynh[(ynXn)(yn1Xn,J],(n0,1,2,3,L)y°1,yk1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.32、解:Bg0Bj010,lBj11121;即Jacob迭代收敛,642iBg|2（；；）0,得11（BG）121GaussSeide迭代法收敛。11又Q11胆,GaussSeidel迭代法收敛快一些。00011112\121112简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。2）要避免两近数相减;3）要防止误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等选择题(共30分，每小题3分)1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是()。(A)方法收敛性；(B)方法的稳定性；(C)方法的计算量；(D)方法的误差估计。2、已知方程x33-2x-5=0在区间［2,3］存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代()次可以保证误差不超过-103。2(A)5；(B)7；(C)10；(D)12。3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是()(A)调换方程位置；(B)选主元；(C直接求解；(D)化简方程组。4、设f(x)9x83x410，则f［20,21,22,23,24,25,26,27,28］和f［30,31,32,33,34,35,36,37,38,39］的值分别为(A)1,1；(B)9X8!,(C)9,0；(D)9,1。5、若用复化的辛浦生公式计算积分sinxdx,0问积分区间要()等分才能保证误差不超过2105?(A)10；(B)15；(C)20；(D)25。6、用一般迭代法x(k°Bx(k)求解方程组Ax=bW解，则当()时,迭代收敛。(A)方程组系数矩阵A对称正定;(B)方程组系数矩阵A严格对角占优;(C)迭代矩阵B严格对角占优;(D)迭代矩阵B的谱半径p(B)<1。7、在区间［0,1］上满足y(0)=1.5,y(1)=2.5的0次拟合多项式曲线是((A)y=2；(B)y=1.5；8、复相关系数的取值区间为：((C)y=2.5；(D)(A)0R1；(B)1R(C)(D)9、方差分析主要用于分析((A)自变量和因变量都是分类变量(B)自变量和因变量都是顺序变量(C)自变量和因变量都是数值变量(D)自变量是分类变量，因变量是数值变量10、方差分析中在由样本推断总体性质时,零假设是((A)各分类间方差相等(B)各分类间均值相等、填空题（共30分，每小题3分）TOC\o"1-5"\h\z1、数值计算中主要研究的误差有和。2、..x*的相对误差约是x*的相对误差的倍。3、方程求根的二分法的局限性是。4、求方程根的割线法的收敛阶为。5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为。6、若用高斯-赛德尔法解方程组X1ax24，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件是a应满足2ax证明

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