北大金融数学引论第二章答案

北大版金融数学引论第二章北大版金融数学引论第二章答案PAGEPAGE37北大版金融数学引论第二章答案版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解：S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7%X=50000−1000s20¬p7%s10¬p7%=2．价值10,000元的新车。购买者分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X，则有10000=X+250a48¬%解得X=3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。试计算该年金的现值。解：PV=na¬npi1−vnn=n1n=(n+1)nn2−nn+2(n+1)n4．已知：a¬np=X，a2¬np=Y。试用X和Y表示d。解：a2¬np=a¬np+a¬np(1−d)n则Y−X1d=1−(X)n5．已知：a¬7p=,a11¬p=,a18¬p=。计算i。解：a18¬p=a¬7p+a11¬pv7解得6.证明：11−v10=s10¬p+a∞¬p。s10¬pi=%北京大学数学科学学院金融数学系第1页版权所有，翻版必究证明：s10¬p+a∞¬p(1+i)10−1+11s10¬p=i(1+i)10−1ii=1−v107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV=100a¬8p3%+100a20¬p3%=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日1000¨25¬p8%=X¨15¬p7%解得9．已知贴现率为10%，计算¨¬8p。X=解：d=10%，则i=110.求证：(1)¨¬np=a¬np+1−vn；1−d−1=19¨¬8p=(1+i)1−v8i=(2)¨¬np=s¬−np1+(1+i)n并给出两等式的实际解释。证明：(1)¨¬np=1−dvn=1−ivn=1−vni+1−vn所以(2)¨¬np=(1+i)n−11+i¨¬np=a¬np+1−vn(1+i)n−1=(1+i)n−1n−1d=i1+ii+(1+i)所以¨¬np=s¬−np1+(1+i)n版权所有，翻版必究12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV=100a49¬%−100a¬%=AV=100s49¬%−100s¬%=13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。已知：v10=1，计算Y。解：因两种年金价值相等，则有2a30¬pi+a10¬piv10=Ya30¬−piYa10¬piv10所以Y=3−v10−2v301+v10−2v30=14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，2a2¬npi+3a¬npi=362a¬npivn=6解得a¬7pa¬3p+sX¬pi=%15.已知a11¬p=aY¬p+sZ¬p。求X，Y和Z。解：由题意得解得1−v71−v11=(1+i)X−v3(1+i)Z−vY16.化简a15¬p(1+v15+v30)。解：X=4,Y=7,Z=4a15¬p(1+v15+v30)=a45¬p北京大学数学科学学院金融数学系第3页版权所有，翻版必究17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在4月1日的价值为P=1+%%×2000=，则PV=P(1+i)2+23=18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。解：设递延时间为t，有1解得t=−ln(1+lniPi)P=ivt19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有X1000¨20¬pi=iv29解得X=1000((1+i)30−(1+i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1+i)n。解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为i3a¬npi，而D得到遗产的现值为vn。由题意得所以1−vn3(1+i)n=4=vn21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为，求B与D的份额之比。版权所有，翻版必究解：由题意知那么PVCPVAPVB==a¬npv2na¬npa¬npvn13n==PVDiv元年利率%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。100a¬%v4<1000解：100an+1¬%v4>1000解得n=17列价值方程解得100a16¬%+Xv21=1000X=年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解：两年金现值相等，则4×a36¬pi=5×18，可知v18=由题意，(1+i)n=2解得n=924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。解：由题意可得方程100a60¬p1%=6000(1+i)−k解得25.已知a¬2pi=，求i。解：由题意得解得k=291−v2=i=%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：版权所有，翻版必究27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K。解：由题意可得价值方程10000=105Ka¬2p4%v3+Ka¬2p4%+10000v10则K=10000−10000v10105a¬2p4%v3+a¬2p4%v5=28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P(1+i)2=X+2Xa¬4pi+2Xa¬5pj(1+i)−4所以P(1+i)12X=1+2a¬4pi+2a¬5pj(1+i)−429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：PV=4×400+4×600v5=31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：PV=1s¬4pia24¬piv3=(1+i)24−1(1+i)27[(1+i)4−1]=a28¬−pa¬4ps¬3p+s¬1p北京大学数学科学学院金融数学系第6页版权所有，翻版必究元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。有题意得750i+750s20¬pii=Ra30¬pi解得R=34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解：由题意知解得i=20%1is¬3pi=1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。解：由题意得解得R=20=1d=Ra¬2pii36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。(2)解：设贴现率为d，则1+i2=1(1−d)12设递延时间为t，由题意得10000=2×500vt¨(2)∞¬p1解得t=ln20+ln(1−(1−d)2)ln(1−d)37.计算：3a¬(2)np=2a(2)2¬np=45s¬(2)1p，计算i。解：ii3×a¬npi=2×a¬npi=45×is¬1pi解得：vn=1,i=1i(2)。i2i2230北京大学数学科学学院金融数学系第7页版权所有，翻版必究38.已知i(4)=16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。（问题）解：39.已知：δt=1+1t。求¯¬np的表达式。解：¯¬np=∫n0e−R0tδsdsdt=ln(1+n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解：第一种年金的现值为∫10vtdt=1−e−δδ第二种年金的现值为e−δt，则所以t=1+1δlnδi1−e−δδ=e−δt41.已知：δ=。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解：设季度实利率为i。因a(t)=eδt，则e14δ=(1+i)所以1−v80PV=100¨80¬pi=100(1+i)i=42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解：设年实利率为i，则i=eδ−1设基金可维持t年，由两现值相等得40000=2400a¬tpi解得t=28北京大学数学科学学院金融数学系第8页版权所有，翻版必究43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，...。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解：由题意：1113(1+i)6=(1+i)7⇒i=112PV=v+3v2+···+(2n−1)vn+···=v[1+PV+2(v+v2+···)]=v(1+PV+2v解得:PV=661−v)44.给出现值表达式Aa¬np+B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解：年金序列：A+nB,A+(n−1)B,...,A+2B,A+B所求为25a25¬p+3(Da)25|45.某期末年金（半年一次）为：800,750,700,...,350。已知半年结算名利率为16％。若记：A=a10¬p8%，试用A表示这个年金的现值。解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：2×(10−A)300a10¬p8%+500(Da)10|8%=300A+i(2)=6250−325A46.年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第十年底的余额。解：由题意：AV=1000s¬5p8%(1+8%)6+(1000××+1000××+···+1000××=1000(1+8%)5−18%+1000××15=47.已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:v4100北京大学数学科学学院金融数学系i−vd第9页版权所有，翻版必究解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金...。从而PV=v410011=100v411=100v4ia¬2piii1−v2i−vd48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：1600¨10¬p(I(4)¨)(4)1|元证：首先把一年四次的付款折到年初：m=4,n=1,R=100m2=1600从而每年初当年的年金现值：1600(I(4)¨)(4)元再贴现到开始时：1|1600¨10¬p(I(4)¨)(4)1|元49.从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利率8％，计算现值。解：半年的实利率：j=(1+8%)12−1=%PV=1+1+j+(1+j)2+···=(1−1+j)−1=50.某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：6000¨¬4p¨(12)9/12|证：首先把9个月的支付贴现到年初：m=12,n=9/12,R=500m=6000从而每年初当年的年金现值：6000¨(12)贴现到当前：北京大学数学科学学院金融数学系9/12|6000¨¬4p¨(12)9/12|第10页版权所有，翻版必究51.现有如下的永久年金：第一个k年每年底还；第二个k年每年底还2R；第三个k年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。解：把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n=0,1,2,···):每个年金的值为Ra∞¬p在分散在每个k年的区段里：Ra∞|ak|再按永久年金求现值：R(a∞|)2ak|表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1,2,3,···的现值。计算贴现率。解：由题意：X=11i1+i20X=(111解得：i=i+i2)(1+i)2即：d=i1+i=53.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4=，计算现值。与原答案有出入解：(期初年金)PV=1+6v4+11v9+···=(期末年金)∑∞(5n−4)v(4n−4)=i=15(1−v4)2−41−v4=64PV¨=v+6v5+11v10+···=v·PV=54.永久连续年金的年金函数为:(1+k)t，年利率i，如果：0qi不存在,p≤q(2)令f(i)=pi−qi−iq2f0(i)=−pi2+qi2+2qi3=0解得：i=2qp−qp>q58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率下面的计算年利率i=5%)(与原答案有出入)解：用9年一周期的产品，则有支付的现值为：PV1=2×[1+()9+()18+()27]用15年一周期的产品，则有支付的现值为：PV2=(2+X)×[1+(由PV1=PV2有：X=)15+()30]59.计算m+n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利率11%，sm¬p7%=34,s¬np11%=128。解：由s¬np的表达式有：(1+n=¬np11%+1AV=sm¬p7%×(1+n+s¬np11%=sm¬p7%׬np11%+1)+s¬np11%=北京大学数学科学学院金融数学系第13页版权所有，翻版必究60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每年底每股分得红利元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。解：设X为买价，有价值方程：¬p6%+2=−10|6%+X(1+−(n−10)从而有：X=¬p6%+2−−10|6%)(1+(n−10)n=15解得：X=n=2061.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。解：由题意：AV=100000(1+4%)20+5000s20¬p4%s¬2p4%−12000(1+4%)s20¬p4%s¬2p4%=62.已知贷款L经过N（偶数）次、每次K元还清，利率i。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K的大小。解：由题意：1K1am¬pi=Ka2m¬pi⇒K1=K[1+(1+i)m]<2K63.已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与N/2的大小。解：由题意：N2KaM¬pi=KaN¬pi⇒vM=1+vN>v2即：Mn，证明：L=a¬np在−10,n>0时，有：i+(n+1)(Ia)npi<[(n+1)/2]a¬npi<(Da)npi证：由69题有：[(Ia)npi+(Da)npi]/2=(n+1)a¬npi/2从而，只要证：(Ia)npi<(Da)npi(∗)注意到：(Da)npi−(Ia)npi⇔(n−1),(n−3),···,−(n−3),−(n−1)这年金前后对称，而后面的贴现因子比较大，从而有(∗)成立。71.某雇员在退休前的第37年参加企业养老金计划,当时年收入为18,000元，然后每年以4％的速度增加(假定提薪恰好在每年的年中进行)。1)分别对以下两种退休金方式计算年退休金占退休前一年年薪的比例：如果年退休金为工作期间年平均工资的70%；年退休金为年平均工资的%再乘以工作年限。2〕如果企业和个人分别将年工资的3%存入年利率6%的养老基金，试对以上两种退休金方式计算退休金的领取年限。北京大学数学科学学院金融数学系第16页版权所有，翻版必究解：1)平均工资：$=18000(1++···+/37=退休前一年的工资：18000×(1+36=法一：年退休金：$=,比例为：%法二：年退休金：$×37=,比例为：%2)企业和个人各存3%则一共存6%,从而这笔基金的终值为：∑36P=18000×6%×(1+4%)t(1+6%)36−t=t=0设年退休金为R,则有：R¨¬np6%≤P解得：n=12第一种方式8第二种方式72.已知永久期初年金为：首次1元；第二年初1+2元；第三年初1+2+3元；依此类推；第n年初1+2+···+n元。证明该年金的现值为:¨∞p(I¨)∞p。解：进行现金流拆分：从第一年出发的一份标准永久年金，从第二年出发的两份标准永久年金，···,从第n年出发的n份标准永久年金···。分别求各个子现金流的现值得到如下的现金流：¨∞p,2¨∞p,···,n¨∞p,···其现值即为原年金的现值：¨∞p(I¨)∞p。73.已知连续年金函数为f(t)，0时刻的年金为F0，利息力δ，如果用Ft表示时刻t的年金终值，证明:dFt=δFt+f(t)dt证：由定义Ft=dFt∫t0f(s)e(t−s)δds=etδ∫t∫t0f(s)e−s)δdsdt=δeδt0f(s)e−δsds+f(t)=δFt+f(t)74.A从B处借得10,000元，年利率4%，计划分40次按季度等额偿还。在第6年底，B希望立即收回所有借款，因此将今后接受还款的权利转卖给C，转卖价格使C今后几年的年收益率将达到6%，计算转卖价格。北京大学数学科学学院金融数学系第17页版权所有，翻版必究解：A从B借款：季度实利率为i=(1+1/4−110000=Ra40¬piB把后16次的还款卖给C：季度实利率为：i0=(1+1/4−1a40|i0解得：P=。P=Ra40|i0=10000a40¬pi75.现有两种年收益率相同的投资选择：A－第5年底收益800元，第10年底收益100元；B－10年间每年底收益100元。如果投资A的成本为425元，计算投资B的成本。解：投资A的价值方程：CA=425=800v5+100v10⇒v5=投资B的价值方程：1−v10CB=100a10¬p=100i=76.已知:a¬5p=,a10¬p=,a15¬p=，计算利率i(有必要给出a15¬p=吗？)。解：由a¬np的表达式易见：a解得：v5=a10|a5|−1⇒a¬5p=2−i10|a5|i=2a5|−a10|a2=5|77.某人有3700元的借款，今后在每月初还款325元，问：在一年内还清借款的可接受年利率为多少？解：由题意：325¨12¬pi=3700解得：i=(1+12−1=%北京大学数学科学学院金融数学系第18页版权所有，翻版必究78.永久年金A有如下的年金方式：1,1,1,2,2,2,3,3,3,···；永久年金B有如下的年金方式：K,K,2K,2K,3K,3K,···。如果两个年金的现值相等，计算K。解：现金流拆分:1,1,1,1,1,1,1,1,1,···1,1,1,2,2,2,3,3,3,···⇔0,0,0,1,1,1,1,1,1,···0,0,0,0,0,0,1,1,1,···⇔1i,0,0,1i,0,0,······由此方式A的现值为：PV=113+16+···=1i(1−1v3)i+iv同理方式B的现值为：PV=K1i(1−v2)解得：K=a¬2p(a¬3p)−1iv79.永久年金的年金方式为：1,1,2,1,1,3,1,1,4,···。每年底支付，假定年实利率5%，计算现值。解：现金流拆分：1,1,2,1,1,3,1,1,4,···1,1,1,1,1,1,1,1,1,···(A)0,0,1,0,0,2,0,0,3,···(B)现金流A的现值：PV1=1i现金流B的现值：PV2=v3+2v6+···=v3(1−v3)−2求和得到：PV=80.在5年中每年初存入100元。已知第5年底的余额为620元，计算单利率。?81.实利率i满足以下条件：期初年金1,2,···,n−1,n的现值为A；n年底的单位支付的现值为iP。试给出a¬np的表达式。