高考数学数列放缩法技巧全总结

数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴及各级各类竞赛命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求的值;(2)求证:.nkk1214235112nkk解析:(1)因为,所以121121)12)(12(21422nnnnn122121114212nnnknk(2)因为,所以12112121444111222nnnnn35321121121513121112nnknk奇巧积累:(1)(2)1211212144441222nnnnn)1(1)1(1)1()1(21211nnnnnnnCCnn(3))2(111)1(1!11)!(!!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr(4)25)1(123112111)11(nnnn(5)(6)nnnn21121)12(21nnn221(7)(8))1(21)1(2nnnnnnnnnnnn2)32(12)12(1213211221(9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1(10)(11)!)1(1!1!)1(nnnn21212121222)1212(21nnnnnnn(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112nnnnnnnnnnnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123nnnnnnnnnnnn11112111111nnnnnnn(13)3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn(14)(15)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kkkkkk)2(1)1(1nnnnn(15)111)11)((1122222222jijijijijijiji例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222nnn(2)求证:nn412141361161412(3)求证:1122642)12(531642531423121nnn(4)求证：)112(2131211)11(2nnn解析:(1)因为,所以12112121)12)(12(1)12(12nnnnn)12131(211)12131(211)12(112nnini(2))111(41)1211(414136116141222nnn(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最1212642)12(531nnnnnn221后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到nnnnn12)1(21nn131211)11(2再证而由均值不等式知道这是显然成立的，21212121222)1212(21nnnnnnn所以)112(2131211nn例3.求证:35191411)12)(1(62nnnn解析:一方面:因为,所以12112121444111222nnnnn35321121121513121112nnknk另一方面:1111)1(143132111914112nnnnnn当时,,当时,,3n)12)(1(61nnnnn1n2191411)12)(1(6nnnn当时,,2n2191411)12)(1(6nnnn所以综上有35191411)12)(1(62nnnn例4.(2008年全国一卷)设数.数列满足..()lnfxxxxna101a1()nnafa设，整数.证明:.1(1)ba，11lnabkab≥1kab解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,na故若存在正整数,使,则,kmbambaakk1若,则由知,,)(kmbam101baam0lnlnln11baaaaammmkmmmkkkkaaaaaaa111lnln因为,于是)ln(ln11bakaakmmmbababakaak)(|ln|11111例5.已知,求证:.mmmmmnSxNmn321,1,,1)1()1(11mnmnSmn解析:首先可以证明:nxxn1)1(所以要证nkmmmmmmmmkknnnnn111111111])1([01)2()1()1(只要证:1)1()1(11mnmnSmnnkmmmmmmmmmnkmnkmmkknnnnnkmkk111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证,nkmmnkmnkmmkkkmkk1111111])1[()1(])1([即等价于,mmmmmkkkmkk111)1()1()1(即等价于而正是成立的,所以原命题成立.11)11(11,)11(11mmkkmkkm例6.已知,,求证:.nnna24nnnaaaT21223321nTTTT解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnnnnnnT所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111nnnnnnnnnnnnnnnnT12112123)12)(122(2231nnnnn从而231211217131311231321nnnTTTT例7.已知,,求证:11x),2(1),12(ZkknnZkknnxn*))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn证明:,nnnnnnxxnn222141141)12)(12(11424244122因为,所以12nnn)1(2122214122nnnnnxxnn所以*))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn二、函数放缩例8.求证：.)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn解析:先构造函数有,从而xxxxx11ln1ln)313121(1333ln44ln33ln22lnnnnncausennnn311212191817161514131213131216533323279189936365111nnnnn所以6653651333ln44ln33ln22lnnnnnnn例9.求证:(1))2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答xxxfln)(22lnlnnnnn)1(1111ln222nnnnn案函数构造形式:,1lnxx)2(1lnnn例10.求证:nnn1211)1ln(113121解析:提示:2ln1ln1ln1211ln)1ln(nnnnnnnnn函数构造形式:xxxx11ln,ln当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,xxf1)(首先:,从而,ninABCFxS1)ln(ln|ln11innxxinninnin取有,,1i)1ln(ln1nnn所以有,,…,,,相加后可以得到:2ln212ln3ln31)1ln(ln1nnnnnnln)1ln(11)1ln(113121nn另一方面,从而有ninABDExS1)ln(ln|ln11innxxiinninnin取有,,1i)1ln(ln11nnn所以有,所以综上有nn1211)1ln(nnn1211)1ln(113121FEDCBAn-inyxO例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明en)!11()!311)(!211(en)311()8111)(911(2例12.求证:解析:,叠加之后就可32)]1(1[)321()211(nenn1)1(32]1)1(ln[nnnn以得到答案函数构造形式:(加强命题))0(13)1ln(1)0(132)1ln(xxxxxxx例13.证明:)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn解析:构造函数,求导,可以得到:)1(1)1()1ln()(xxxxf,令有,令有,12111)('xxxxf0)('xf21x0)('xf2x所以,所以,令有,0)2()(fxf2)1ln(xx12nx1ln22nn所以,所以211lnnnn)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn例14.已知证明.112111,(1).2nnnaaann2nae解析:,nnnnnannanna)21)1(11(21))1(11(1然后两边取自然对数,可以得到nnnannaln)21)1(11ln(ln1然后运用和裂项可以得到答案)xx)1ln(放缩思路：nnnanna)2111(21nnnannaln)2111ln(ln21。于是，nnnna211ln2nnnnnaa211lnln21.22112211)21(111lnln)211()ln(ln11211111nnniniiininnaaiiaa即.2lnln21eaaann注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探ln(1)xx0x索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：)2)(1(2nnnn)1(1))1(11(1nnannann)1)()1(11(11nnanna，.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1nnnnaann111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112naaiiaanniiini即.133ln1)1ln(2eeaann例16.(2008年福州市质检)已知函数若.ln)(xxxf).()(2ln)()(:,0,0bfbafbaafba证明解析:设函数()()(),(0)gxfxfkxk()ln,()ln()ln(),0.()ln1ln()1ln,2()0,10.2fxxxgxxxkxkxxxkgxxkxkxxxkkgxxkkxkx令则有∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总kkxg,2[)(在]2,0(k)(xg)2(kg有).2()(kgxg而,2ln)()2ln(ln2ln)2()2()2(kkfkkkkkkfkfkg,2ln)()(kkfxg即.2ln)()()(kkfxkfxf令则,,bxkax.bak.2ln)()()()(babafbfaf).()(2ln)()(bfbafbaaf例15.(2008年厦门市质检)已知函数是在上处处可导的函数,若)(xf),0()()('xfxfx在上恒成立.0x(I)求证：函数上是增函数；),0()()(在xxfxg(II)当；)()()(:,0,0212121xxfxfxfxx证明时(III)已知不等式时恒成立，01)1ln(xxxx且在求证：).()2)(1(2)1ln()1(14ln413ln312ln21*22222222Nnnnnnn解析:(I),所以函数上是增函数0)()(')('2xxfxxfxg),0()()(在xxfxg(II)因为上是增函数,所以),0()()(在xxfxg)()()()(212111212111xxfxxxxfxxxxfxxf)()()()(212122212122xxfxxxxfxxxxfxxf两式相加后可以得到)()()(2121xxfxfxf(3))()()()(212111212111nnnnxxxfxxxxxfxxxxxxfxxf……)()()()(212122212122nnnnxxxfxxxxxfxxxxxxfxxf)()()()(21212121nnnnnnnnxxxfxxxxxfxxxxxxfxxf相加后可以得到:)()()()(2121nnxxxfxfxfxf所以)ln()(lnlnlnln2121332211nnnnxxxxxxxxxxxxxx令,有2)1(1nxn22222222)1ln()1(14ln413ln312ln21nn2222222)1(13121ln)1(1413121nnnnn)1(1231121ln)1(13121222)2)(1(2212111nnnnn所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln413ln312ln21*22222222Nnnnnnn(方法二)21114ln)2)(1(4ln)2)(1()1ln()1()1ln(222nnnnnnnnn所以)2(24ln21214ln)1ln()1(14ln413ln312ln2122222222nnnnn又,所以1114lnn).()2)(1(2)1ln()1(14ln413ln312ln21*22222222Nnnnnnn三、分式放缩姐妹不等式:和)0,0(mabmambab)0,0(mbamambab记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例19.姐妹不等式:和也可以示12)1211()511)(311)(11(nn121)211()611)(411)(211(nn成为和12)12(5312642nnn1212642)12(531nnn解析:利用假分数的一个性质可得)0,0(mabmambab122563412nnnn212674523)12(212654321nnn即12)122563412(2nnn.12)1211()511)(311)(11(nn例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3nn解析:运用两次次分式放缩:(加1)1338956.232313784512nnnn(加2)nnnn31391067.342313784512相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122nnnnnnn所以有.13)2311()711)(411)(11(3nn四、分类放缩例21.求证:212131211nn解析:)21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(nnnnnnn例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编)在平面直角坐标系中,轴正半轴xoyy上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上nAxy2xnBnOBOAnn1nnBA的截距为.点的横坐标为,.nanBnbNn(1)证明>>4，;(2)证明有，使得对都有<.na1naNnNn00nnnnnnbbbbbbbb1123122008n解析:(1)依题设有：，由得：10,,,2,0nnnnnABbbbn1nOBn,又直线在轴上的截距为满足2*22112,11,nnnbbbnNnnnnABxna110200nnnabbnn12nnnbanb22221210,2nnnnnbnbbnb2212122241212nnnnnnnnnnbnbbabbnbnbnbnb221111221nann显然，对于，有1101nn*14,nnaanN(2)证明：设，则*11,nnnbcnNb22222222222222211111111111111111111112121112121111212121nnnncnnnnnnnnnnnnnnn2*1212210,,2nnnnncnNn设，则当时，*12,nnScccnN*221knkN23111111111113421234212212nkkkkS。212311112222222kkk所以，取，对都有：4009022n0nn2008214017111012312nnnnSSbbbbbb故有<成立。nnnnbbbbbbbb1123122008n例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数，若的定义域),1()(2Rcbcbxxxf)(xf为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和}{nb)()(*3Nnnnfbn}{nbn为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。nTnATn解析:首先求出,∵xxxf2)(2nnnnnnfbn12)(323∴,∵,,…nbbbbTnn1312113212141241312181481716151,故当时,,2121221221121111kkkkkkn212kTn因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，m则当时,必有.222mnAmmTn1222故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.ATn2n例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,nnxyyx3,0,0nD设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:nDnannnnaaaS2211112n.3611711112321naaaan解析:容易得到,所以,要证只要证,因为nan33611711112321naaaan1211721312112nSnn,所以原命题nnnnS21221121()81716151()4131(21111212117)1(12723211121222nnTTTn得证五、迭代放缩例25.已知,求证:当时,1,1411xxxxnnn2nnniix1122|2|解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论1212nnx例26.设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|0,b>0,求证：.12nnnba解析:因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列，设，ba,21,dbda21,21从而nnnnnddba122121例47.设，求证.Nnn,1)2)(1(8)32(nnn解析:观察的结构，注意到，展开得n)32(nn)211()23(，即，得证.86)2)(1(8)1(212121211)211(33221nnnnnCCCnnnn8)2)(1()211(nnn例48.求证:.nnn2ln)211ln(2ln3ln解析:参见上面的方法例42.(2008年北京海淀5月练习)已知函数，满足：**(),,yfxxyNN①对任意，都有；*,,ababN)()()()(abfbafbbfaaf②对任意都有.*nN[()]3ffnn（I）试证明：为上的单调增函数；)(xf*N（II）求；)28()6()1(fff（III）令，试证明：.*(3),nnafnN121111424nnnaaa≤解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.(1)运用抽象函数的性质判断单调性:因为,所以可以得到,)()()()(abfbafbbfaaf0)()()()(bfbaafba也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为0))()()((bfafbaba)()(bfaf)(xf*N上的单调增函数.(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!由(1)可知,令,则可以得到,又,0))()()((bfafba)1(,1fab0))1())1(()(1)((fffxf3))1((ff所以由不等式可以得到,又,所以可以得到①3)1(1f*)1(Nf2)1(f接下来要运用迭代的思想:因为,所以,,②2)1(f3)]1([)2(fff6)]2([)3(fff9)]3([)6(fff,,,18)]6([)9(fff27)]9([)18(fff54)]18([)27(fff81)]27([)54(fff在此比较有技巧的方法就是:,所以可以判断③275427548155)28(f当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.所以,综合①②③有=)28()6()1(fff662955(3)在解决的通项公式时也会遇到困难.}{na,所以数列的方程为,从nnnnnnnaafffffff3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([111*(3),nnafnNnna32而,一方面,另一方面所以)311(4111121nnaaa41)311(41n1222)21(31100nCCnnnn,所以,综上有.2412241)1211(41)311(41nnnnnn121111424nnnaaa≤例49.已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：①对于任意[0,1]，x总有，且；②若则有3fx14f12120,0,1,xxxx1212()3.fxxfxfx（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：fx≤4；（Ⅲ）当时，试证明：.111(,](1,2,3,)33nnxn()33fxx解析:（Ⅰ）解：令，由①对于任意[0,1]，总有，∴120xxx3fx(0)3f又由②得即∴(0)2(0)3,ff(0)3;f(0)3.f（Ⅱ）解：任取且设则12,[0,1],xx12,xx2121121()[()]()()3,fxfxxxfxfxx因为，所以，即∴.210xx21()3fxx21()30,fxx12()()fxfx∴当[0,1]时，.x()(1)4fxf（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：1111()3(*)33nnfnN（1）当n=1时，，不等式成立；0011()(1)413333ff（2）假设当n=k时，1111()3(*)33kkfkN由11111111()[()]()()33333333kkkkkkkffff111()()()6333kkkfff得111113()()69.333kkkff即当n=k+1时，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立.1111()333nnf于是，当时，，111(,](1,2,3,)33nnxn1111133333()333nnnxf而[0,1]，单调递增∴所以，xfx111()()33nnff11()()33.3nfxfx例50.已知：求证：121,0niaaaa)2,1(ni222211212231112nnnnnaaaaaaaaaaaa解析:构造对偶式：令1212132222121aaaaaaaaaaaaAnnnnn1211232232122aaaaaaaaaaaaBnnnn则＝12121221322322212221aaaaaaaaaaaaaaaaBAnnnnnnBAaaaaaaaannn,0)()()()(113221又（)(2122jijijiaaaaaa)2,1,nji12121221322322212221)(21)(21aaaaaaaaaaaaaaaaBAAnnnnnn21)()()()(41113221aaaaaaaannn十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小保号性是指，定义在上的可积函数，则.,ab0fx0bafxdx例51.求证：.ee解析:，∵，lnlneeeelnlnlnlneeexxdexx21lnexdxx时，，，∴，.,xe21ln0xx21ln0exdxxlnlneeee利用定积分估计和式的上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.例52.求证：，.111121123nn1,nnN解析:考虑函数在区间上的定积分.1fxx,1ii1,2,3,,in如图，显然-①11111iidxiix对求和，i11111nniiiidxix111ndxx.112nx211n例53.已知.求证：.,4nNn11117123210nnnn解析:考虑函数在区间上的定积分.11fxx1,iinn1,2,3,,in∵-②1ni111inn111inindxx∴.11nini1111niinn1111inniindxx11001ln11dxxx7ln210例54.（2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，0aaxyl:C2xy上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线C1Q1aaa10C1nQnxl于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于1nP1nPyC点.1nQ的横坐标构成数列.1,2,,nQnnna（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；1nanana（Ⅱ）当时，证明；21,11aankkkkaaa121321)(（Ⅲ）当时，证明.1a1211()3nkkkkaaa解析:（过程略）.121()nnaaaa证明（II）：由知，∵，∴.1a21nnaa112a2311,416aa∵当时，，1k23116kaa∴.1211111111()()()161632nnkkkkknkkaaaaaaa证明（Ⅲ）：由知.1a21kkaa∴恰表示阴影部分面积，21211()()kkkkkkaaaaaa显然④12211()kkakkkaaaaxdx∴.2121111()()nnkkkkkkkkaaaaaa121kknaakxdx120axdx311133a奇巧积累:将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：①；111iidxix21ii②；1ni111inindxx1ln1ln1iinn③；121sinsin1siniii1sin12sin11iiiidxx④.122331111()3kkakkkkkaaaaxdxaa十二、部分放缩(尾式放缩)例