高考数学知识点归纳总结

以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子·牧民》高中数学必修+选修常用变换：f(x)①f(xy)f(x)f(y)f(xy).知识点归纳f(y)f(y)证f(xy)f(x)f[(xy)y]f(xy)f(y)f(x)x必修1数学知识点②f()f(x)f(y)f(xy)f(x)f(y)y第一章：集合与函数概念xx证：f(x)f(y)f()f(y)yy1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。4、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A2、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就Z，有理数集合：Q，实数集合：R.称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作：yfx,xA.3、并集.记作：AB.交集.记作：AB.分母不等于零全集、补集CA{x|xU,且xA}U5、定义域被开方大于等于零(CA)∩(CB)=C(A∪B)(CA)∪(CB)对数的幂大于零，底大于零不等于1UUUUU=C(A∩B)；ABBBA；：利用函数单调性求出所给区间的最U值域简易逻辑：大值和最小值，或：有真为真，全假为假。6、函数单调性：(1)定义法：设x、x[a,b],xx那么1212f(x)f(x)0f(x)在[a,b]上是增函数；且：有假为假，全真为真。12f(x)f(x)0f(x)在[a,b]上是减函数.12非：真假相反步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，若原命题互逆逆命题若p则q若q则pf(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)互为否互逆互为减函数.否逆否为7、奇偶性否互逆否命题否命题fx为偶函数：fxfx图象关于y轴对称.若┐p则┐q逆若┐q则┐p互函数fx为奇函数fxfx图象关于原点对原命题：若P则q；逆命题：若q称.则p；否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若奇函数yfx在区间0,上是递增函数，则若┑q则┑p。yfx在区间,0上也是递增函数．-1-海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》P(x,f(x))处的切线的斜率f(x)，相应的切线方若偶函数yfx在区间0,上是递增函数，则000程是yyf(x)(xx).000yfx在区间,0上是递减函数．切线方程:过点Px,y的切线方程，设切点为00函数的几个重要性质：x,y，则切线方程为yyf'xxx，再11111将P点带入求出x即可①如果函数yfx对于一切xR，都有12、函数的极值(----列表法)faxfax或f（2a-x）=f（x），那函(1)极值定义：极值是在x附近所有的点，都有f(x)＜f(x)，00则f(x)是函数f(x)的极大值；数yfx的图象关于直线xa对称.0极值是在x附近所有的点，都有f(x)＞f(x)，00则f(x)是函数f(x)的极小值.②函数yfx与函数yfx的图象关于直线0(2)判别方法：x0对称；①如果在x附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，函数yfx与函数yfx的图象关于直线0那么f(x)是极大值；0y0对称；②如果在x附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，0那么f(x)是极小值.函数yfx与函数yfx的图象关于坐标03、求函数的最值原点对称.二、函数与导数(1)求yf(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）1、几种常见函数的导数(2)将yf(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中①C'0；②(xn)'nxn1；最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。③(sinx)'cosx；④(cosx)'sinx；函数凹凸性：若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两⑤(ax)'axlna；⑥(ex)'ex；11点x,x(xx),有⑦(logx)'；⑧(lnx)'1212axlnaxxxf(x)f(x)xxf(x)f(x)2、导数的运算法则f(12)12或f(12)12.2222（1）(uv)'u'v'.则称f(x)为凸（或凹）函数.（）(uv)'u'vuv'2.第二章：基本初等函数（Ⅰ）uu'vuv'指数与指数幂的运算（3）()'(v0).vv23、复合函数求导法则1、一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根。复合函数yf(g(x))的导数和函数其中n1,nN.yf(u),ug(x)的导数间的关系为yyu，xux即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.2、当n为奇数时，nana；解题步骤:分层—层层求导—作积还原导数的应用：当n为偶数时，nana.1、yf(x)在点x处的导数的几何意义：3、我们规定：0n函数yf(x)在点x处的导数是曲线yf(x)在⑴amman0-2-云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》a0,m,nN*,m1；1⑵ann0；an4、运算性质：⑴arasarsa0,r,sQ；s⑵ararsa0,r,sQ；⑶abrarbra0,b0,rQ.指数函数及其性质函数的应用yy=ax方程的根与函数的零点1、记住图象：yaxa0,a11、方程fx0有实根2、性质：011对数与对数运算函数yfx的图象与x轴有交点ox1、指数与对数互化式：axNxlogN；a函数yfx有零点.logN2、对数恒等式：aaN.2、零点存在性定理：3、基本性质：log10，loga1.如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断aa4、运算性质：当a0,a1,M0,N0时：的一条曲线，并且有fafb0，那么函数⑴logMNlogMlogN；yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，aaaM使得fc0，这个c也就是方程fx0的根.⑵loglogMlogN；aNaa必修2数学知识点⑶logMnnlogM.aa空间几何体logb球的表面积和体积：5、换底公式：logbc4alogaS4R2，VR3.c球球3a0,a1,c0,c1,b0.1、线面平行：m⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则6、重要公式：logbmlogbanna该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。1⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一7、倒数关系：logba0,a1,b0,b1.平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则alogab线线平行）。对数函数及其性质2、面面平行：y⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，1、记住图象：ylogxa0,a1y=logaxa则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。013、线面垂直：-3-吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？——《论语》百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，⑵l和l相交kk；那么就说这条直线和这个平面垂直。1212⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，kk则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。⑶l和l重合12；12bb⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。124、面面垂直：⑷llkk1.⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面1212角，就说这两个平面互相垂直。4、对于直线：（重点）⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个l:AxByC0,平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。1111有：l:AxByC0⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的2222直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。ABAB做题技巧：⑴l//l1221；（两直线平行，系数交叉12BCBC证明线面平行：在平面内寻找与所求平行的直线1221▲题目中若有中点，看所求平面中的边是否有含某个相乘差为零）平行四边形对角线，若有则连接对角线---构成中位⑵l和l相交ABAB；线121221▲利用线面平行证明线线平行ABAB证明线面垂直：直线垂直平面内两个相交直线⑶l和l重合1221；12BCBC▲题目中给定边的值，利用勾股定理1221▲直棱柱-棱平行且垂直地面⑷llAABB0.（两直线垂直，对应相▲垂直投影的直线垂直原线121212▲两个平面垂直，垂直交线的直线垂直另一个面乘和相等）5、两点间距离公式：（重点）PPxx2yy2第三章：直线与方程122121yy6、点到直线距离公式：（重点）1、倾斜角与斜率：ktan21xxAxByC21d00A2B22、直线方程：7、两平行线间的距离公式：（重点）⑴点斜式：yykxx00l：AxByC0与l：AxByC0平行，1122⑵斜截式：ykxbCC则d12yyyy22⑶两点式：121ABxxxx121第四章：圆与方程xy1、圆的方程：⑷截距式：1ab⑴标准方程：xa2yb2r2⑸一般式：AxByC0其中圆心为(a,b)，半径为r.3、对于直线：l:ykxb,l:ykxb有：⑵一般方程：x2y2DxEyF0.111222DE1kk其中圆心为(,)，半径为rD2E24F.⑴l//l12；22212bb12-4-非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》2、直线与圆的位置关系③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2n每个个体被抽到的机会（概率）均为。的位置关系有三种:Ndr相离0;2、总体分布的估计：dr相切0;⑴一表二图：①频率分布表——数据详实dr相交0.②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势弦长公式：（重点）l2r2d2注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。⑵茎叶图：（重点）(xx)2(yy)21k2|xx|121212①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据3、空间中两点间距离公式：的分布，以及中位数、众位数等。②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大PPxx2yy2zz212212121书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：xxxx⑴平均数：x123n；必修3数学知识点n取值为x,x,,x的频率分别为p,p,,p，则其12n12n算法案例：平均数为xpxpxp；1122nn①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到注意：频率分布表计算平均数要取组中值。⑵方差与标准差：一组样本数据x,x,,x利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：12nⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S和01n2一个余数R；方差：s2(xx)；0niⅱ）：若R＝0，则n为m，n的最大公约数；若Ri100≠0，则用除数n除以余数R得到一个商S和一个余011n2数R；标准差：s(xx)1niⅲ）：若R＝0，则R为m，n的最大公约数；若R≠i11110，则用除数R除以余数R得到一个商S和一个余数012注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。R；……2平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的依次计算直至R＝0，此时所得到的R即为所求nn1稳定水平。的最大公约数。第三章：概率②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到1、随机事件及其概率：利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。表示；若是，用2约简；若不是，执行第二步。⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与m所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直⑶随机事件A的概率：P(A),0P(A)1.n到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的2、古典概型：最大公约数。⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；③进位制十进制数化为k进制数—除k取余法⑵古典概型的特点：k进制数化为十进制数①所有的基本事件只有有限个；第二章：统计②每个基本事件都是等可能发生。1、抽样方法：⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事①简单随机抽样（总体个数较少）件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则②系统抽样（总体个数较多）-5-海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》m任意角的三角函数事件A发生的概率P(A).n1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点3、几何概型：yPx,y，那么：siny,cosx,tan⑴几何概型的特点：x①所有的基本事件是无限个；2、设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：（设②每个基本事件都是等可能发生。d的测度⑵几何概型概率计算公式：P(A)；rx2y2）D的测度其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、yxyx体积等。sin，cos，tan，cotrrxy4、互斥事件：⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角⑵如果事件A,A,,A任意两个都是互斥事件，则称函数线的画法.12ny事件A,A,,A彼此互斥。T12nP⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，正弦线：MP;等于事件A，B发生的概率的和，余弦线：OM;OMAx即：P(AB)P(A)P(B)正切线：AT⑷如果事件A,A,,A彼此互斥，则有：同角三角函数的基本关系12nP(AAA)P(A)P(A)P(A)式12n12n⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称1、平方关系：sin2cos21.这两个事件为对立事件。①事件A的对立事件记作Asin2、商数关系：tan.cosP(A)P(A)1,P(A)1P(A)3、倒数关系：tancot1②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。三角函数的诱导公式必修4数学知识点奇变偶不变，符号看象限kZ1、诱导公式一：第一章：三角函数任意角sin2ksin,1、正角、负角、零角、象限角的概念.cos2kcos,（其中：kZ）2、与角终边相同的角的集合：tan2ktan.2k,kZ.2、诱导公式二：弧度制sinsin,1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度coscos,tantan.的角.l3、诱导公式三：（奇偶性）2、.rsinsin,nR3、弧长公式：lR.coscos,180tantan.nR214、扇形面积公式：SlR.3602-6-吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？——《论语》人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。——《顾炎武》4、诱导公式四：sincos,2（互补两角正弦值相等，余弦值互为相反数）sinsin,cossin.2coscos,§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质tantan.1、记住正弦、余弦函数图象：y5、诱导公式五：y=sinx-537（互余两角：一个角正弦值等于另一个角余弦值）-122o22x-4-7-3-2-3--12534sincos,22222yy=cosx37cossin.-5-1-3-322222o4x-4-7-2-325-122226、诱导公式六：2、会用五点法作图.ysinx在x[0,2]上的五个关键点为：3（0，0）（，，1）（，，0）（，，-1）（，2，0）.22§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：yyy=tanxy=cotx3o3xo3x-----22222222函数求解题目：已知yAsinx第二类型：给定一个区间x[a,b]求解值域或者最值第一类型：求解它的单调区间由于xa,b,2kwx2k单调递增区间wawxwb22wawxwb32k+wx2k单调递减区间令twx则yAsint,根据twa,wb22利用图像求出值域或者最值求出x的范围即可注意：若题目中是余弦，则代换相应余弦的单调区间-7-良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象定义域RR{x|xk,kZ}2值域[-1,1][-1,1]Rx2k,kZ时，y12maxx2k,kZ时，y1最值max无x2k,kZ时，y1x2k,kZ时，y1min2min周期性T2T2T奇偶性奇偶奇在[2k,2k]上单调递22单调性在[2k,2k]上单调递增增在(k,k)上单调kZ223（重点）在[2k,2k]上单调递在[2k,2k]上单调递减递增22减对称性对称轴方程：xk无对称轴对称轴方程：xkkZ2k对称中心(k,0)对称中心(,0)（重点）对称中心(k,0)22§1.5、函数yAsinx的图象横坐标不变yAsinx1、对于函数：纵坐标变为原来的A倍yAsinxBA0,0有：振幅A，周纵坐标不变yAsinx21期T，初相，相位x，频率f1.横坐标变为原来的||倍T22、能够讲出函数ysinx的图象与平移|B|个单位yAsinxByAsinxB的图象之间的平移伸缩变（上加下减）换关系.②先伸缩后平移：①先平移后伸缩：ysinx横坐标不变yAsinxysinx平移||个单位ysinx纵坐标变为原来的A倍（左加右减）-1-以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。——《王实甫》纵坐标不变yAsinx1cos22cos2升幂公式：1cos22sin21横坐标变为原来的||倍1cos2(1cos2)2平移个单位yAsinx降幂公式：1sin2(1cos2)（左加右减）2|B|yAsinxB2tan平移个单位3、tan2.1tan2（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心sin21cos24、tan函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，1cos2sin22简单的三角恒等变换x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期T；函||辅助角公式yasinxbcosxa2b2sin(x)数ytan(x)，xk,kZ(A,ω,为2b（其中辅助角定,tan).a常数，且A≠0)的周期T.||第二章：平面向量第三章、三角恒等变换向量的几何表示记住15°的三角函数值：1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三sincostan个要素：起点、方向、长度.62622312442、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共两角和与差的正弦、余弦、正切公式线向量）.1、sinsincoscossin规定：零向量与任意向量平行.2、sinsincoscossin1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3、coscoscossinsin三角形加法法则和平行四边形加法法则（首尾相连）.4、coscoscossinsintantan5、tan.1tantantantan6、tan.1tantan2、ab≤ab.二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.（起点相变形：sincos1sin2.2同，从减向量指向被减向量）2、cos2cos2sin22cos2112sin2.变形如下：-2-丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。——《增广贤文》向量数乘运算及其几何意义平面向量数量积的物理背景及其含义1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运1、ababcos.---------（1）--重点算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向2、a在b方向上的投影为：acos.规定如下：23、a2a.4、aa2.aa,5、abab0.2、平面向量共线定理：向量aa0与b共线，当平面向量数量积的坐标表示、模、夹角且仅当有唯一一个实数，使ba.1、设ax,y,bx,y，则：1122当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,⑴abxxyy---------（2）--重点1212⑵ax2y2a的方向与a的方向相反.11平面向量基本定理⑶abab0xxyy012121、平面向量基本定理：如果e,e是同一平面内的两12------两个向量垂直，对应坐标积的和为零个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，⑷a//babxyxy01221-------两个向量平行，坐标交叉相乘差为零有且只有一对实数,，使aee.1211222、设Ax,y,Bx,y，则：平面向量的正交分解及坐标表示1122axiyjx,y.ABxx2yy2.2121平面向量的坐标运算3、两向量的夹角公式---根据（1）、（2）求解两个向量的夹角1、（小写字母表示向量）设ax,y,bx,y，1122abxxyy则：cos1212----重点abx2y2x2y21122⑴abxx,yy，12124、点的平移公式⑵abxx,yy，平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点1212⑶ax,y，为P(x,y)（新坐标），平移向量为PP(h,k)，112、（两个点表示向量）设Ax,y,Bx,y，则：xxh1122则yyk.ABxx,yy.2121函数yf(x)的图像按向量a(h,k)平移后的平面向量共线的坐标表示1、设Ax,y,Bx,y,Cx,y，则图像的解析式为ykf(xh).112233xxyy⑴线段AB中点坐标为12,12，22xxxyyy⑵△ABC的重心坐标为123,123.33-3-吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？——《论语》志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟必修5数学知识点⑵已知三角形三边，求其它元素。3、三角形面积公式：第一章：解三角形111SabsinCbcsinAacsinB考察：ABC222一、和差化积公式：4、三角形内角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)sinsincoscossin1、CAB2C22(AB).222sinsincoscossin2、5、一个常用结论：在ABC中，absinAsinBAB;3、coscoscossinsin若sin2Asin2B,则AB或AB.特别注意，24、coscoscossinsin在三角函数中，sinAsinBAB不成立。二、180度诱导公式、三角形内角和180、做题技巧：（互补两角正弦值相等，余弦值互为相反数）1、题目中的等式只含有正弦函数与边的关系：sinAsin(BC)sinBC①求角度值：利用正弦定理：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;将等式中的sinBsin(AC)sinAC边化成正弦函数，在结合和差化积公式sinCsin(AB)sinAB②求边的长度：利用正弦定理：abc三、正弦定理、余弦定理sinA,sinB,sinC将正弦值转化求解出三角形三个边，三个角的具体值。2R2R2R1、正弦定理：成边。abc2、题目中出现三角函数或者边的平方的关系，利用余2R.弦定理求解sinAsinBsinC（其中R为ABC外接圆的半径）第二章：数列a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;数列中a与S之间的关系：nnabcsinA,sinB,sinC;2R2R2RS,(n1)a1注意通项能否合并。a:b:csinA:sinB:sinC.nSS,(n2).nn1用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；(一)等差数列：⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一元素。2、余弦定理：项的差等于同一个常数，即a－a=d，（n≥2，nnn1a2b2c22bccosA,∈N），那么这个数列就叫做等差数列。b2a2c22accosB,1.等差中项：若三数a、A、b成等差数列c2a2b22abcosC.abAb2c2a22cosA,2bc2、通项公式：a2c2b2cosB,aa(n1)da(nm)d2acn1m222abc或apnq(p、q是常数）.cosC.n2ab用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；mnpqm,n,p,qN-4-丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》若mnpqm,n,p,qN，则aaaamnpq则aaaa；mnpq3、前n项和公式：a1qnaaq1nn1naa3、前n项和公式：S1nSnad1nn1q1qn122▲若等差数列a的前n项和S，则S、SS、若等比数列a的前n项和S，则S、SS、nnk2kknnk2kkSS…是等差数列。SS…是等比数列.3k2k3k2k常用性质：常见的拆项公式有：▲下标为等差数列的项a,a,a,，仍组成111kkmk2m①；等差数列；n(n1)nn1▲数列ab（,b为常数）仍为等差数列；1111n②();通项公式的求解:(2n1)(2n1)22n12n11、a=fna累积法n+1n11aaa③(ab);nn12fn1fn2f1ababaaan1n21am1mm得到nfn1fn2f1④CCC;ann1n1aafn1fn2f1⑤nn!(n1)!n!.n1记住常见数列的前n项和：2、a=afn累加法n+1nn(n1)a-a=fn-1，a-a=fn-2，，a-a=f1①123...n;nn-1n-1n-2212将n-1个等式左右相加得到②135...(2n1)n2;a-afn1fn2f1n11得到a=a+fn1fn2f1③122232...n2n(n1)(2n1).n163、a=AaB----配凑法第三章：不等式n+1n§3.1、不等关系与不等式令（A-1)m=B,求出m,使得a+m=A(am)n+1n1、不等式的基本性质a+m即n+1=A,首项a1+m,公比为A等比数列①（对称性）abbaamn②（传递性）ab,bcac（二）等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前③（可加性）abacbc一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等（同向可加性）ab,cdacbd比数列。（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbc、G、21、等比中项：若三数ab成等比数列Gab,ab,c0acbc（ab同号）。反之不一定成立。⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd、通项公式：ab2（异向正数可除性）ab0,0cdcdaaqn1aqnmn1m⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)-5-以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。——《管子·牧民》以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1)2aba2b21111①平均不等式：ab⑧（倒数法则）ab0;ab0a1b122abab2、几个重要不等式a，bR,（当且仅当ab时取""号）.①a2b22aba，bR,（当且仅当ab时取（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：a2b2""号）.变形公式：ab.2ab2a2b2(ab)2ab;a2b2.222ab②（基本不等式）aba，bR,（当②幂平均不等式：21a2a2...a2(aa...a)2.且仅当ab时取到等号）.12nn12n③二维形式的三角不等式：ab2变形公式：ab2abab.2x2y2x2y2(xx)2(yy)211221212用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最(x,y,x,yR).大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.1122④二维形式的柯西不等式：③（三个正数的算术—几何平均不等式）(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且abc3abc(a、b、cR)（当且仅当仅当adbc时，等号成立.3⑤三维形式的柯西不等式：abc时取到等号）.(a2a2a2)(b2b2b2)(ababab)2.123123112233④a2b2c2abbccaa，bR⑥一般形式的柯西不等式：（当且仅当abc时取到等号）.(a2a2...a2)(b2b2...b2)12n12n⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)(abab...ab)2.（当且仅当abc时取到等号）.1122nnba4、不等式证明的几种常用方法⑥若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、ba分析法；若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，bbmana函数单调性法，数学归纳法等.⑦1aambnb常见不等式的放缩方法：131其中(ab0，m0，n0)①舍去或加上一些项，如(a)2(a)2;242规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.②将分子或分母放大（缩小），如⑧当a0时，xax2a2xa或xa;1111,,k2k(k1)k2k(k1)xax2a2axa.2212(),⑨绝对值三角不等式ababab.2kkkkkk13、几个著名不等式-6-志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼12小；⑶讨论两根的大小.(kN*,k1)等.10、恒成立问题—最值问题----重点kkk1⑴不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成5、一元二次不等式的解法----重点立）的条件是：求一元二次不等式ax2bxc0(或0)①当a0时b0,c0;(a0,b24ac0)解集的步骤：a0一化：化二次项前的系数为正数.②当a0时0.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.⑵不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.立）的条件是：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.规律：①当a0时b0,c0;6、高次不等式的解法：穿根法.a0分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿②当a0时0.（奇过偶不过），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.⑶f(x)a恒成立f(x)a;7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则maxf(x)0f(x)g(x)0f(x)a恒成立f(x)a;g(x)max（“或”时同理）小于等于：最大值满足条件即可f(x)f(x)g(x)00⑷f(x)a恒成立f(x)a;g(x)g(x)0min规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.f(x)a恒成立f(x)a.min规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在大于等于：最小值满足条件即可于从“小”的一边分析求解.11、线性规划问题------重点规律：关键是去掉绝对值的符号.⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：8、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：取特殊点定区域：常选原点.规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，取交集，最后取各段的并集.利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）9、含参数的不等式的解法解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大-7-非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼专题二：圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2y2y2x2标准方程1ab01ab0a2b2a2b2第一定义到两定点F、F的距离之和等于常数2a，即|MF||MF|2a（2a|FF|）121212MF第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即e(0e1)d范围axa且bybbxb且ayaa,0、a,00,a、0,a1212顶点0,b、0,bb,0、b,01212轴长长轴的长2a短轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点Fc,0、Fc,0F0,c、F0,c1212焦距FF2c(c2a2b2)12cc2a2b2b2离心率e1(0e1)aa2a2a2a2a2准线方程xycc焦半径左焦半径：MFaex下焦半径：MFaey1010M(xy)0,0右焦半径：MFaex上焦半径：MFaey2020焦点三角形面积Sb2tan(FMF)MFF12122b2通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHa（焦点）弦长公式A(xy),B(xy)，AB1k2xx1k2(xx)24xx1,12,2121212-8-百学须先立志。——朱熹常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》双曲线焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2y2y2x2标准方程1a0,b01a0,b0a2b2a2b2第一定义到两定点F、F的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF||MF|2a（02a|FF|）121212MF第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即e(e1)d范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点a,0、a,00,a、0,a1212轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点Fc,0、Fc,0F0,c、F0,c1212焦距FF2c(c2a2b2)12cc2a2b2b2离心率e1(e1)aa2a2a2a2a2准线方程xyccba渐近线方程yxyxab左焦：MFexa左焦：MFeyaM在右支10M在上支10焦半径右焦：MFexa右焦：MFeya2020M(xy)0,0左焦：MFexa左焦：MFeyaM在左支10M在下支10右焦：MFexa右焦：MFeya2020抛物线-9-百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。——汉乐府《长歌行》穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》图形y22pxy22pxx22pyx22py方程p0p0p0p0与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l定义上)顶点0,0离心率e1对称轴x轴y轴范围x0x0y0y0pppp焦点F,0F,0F0,F0,2222pppp准线方程xxyy2222焦半径ppMFxpMFyp02MFx02MFyM(xy)02020,0通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2p焦点弦长ABxxp公式12参数p的参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔几何意义设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，A(x,y)、B(x,y)，直线AB的倾斜角为，则1122p22p⑴xx,yyp2;⑵AB;⑶以AB为直径的圆与准线相切；⑷焦点F对A、B在准线上12412sin2112射影的张角为；⑸.2|FA||FB|P-1-百学须先立志。——朱熹