八、统计(一)随机抽样和用样本估计总体(学生)

差的意义和作用，会计算数据标准差．2．能从样本数据(shùjù)中提取根本(gēnběn)的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．3．会用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征，理解样本估计总体的思想．4．会用随机抽样的根本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．(二)小题查验1．判断正误(1)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数(　　)(2)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的(　　)(3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势(　　)(4)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√2．(人教A版教材习题改编)两位射击运发动在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677由此估计________的射击成绩更稳定．答案：乙3．(2021·南京一模)假如一组样本数据2,3,7,8，a的平均数为5，如此该组数据的方差s2＝________.解析：∵eq\f(2＋3＋7＋8＋a,5)＝5，∴a＝5.∴s2＝eq\f(1,5)[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5－5)2]＝eq\f(26,5)答案：eq\f(26,5)对应学生用书P154eq\a\vs4\al(考点一频率分布直方图)|(根底送分型考点——自主练透)[必备(bìbèi)知识]1．作频率分布(fēnbù)直方图的步骤(1)求极差(即一组数据(shùjù)中最大值与最小值的差)；(2)决定(juédìng)组距与组数；(3)将数据(shùjù)分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．2．频率分布直方图的性质(1)小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝eq\f(频率,组距)，所有小长方形的高的和为eq\f(1,组距).[提醒]利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心〞，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．[题组练透]1．(2021·湖北黄冈月考)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．假如要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，如此从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为(　　)A．2B．3C．4D．5解析：选B依题意可得10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.035)＝1，如此a＝0.03.所以身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生比例为3∶2∶1.所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为3.2．(2021·河南三市(sānshì)调研)在检验某产品(chǎnpǐn)直径尺寸的过程中，将某尺寸(chǐcun)分成假如(jiǎrú)干组，[a，b)是其中(qízhōng)的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图上的高为h，如此|a－b|等于(　　)A.eq\f(m,h)B.eq\f(h,m)C．mhD．与h，m无关解析：选A根据概率分布直方图的概念可知，|a－b|×h＝m，由此可知|a－b|＝eq\f(m,h).3．某地政府调查了工薪阶层1000人的月工资收入，并根据调查结果画出如下列图的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的1000人中抽出100人做询访，如此(30,35](百元)月工资收入段应抽出________人．解析：月工资收入落在(30,35](百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，如此0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30,35](百元)月工资收入段应抽出eq\f(3,20)×100＝15(人)．答案：15[类题通法]1．绘制频率分布直方图时需注意：(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；(2)频率分布直方图的纵坐标是eq\f(频率,组距)，而不是频率．2．由频率分布直方图进展相关计算时，需掌握如下关系式：(1)eq\f(频率,组距)×组距＝频率．(3)eq\f(频数,样本容量)＝频率，此关系式的变形为eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．eq\a\vs4\al(考点二茎叶图)|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．[提醒]茎叶图的绘制需注意：(1)“叶〞的位置只有(zhǐyǒu)一个数字，而“茎〞的位置的数字位数一般(yībān)不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏(yílòu)，特别是“叶〞的位置(wèizhi)上的数据．[典题例析]某学校随机(suíjī)抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如下列图，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(　　)01237　37　6　4　4　3　0　7　5　5　4　3　2　08　5　4　3　0　　　解析：选A由分组可知C，D一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人，∴第一、二小组频率一样，频率分布直方图中矩形的高应相等，可排除B.[类题通法]在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．[演练冲关](2021·广州调研)如图是2021年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为(　　)A．85,84B．84,85C．86,84D．84,867899　　　　　4　4　6　4　73　　　　　　解析：选A由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.∴平均数为eq\f(84＋84＋84＋86＋87,5)＝85，众数为84.eq\a\vs4\al(考点三样本的数字特征)|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．方差(fānɡchà)和标准差方差(fānɡchà)和标准差反映了数据波动程度的大小．方差(fānɡchà)：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2].)2．众数(zhònɡshù)：出现次数(cìshù)最多的数据；中位数：将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)；平均数：样本数据的算术平均数．[多角探明]在考查中，样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识交汇命题．常见的命题角度有：(1)样本的数字特征与直方图交汇；(2)样本的数字特征与茎叶图交汇；(3)样本的数字特征与优化决策问题.角度一：样本的数字特征与直方图交汇1．(2021·武汉调研)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如下列图，如此(　　)A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选C甲的平均数是eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，中位数是6，极差是4，方差是eq\f(－22＋－12＋02＋12＋22,5)＝2；乙的平均数是eq\f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6，中位数是5，极差是4，方差是eq\f(－12＋－12＋－12＋02＋32,5)＝eq\f(12,5)，应中选C.角度二：样本的数字特征与茎叶图交汇2．(2021·潍坊联考)某学校(xuéxiào)从高二甲、乙两个(liǎnɡɡè)班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得(qǔdé)的成绩(总分为(fēnwéi)100分)的茎叶图如图，其中(qízhōng)甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，如此x＋y的值为(　　)　　　甲乙　　　　9　75　0　x　　　17898　y　　1　1　0　2　　　　　A.6B．7C．8D．9解析：选D由众数的定义知x＝5，由乙班的平均分为81得eq\f(78＋70＋y＋81＋81＋80＋92,6)＝81，解得y＝4，故x＋y＝9.角度三：样本的数字特征与优化决策问题3．(2021·哈尔滨四校统考)甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击工程选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数eq\x\to(x)8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4从这四个人中选择一人参加该运动会射击工程比赛，最优人选是(　　)A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选C由题目中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成绩好，选C.[类题通法]1．用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，需先计算数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)分析稳定情况．2．假如给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小比拟方差(标准差)的大小．对应B本课时跟踪检测〔六十〕一、选择题1．(2021·辽宁五校联考)对于(duìyú)一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们(tāmen)改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中(qízhōng)C≠0，如此(rúcǐ)如下(rúxià)结论正确的答案是(　　)A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化解析：选B由平均数的定义，可知每个个体增加C，如此平均数也增加C，方差不变，应中选B.2.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下列图，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，如此图中a的值为(　　)A．0.006B．0.005C．0.0045D．0.0025解析：选B由题意知，a＝eq\f(1－0.02＋0.03＋0.04×10,2×10)＝0.005.3．如图是Ⅰ，Ⅱ两组各7名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图．设Ⅰ，Ⅱ两组数据的平均数依次为eq\x\to(x)1和eq\x\to(x)2，标准差依次为s1和s2，那么(　　)　Ⅰ组Ⅱ组　3　6　7　8　　　　1　　　0　25674　6　8　0　1　　　2　3　　　A.eq\x\to(x)1>eq\x\to(x)2，s1>s2B.eq\x\to(x)1>eq\x\to(x)2，s1s2D.eq\x\to(x)1<eq\x\to(x)2，s1培训

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