四边形专题复习四边形

PAGE12PAGE1四边形专题复习四边形【重点内容】多边形的内角和与外角和2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定3．梯形的定义，等腰梯形的性质和判定，梯形中常用的辅助线4．平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线定理【考点指要】四边形所涉及的知识点均是考点，也是中考内容必涉及的热点，思维层次居中，是重点但不是难点。【典型例题】例1．如图1，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）A．4B．4C．4D．6：在处理四边形或多边形的边长、角度或面积问题时，常将不规则的图形通过“割”或“补”转化为特殊三角形或特殊四边形的问题加以解决。解：延长BA、CD交于点E，则易知△EBC是等腰直角三角形，从而S△EBC=EB·EC=6同理S△EDA=2，故S四边形ABCD=6－2=4.例2．如图2，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD=∠BAF。（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）△CEF的哪两边之和恰好等于ABCD的周长？证明你的结论。分析：（1）根据已知条件不难证明∠E=∠F，得△CEF是等腰三角形。（2）易探索出CE+CF等于ABCD的周长。证明：（1）由题意，得DA∥CF，AB∥CE，∴∠EAD=∠F，∠BAF=∠E。又∵∠EAD=∠BAF，∴∠E=∠F，故CE=CF。（2）∵∠EAD=∠BAF=∠F=∠E，∴DE=AD，FB=AB∴CE+CF=CD+AD+CB+AB，即CE+CF等于ABCD的周长。说明；中考中关于平行四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质定理是证明两条线平行、相等及两角相等的重要依据。例3如图3，ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）。分析：本题赋陈题于新意，是一道不唯一的开放性问题，它体现了分析问题的思维方法，为活学活用知识的训练起到了重要的导向作用。由题设条件可得出：△APB是直角三角形．证明如下：在ABCD中，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°又∵AQ、BN分别平分∠BAD，∠ABC，∴∠BAP+∠ABP=90°，即∠APB=90°故△APB是直角三角形。事实上，由题设条件还可得出△BPA≌△DMC，四边形PQMN是矩形等结论。说明：解此类问题要审清题意：（1）不增加任何条件；（2）推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件，否则算错。例4．如图4，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。（1）求AM、DM的长；（2）求证；AM2=AD·DM分析：（1）在Rt△PAD中，利用勾股定理可以计算出PD==PF，AM=AF=PF－AP=－1，DM=AD－AM=2－（－1）=3－（2）利用代数方法证明等积式，分别计算等式左、右两边。解（1）∵正方形ABCD的边长为2，P是AB中点，∴AB=AD=2，AP=1，∠BAD=90°∴PD=又∵PF=PD，∴AF=－1在正方形AMEF中，AM=AF=－1，MD=AD－AM=3－证明（2）：由（1）得，AD·DM=2（3－）=6－2，AM2=（－1）2=6－2∴AM2=AD·DM说明：代数计算也是证明几何问题的方法之一，不要忽视。例5如图5，四边形ABCD是正方形，四边形ACEF为菱形，E在FB上，求∠ECB的度数。分析：欲求∠ECB，须求∠ECA，而求角的度数应对图中线段作数量上的分析，连结BD交AC于O，过E作EGAC于G，则易探寻出EG与BD（即CE）之间的特殊关系。解：连结BD，设它与AC交于点O。过E作EGAC于G。∵四边形ABCD是正方形。∴BDAC，∴EG∥BO又∵四边形ACEF是菱形，∴FE∥AC∴四边形EBOG是平行四边形，∴EG=BO=BD=AC=EC。在Rt△CEG中，由EG=EC，得∠ECG=30°又∵∠ACB=45°，∴∠ECB=45°－30°=15°。说明：探究出EG=EC是解决本题的关键所在。例6．如图6，ABCD是梯形，AB∥CD，AC=BC，且ACBC，BD=BA，求∠DAC的度数。分析：欲求∠DAC，应先求出∠DAB，但题设条件只有BD=DA，于是想到梯形中常用的辅助线——高，可转化为先求∠ABD，从而问题迎刃而解。解：分别过D、C作DEAB于E，CFAB于F∵AC=BC，ABBC，∴CF=AB又AB=BD，∴CF=BD，即DE=BD。在Rt△BDE中，由DE=BD，设∠ABD=30°注意到AB=BD，∴∠DAB=75°。而∠CAB=45°∴∠DAC=75°－45°=30°说明：本题可根据梯形中常用的辅助线找到另外解法，同学们不妨一试。例7．如图7，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线点F。求证：OE=OF；当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且，求∠B的大小。分析：（1）可通过OC作桥梁，证得OE=OC=OF。（2）可先证AECF是平行四边形，再证明∠ECF=90°。（3）结合三角函数易求出∠B的大小。证明（1）：由已知，MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，又∵∠BEC=∠OCE，∴∠OEC=∠OCE，从而OE=OC，同理OF=OC，故OE=OF。解（2）：当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形。∵OE=OF，OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形。又∵∠ECF=∠ECO+∠OCF=（∠BCA+∠ACD）=90°，∴AECF是矩形。（3）若四边形AECF是正方形，则ACEF，又EF∥BC，∴ACBC。在Rt△ABC中，tanB=,∴∠B=60°.说明：（1）证明四边形是矩形（或菱形），通常先证它是平行四边形，再根据矩形（或菱形）的特有条件论证它是矩形（或菱形）。（2）解动态几何问题的一般方法是考察所给图形上的动点运动到某一特殊位置上的静止状态，再研究此时各元素之间的位置或数量关系，使问题得到解决。例8．如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：3，对角线AC与BD相交于O，AEBC，垂足为E，AE恰好过BD的中点F，∠FBE=30°（1）求证：△AOF是等边三角形（2）若BF和OF是关于X的方程x2－（k－2）x+k=O的两实根，试求k的值，并求梯形ABCD的面积。分析：（1）可作DGBC于G，将AD转化为EG，再根据F是BD的中点及AD：BC=1：3，可证出△AEC≌△DGB，得∠CAE=∠BDG=60°，结合∠AFO=∠BFE=60°，可知△AOF是等边三角形。（2）利用根与系数关系求出反值，进而求出方程的根，再求出AD=2，BC=6，AE=4，得梯形ABCD的面积为16。证明（1）：过D作DGBC于G，则AD=EG.∵AD∥BC，F是BD的中点，∴AD=BE，AF=EF.又∵AD：BC=1：3，∴GC=AD，∴EC=BG.∴∠Rt△AEC≌Rt△DGB,∴∠CAE=∠BDG=90°－30°=60°,又∠AFO=∠BFE=60°故△AOF是等边三角形，解（2）：设OF=x1，BF=x2，∵BF=2EF=2AF=2OF，∴x2=2x1由根与系数关系得即，解得k1=k2=8.∵k=x1＜0，应舍去。∴k=8，此时x1=2,x2=4.从面AD=2故S梯形ABCD=16。说明：中考试题中常出现以特殊四边形为背景设计的，与三角形、相似形、方程或函数等知识有机结合的综合题，难度较大且灵活，解题时应结合特殊四边形的有关性质，采用数形结合、转化等思想方法，实破难点，以较快地找到解题途径。【专题练习】选择题1．五边形的内角和与外角和的比是（）A．5：2B．2：3C．3：2D．2：52．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设条件是（）A．AB=CD，AD=BCB．AB‖CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC3．ABCD中，边AB=a，对角线AC=b,BD=c，则a、b、c的取值可以是下列的（）A．a=4,b=6,c=8B．a=6,b=4,c=8C．a=8,b=4,c=6D．a=5,b=4,c=34、顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DCB．AC=BDC．AB=DCD．AC5．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF的值为（）A．B．2C．D．6．下列命题中真命题的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组对边平行的四边形是梯形D．对角线相等的菱形是正方形7．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，AD=5，BC=13，∠C=60°，则该梯形的面积是（）A．18B．C．36D．368．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有点P，使APBP，则这样的点（）A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有无数个填空题9．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①ACBD，②BC=DE，③∠DBC=∠DAB，④△ABE是正三角形，请写出正确结论的序号。（把你认为正确结论的序号都填上）10．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，还需要增加条件。（只需填一个你认为正确的条件即可）11．在平行四边形ABCD中，若DB=DC，∠C=70°，AEBD于E，则∠DAE=。12．折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则DE的长是cm。13.梯形ABCD中，AD∥BC，对角线ACBD，且AC=5cm，BD=12cm，则该梯形的中位线长等于cm.14.在△ABC中，BC=a,B1、B2、B3、B4是AB边的五等分点；C1、、C2、C3、C4是AC边的五等分点，则B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=。15．正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BGC与四边形CGFD的面积之比是。16．梯形ABCD中，DC∥AB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D′,C′处，折痕为EF，若CD=3cm，EF=4cm，则AD′+BC′=cm。解答题17.如图，在ABCD中，延长BA至E，使AE=AB，连结CE交AD于F点。（1）求证：AF=DF；（2）若SABCD=12，求S△AEF18.如图，在ABCD中，∠DBC=45°，DEBC于E，BFCD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G.求证：（1）AB=BH；（2）AB2=GA·HE19.△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：ADEF。20.如图，矩形ABCD中，CEBD于点E，AF平分∠BAD交EC的延长线于点F,求证:CA=EF21.梯形ABCD中,AB∥CD,两对角线AC与BD相交于点O,且BDAD,已知BC=CD=7,AD=2.(1)求AB的长(2)求sin∠DAC的值.22.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,梯形的高AE=,若S梯形ABCD：S△ABC=13:8,且．(1)求∠B的度数;(2)点M在AC上,DM交BC于F,当S△ADM=时,求作以CF、DF的长为根的一元二次方程。参考答案与提示一、1．C2.C3.A4.D5.A6.D7.B8.C二、9.②③10.AD=BC,AB∥DC,∠A=∠D=180°,∠B+∠C=180°，∠A=∠C，∠B=∠D中任填一个即可11.20°12.513.6.514.2a15.4:516.2三、17．（1）可证△AEF≌△DCF得AF=DF；（2）318．（1）证△BEH≌△DEC，得BH=DC，进而可得AB=BH。（2）证△BEH∽△GBA及BH=AB，得AB2=GA·HE。19．证四边形AEDF为菱形可得ADEF。21．过A作AGBD于G，可证AG∥EF，∠GAF=∠F，得∠CAD=∠BDA=∠BAG，从而∠GAF=∠CAF,得CA=CF。21．（1）作CE∥DA交AB于E，证BE=AE。AB=14（2）BD=12，DO：OB=DC：AB=1：2，∴DO=4，AO=2，sin∠DAC=．22.(1)由已知可得AD：BC=5：8，设AD=5k，BC=8k，代入得k=1．∴SinB=∠B=60°．（2）∵S△ACD=·AE=∴=，∴，又，∴FC=3，BF=5．∵AD=BF=5，∴四边形ABFD为平行四边形，∴DF=AB=5，∴DF+CF=8，DF·CF=15．故所求作的一元二次方程为x2－8x+15=0.