【培优A】五年级春季 9-5第五讲 余数问题T

第五讲余数问内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q„„r（也就是a=b×q+r）,0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。例题讲析基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。余数小于除数。理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88，甲数=1088-88=1000。1/9【例2】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例3】（小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。分析：我们根据解三个余数之和是50这个条件可知：（1）从这三个数的和中把50减掉后，得到的差应是这个整数的整数倍，也就是能被这个数整除。（2）这个除数也必然要小于70。（3）因为50÷3=16„„2，所以三个余数中至少有一个要大于16，那么除数大于余数，所以要大于16，这样我们就确定了这个除数的大致范围是17～70。（4）既然是3个余数的和是50，那么70、110、160这三个数除以这个数后的余数都不能大于50。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在之间的约数有29和58。因为110÷58=1„„52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。【例4】（华杯赛口试）十二张扑克牌，2点、6点、10点各四张.你能从中选出七张牌，使上面点数之和等于52吗?说明理由.分析：每张牌的点数除以4，都余2，所以任取七张，点数之和被4除都余2，而52被4整除，所以不能使点数之和等于52.此部分知识还可以参看附加1、2。基本性质2：如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。（a,b,c均为自然数）例如：17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。2/9【例5】有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。分析：在讲解此题之前可以先向学生介绍一下附加3。法1：39-3=36，51-3=48，147-3=144，（36，48，144）=12，12的约数是1，2，3，4，6，12，因为余数为3要小于除数，所以这个数是4，6，12；法2：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据性质2，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。51-39=12，147-39=108，147-51=96，（12，108，96）=12，所以这个数是4，6，12。【例6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a＞b，求×。分析：-能被7整除，即（10a+b）-（10b+a）=9×（a-b）能被7整除。所以只能有a-b=7，那么可能为92和81，验算可得当=92时，=29满足题目，×=92×29=2668。此部分知识还可以参看附加3、4、5。基本性质3：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。【例7】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？分析：建议教师在讲解这部分知识之前可以先讲解一下附加3。法1：3、10、13、23、36、69、95、„被3除后的余数依次为0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、„，观察得：余数的排列规律是：0、1、1、2、0、2、2、1为周期重复出现。1997÷8＝249„5，余数为0。法2:找余数的规律我们还可以这样做：从第三个数起，把前面两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数除以3的余数，这样就很容易算出余数依次为：0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、„，观察得8个一循环，1997÷8＝249„5，所以余数为0。3/9【例8】（第五届希望杯培训试题）黑板上写着从1开始的2007个连续自然数，团团每次抹去其中的若干个数，园园就写上被抹去数之和除以18得到的余数.最后黑板上剩下三个不同的数，其中最小的是5，那么最大的数不可能超过.分析：原先黑板上各数之和为：1+2+3+„„4+2007=(1+2007)×2007÷2=2015028，能被18整除.所以最后在黑板上剩下的三个数之和也能被18整除，若其中较小的两个数为5和6，则另一个数被18除余7，这个数的最大可能值是2005.所以剩下的最大数不可能超过2005.【例9】（第五届小数报数学竞赛初赛）2222除以13所得余数是_____.2000个"2"分析：222222=2×111111=2×111×1001=2×111×7×11×13，能被13整除.因为2000=6×333+2，22÷13=1„9，所以.要求的余数是9.【例10】（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）19191919除以99，余数是_______.20分析：因为1900-19=19×99被99整除，所以1900除以99。余数就是19；同样190000除以99，所得余数与1900除以99所得余数相同，即19；依此类推，因此19191919除以19，余数与191919，2020个19即380，除以99的余数相同，因为380=3×99+83，因此所求余数是83.基本性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。【例11】（市第二届兴趣杯少年数学邀请赛试题）甲、乙两个代团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？分析：这道题本身比不是很复杂，关键是要帮助学生去理解题意，把题意转化成常规的余数问题就很简单了。可以这么说：甲数除以36余11，乙数除以36余25，问甲乙两数的积除以36余几？甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。（11×25）÷36=7……23，即拍完了7个卷后最后一个胶卷还要拍23张，还可拍36-23=13（张）。4/9【例12】求余数（1）644312÷19（2）19992000÷7分析：在讲此题之前建议教师先讲解这道题目：请你找找32007÷10的余数。找32007÷10的余数也就是在找32007的个位数字，对于这种情况我们常常从简单情况入手找规律，31，32，33，34，35，36„„的个位数字是：3，9，7，1，3，9„„，（从第3个数起，每个数都是前一个数与3的乘积的个位数字），从中我们发现规律，个位数字4个一周期循环，2007÷4=501„„3，所以32007的个位数字是7，即32007÷10的余数是7。其实对于1～9这9个自然数它们都可以统一总结出这样一个规律：a的n次方的个位数字4个一循环（其中有1个一循环，2个一循环，我们都可以统一到4个一循环，方便学生记忆。教师在课堂上和学生们一起探讨，熟练应用性质4）。（1）6443÷19=339„„2，212=4096，4096÷19余11，所以余数是11；（2）1999÷7的余数是4，所以根据性质（4），19992000与42000除以7的余数相同。然后再找规律，发现4的各次方除以7的余数的排列规律是4、2、1、4、2、1......这么3个一循环，所以由2000÷3余2可以得到42000除以7的余数是2，故19992000÷7的余数是2。【例13】在右图的第二行中，恰好填上89～98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．分析：因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积。因此原题中的89～98可以改换为1—10，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：对于这部分知识的拓展我们还可以参看附加6、7、8。附加题目【附1】（第五届小学数学报竞赛决赛）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。分析：这道题是性质（1）中：“被除数=除数×商+余数”的灵活应用。既然1992是a的46倍还多r,那么当然也可以理解成1992是46的a倍还多r.所以可以得到：1992÷46=43„„14得1992=46×43＋14，所以a=43，r=14【附2】一个两位数除以13的不完全商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。分析：因为一个两位数除以13的不完全商是6，所以这个两位数一定大于13×6=78，并且小于13×（6+1）=91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为：78+5=83。5/9【附3】请你写出10个连续的被7除余3的数，并说说它们有什么特点？分析：我们不妨从最小的那个数写起：3、10、17、24、31、38、45、52、59、66；发现它是一个等差数列，其差为7。那么请你再写出一些被5除余2的数，你会发现它们也是一个等差数列，差为5。【附4】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。求这个数？分析：由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33。所以所求的数为：（543-345）÷33=6。【附5】（第四届小数报数学竞赛决赛）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、97人.现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组是A名游客，以便乘车前往参观游览.已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩几人?分析：由85-69=16，93-85=8，推出A=8或4或2，所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人.【附6】（华罗庚金杯竞赛模拟试题）求478×296×351除以17的余数。分析：先求出乘积再求余数，计算量较大。可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9„„1。【附7】（华杯赛决赛）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，2l，„„问最右边一个数被6除余几?分析：法1：设a、b、c为连续三项，则c=3×b—a„(1)；考虑原数列各项除以3所得的余数，组成数列：0，1，0，2，0，1，0，2，„(2)，每4项重复出现.考虑原数列各项除以2所得的余数，组成数列：0，l，1，0，1，1，0，l，l，„，每3项重复出现.因此，原数列最右边的(第70个)数，除以3余1(70=4×17+2)，除以2余O(70=3×23+1).于是最右一个数被6除余4.法2：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3=1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，„不过真的要一个一个的计算下去，然后逐个除以6找余数就太麻烦了。能否从前面的余数，算出后面的余数呢？同算出这一行的数的方法一样，从第3个数起，余数的计算办法如下：等于前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数：然后被6除，所得的余数即是。用这个办法可以逐个算出余数：0、1、3、2、3、1、0、5、3、4、3、5、0、1、3、2、„，从中我们发现余数12个一循环；70=12×5+10，所以第70个数的余数是4。【附8】算式7+7×7+„+77...7计算结果的末两位数字是多少?1990个7分析：我们只用算出7+7×7+„+777...7的和除以100的余数,即为其末两位数字．1990个76/97除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而77...7除以100的余数等于77...77的余数,即为7,„„5个74个7这样我们就得到一个规律77...7除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．n个71990÷4=497„„2,所以7+7×7+„+7×7ׄ77...7的和除以100的余数同余．1990个7497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+„+77...7计算结果的末两位数字是56．1990个7练习五1．（小学数学奥林匹克初赛）有苹果、桔子各一筐，苹果有240个、桔子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果等分到最后余2个不够分，桔子分到最后还余7个桔子不够再分，求最多有多少个小朋友参加分水果?分析：此题是一道求除数的问题。原题就是说，已知一个数除240余2，除313余7，求这个数最大为多少，我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况，从而使问题简化，因为240被这个数除余2，意味着240-2=238恰被这个数整除，而313被这个数除余7，意味着这313—7=306恰为这个数的倍数，我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了。240—2=238(个)，313—7=306(个)，(238，306)=34(人)。2．（四中小升初选拔试题）被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。分析：法1：通过对题意的理解我们可以得到：被除数=除数×商+余数=除数×33+52；又有被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数；所以除数×33+52=2058-除数；则除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。法2：此题也可以按这个思路来解：从被除数中减掉余数52后，被除数就是除数的33倍了，所以可以得到：2143-33-52-52=（33+1）×除数，求得除数=59，被除数=33×59+52=1999。转化成整数倍问题后，可以帮助理解相关的性质。3．（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是.分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.7/94．有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。分析：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据性质2，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。101-45=56，101-59=42，59-45=14，（56，42，14）=14，14的约数有1，2，7，14，所以这个数可能为2，7，14。5．已知三个数127，99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3，求a和b的值。分析：127-3=124，99-3=96，则b是124和96的公约数。而（124，96）=4，所以b=4。那么a的可能取值是11，15，19，23，27。6．19191919除以99，余数是______.100分析：所求余数与19×100，即与1900除以99所得的余数相同，因此所求余数是19.7．求下列各式的余数：（1）2461×135×6047÷11（2）19992000÷7分析：（1）5；（2）1999÷7的余数是4，19992000与42000除以7的余数相同。然后再找规律，发现4的各次方除以7的余数的排列规律是4、2、1、4、2、1......这么3个一循环，所以由2000÷3余2可以得到42000除以7的余数是2，故19992000÷7的余数是2。8/9课外知识（1）智力测试题：（跨国公司面试题）你让工人为你工作７天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的７段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？小蒲（现在微创工作，去年遭遇这道试题）：这道试题相对其它一些微创考题还是简单的，可仍然把我弄得头大。当时我是这样做这道题的。两次弄断就应分成三份，我把金条分成１／７、２／７和４／７三份。这样，第１天我就可以给他１／７；第２天我给他２／７，让他找回我１／７；第３天我就再给他１／７，加上原先的２／７就是３／７；第４天我给他那块４／７，让他找回那两块１／７和２／７的金条；第５天，再给他１／７；第６天和第２天一样；第７天给他找回的那个１／７。（2)鬼谷算（韩信点兵）我国汉代有位大将，名叫韩信。他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是：1×70＋2×21＋3×15＝157，157－105＝52（个）。9/9