专题20 空间几何体的表面积和体积解题方法-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖（学生版）

专题20空间几何体的表面积和体积解题方法一．【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．[来源:Z&xx&k.Com]3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．二．【知识要点】1.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．3.有关斜二测画法的常用结论与方法[来源:学科网ZXXK](1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝eq\f(\r(2),4)S.(2)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.[来源:Z|xx|k.Com]4.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.5..特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.三．高考题型典例及训练（一）空间几何体例1．如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是　____．学-科网[来源:学科网]练习1．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为_______．练习2．如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为____________．（填体积小与体积大之比）（二）组合体问题例2．正四面体的所有棱长均为12，球是其外接球，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为__________．练习1．已知四面体中，，，，平面，则四面体的内切球半径为__________．练习2．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为、的中点，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的体积为____________.（三）旋转体问题例3．已知等腰三角形的周长为，问绕这个三角形的底边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积最大时，这个三角形的底边长为_________________．练习1．圆(x-l)2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为________.练习2．下列结论不正确的是________（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.（四）投影问题例4．如图所示，棱长为1的正方体中，若，分别为，的中点，是正方形的中心，则空间四边形在该正方体的面上的投影的面积的最大值为______．练习1．半径为的球放置在水平平面上，点位于球的正上方，且到球表面的最小距离为，则从点发出的光线在平面上形成的球的中心投影的面积等于__________．练习2．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则图中阴影部分在平面上的投影的面积为_______．（五）直观图例1．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为______．练习1．如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为______．练习2．如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若,,,,则四边形的面积是__________.（六）柱、锥、台的表面积例6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是_____cm3，表面积是_____cm2．练习1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为__________．练习2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．[来源:学+科+网]（七）柱、锥、台的体积例7．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_________．练习1．四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积是__________．练习2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是_____．①AC⊥BE　②EF∥平面ABCD　③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值（八）组合体的表面积例8．如图,用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为_______．练习1．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为________．学-科网练习2．如图所示的几何体是一个五面体，四边形为矩形，，，且，，与都是正三角形，则此五面体的体积为_______．